《7.2 離散型隨機變量及分布列》考點講解與專題訓(xùn)練

《7.2離散型隨機變量及分布列》考點講解【思維導(dǎo)圖】【常見考點】考法一隨機變量及離散型隨機變量【例1】（1）下列變量中，不是隨機變量的是（）A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B．標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時的溫度C．拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和D．某電話總機在時間區(qū)間（0，T）內(nèi)收到的呼叫次數(shù)（2）．下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是（）A．?dāng)S5次硬幣正面向上的次數(shù)MB．從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個小球中任取2個小球，這2個小球上所標(biāo)的數(shù)字之和YC．某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時間TD．將一個骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點數(shù)之和X【一隅三反】1．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機變量的是()A．出現(xiàn)7點的次數(shù)B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)C．出現(xiàn)2點的次數(shù)D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)2．拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ,則“ξ>4”表示試驗的結(jié)果為()A．第一枚為5點,第二枚為1點B．第一枚大于4點,第二枚也大于4點C．第一枚為6點,第二枚為1點D．第一枚為4點,第二枚為1點3．甲、乙兩人下象棋，贏了得分，平局得分，輸了得分，共下三局.用表示甲的得分，則表示（）A．甲贏三局B．甲贏一局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次4．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為離散型隨機變量的是（）A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù)D．取到的球的個數(shù)5.下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是__________（填序號）．①某賓館每天入住的旅客數(shù)量是；②某水文站觀測到一天中珠江的水位；③西部影視城一日接待游客的數(shù)量；④閱海大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)是.考法二分布列【例2-1】若隨機變量X的分布列如下所示X－1012P0.2ab0.3且E(X)＝0.8，則a、b的值分別是（）A．0.4，0.1B．0.1，0.4C．0.3，0.2D．0.2，0.3【例2-2】．（某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下：消費次第第1次第2次第3次第4次次收費比率10.950.900.850.80若該公司注冊的會員中沒有消費超過5次的，從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：消費次數(shù)12345人數(shù)60201055假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；（2）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為元，求的分布列.【一隅三反】1．（多選）已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果正確的有（）A．a(chǎn)＝0.1B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.32．在某校舉辦的“知識競賽”決賽中，甲、乙兩隊各派出3名同學(xué)參加比賽.規(guī)則是：每名同學(xué)回答一個問題，答對為本隊贏得1分，答錯得0分.假設(shè)甲隊中每名同學(xué)答對的概率均為，乙隊中3名同學(xué)答對的概率分別是，，，且每名同學(xué)答題正確與否互不影響.用表示乙隊的總得分.（1）求隨機變量的分布列；（2）設(shè)事件表示“甲隊得2分，乙隊得1分”，求.3．甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標(biāo)的概率分別為、、，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.（1）求甲、乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率；（2）求的分布列.考法三兩點分布【例3】設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【一隅三反】1．若某品種水稻雜交試驗成功率是失敗率的2倍，一次試驗只有成功與失敗兩種結(jié)果，用描述一次試驗的成功次數(shù)，則（）A．0B．C．D．2．已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（）A．B．C．D．答案解析考法一隨機變量及離散型隨機變量【例1】（1）下列變量中，不是隨機變量的是（）A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B．標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時的溫度C．拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和D．某電話總機在時間區(qū)間（0，T）內(nèi)收到的呼叫次數(shù)（2）．下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是（）A．?dāng)S5次硬幣正面向上的次數(shù)MB．從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個小球中任取2個小球，這2個小球上所標(biāo)的數(shù)字之和YC．某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時間TD．將一個骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點數(shù)之和X【答案】（1）B（2）C【解析】（1）因為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時的溫度是一個常量，所以不是隨機變量.故選：B（2）在A中，擲5次硬幣，正面向上的次數(shù)M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是離散型隨機變量在B中，從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個小球中任取2個小球，這2個小球上所標(biāo)的數(shù)字之和Y可能取的值，可以按一定次序一一列出，故Y是離散型隨機變量在C中，某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時間T可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法一一列出，故T不是離散型隨機變量在D中，將一個骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點數(shù)之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是離散型隨機變量故選：C【一隅三反】1．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機變量的是()A．出現(xiàn)7點的次數(shù)B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)C．出現(xiàn)2點的次數(shù)D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)【答案】A【解析】拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)點，出現(xiàn)點為不可能事件出現(xiàn)點的次數(shù)不能作為隨機變量本題正確選項：2．拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ,則“ξ>4”表示試驗的結(jié)果為()A．第一枚為5點,第二枚為1點B．第一枚大于4點,第二枚也大于4點C．第一枚為6點,第二枚為1點D．第一枚為4點,第二枚為1點【答案】C【解析】由于表示“第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差”，差的最大值為，而只有一種情況，也即，此時第一枚為點,第二枚為點，故選C.3．甲、乙兩人下象棋，贏了得分，平局得分，輸了得分，共下三局.用表示甲的得分，則表示（）A．甲贏三局B．甲贏一局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得分，平局得分，輸了得分，故有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次，故選：D.4．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為離散型隨機變量的是（）A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù)D．取到的球的個數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)離散型隨機變量的定義可得選項C是離散型隨機變量，其可以一一列出，其中隨機變量的取值，故選C.5.下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是__________（填序號）．①某賓館每天入住的旅客數(shù)量是；②某水文站觀測到一天中珠江的水位；③西部影視城一日接待游客的數(shù)量；④閱海大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)是.【答案】②【解析】①③④中的隨機變量的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量．故答案為：②考法二分布列【例2-1】若隨機變量X的分布列如下所示X－1012P0.2ab0.3且E(X)＝0.8，則a、b的值分別是（）A．0.4，0.1B．0.1，0.4C．0.3，0.2D．0.2，0.3【答案】B【解析】由隨機變量X的分布列得：，所以，又因為，解得，所以，故選：B【例2-2】．某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下：消費次第第1次第2次第3次第4次次收費比率10.950.900.850.80若該公司注冊的會員中沒有消費超過5次的，從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：消費次數(shù)12345人數(shù)60201055假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；（2）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為元，求的分布列.【答案】（1）公司獲得的平均利潤為元；（2）分布列答案見解析.【解析】（1）因為第一次消費時，公司獲得利潤為元，第二次消費時，公司獲得利潤為元，所以兩次消費中，公司獲得的平均利潤為元，（2）因為公司成本為元，所以消費一次公司獲得的平均利潤為元，消費兩次公司獲得的平均利潤為元，消費三次公司獲得的平均利潤為元，消費四次公司獲得的平均利潤為元，消費五次公司獲得的平均利潤為元，的所有可能的取值為，，，，，，.故的分布列為50454035300.60.20.10.050.05【一隅三反】1．（多選）已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果正確的有（）A．a(chǎn)＝0.1B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3【答案】ABD【解析】因為，解得，故A正確；由分布列知,，，故BD正確，C錯誤.故選：ABD2．在某校舉辦的“知識競賽”決賽中，甲、乙兩隊各派出3名同學(xué)參加比賽.規(guī)則是：每名同學(xué)回答一個問題，答對為本隊贏得1分，答錯得0分.假設(shè)甲隊中每名同學(xué)答對的概率均為，乙隊中3名同學(xué)答對的概率分別是，，，且每名同學(xué)答題正確與否互不影響.用表示乙隊的總得分.（1）求隨機變量的分布列；（2）設(shè)事件表示“甲隊得2分，乙隊得1分”，求.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）由題意知，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以隨機變量的分布列為X0123P（2）設(shè)甲隊得分為Y，則，，.3．甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標(biāo)的概率分別為、、，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.（1）求甲、乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率；（2）求的分布列.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）記甲、乙兩人擊中丙沒有擊中為事件，則甲，乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率為：；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值為、、、，，，，.所以，隨機變量的分布列如下：考法三兩點分布【例3】設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【答案】C【解析】隨機變量服從兩點分布，，根據(jù)兩點分布概率性質(zhì)可知：，解得，故選：C.【一隅三反】1．若某品種水稻雜交試驗成功率是失敗率的2倍，一次試驗只有成功與失敗兩種結(jié)果，用描述一次試驗的成功次數(shù)，則（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】據(jù)題意知，“”表示一次試驗試驗失敗，“”表示一次試驗試驗成功.設(shè)一次試驗失敗率為，則成功率為，所以，所以，所以.故選：C.2．已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為的分布列服從兩點分布，所以，因為，所以故選：C.《7.2離散型隨機變量及分布列》考點訓(xùn)練【題組一隨機變量及離散型隨機變量】1．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（）A．至少取到1個白球B．取到白球的個數(shù)C．至多取到1個白球D．取到的球的個數(shù)2．袋中裝有10個紅球、5個黑球.每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止.若抽取的次數(shù)為X，則表示“放回5個紅球”事件的是（）A．B．C．D．3．下列隨機變量不是離散型隨機變量的是A．某景點一天的游客數(shù)ξB．某尋呼臺一天內(nèi)收到尋呼次數(shù)ξC．水文站觀測到江水的水位數(shù)ξD．某收費站一天內(nèi)通過的汽車車輛數(shù)ξ4．下列隨機試驗的結(jié)果，不能用離散型隨機變量表示的是()A．將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點數(shù)之和B．某籃球運動員6次罰球中投進的球數(shù)C．電視機的使用壽命D．從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)5．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為()A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…6．下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是().A．?dāng)S5次硬幣正面向上的次數(shù)MB．某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時間TC．從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個小球中任取2個小球，這2個小球上所標(biāo)的數(shù)字之和YD．將一個骰子擲3次,3次出現(xiàn)的點數(shù)之和X7．（多選）如果X是一個離散型隨機變量，那么下列命題中是真命題的為（）A．X取每一個可能值的概率是正數(shù)B．X取所有可能值的概率和為1C．X取某兩個可能值的概率等于取其中每個值的概率之和D．X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和8．（多選）如果是一個隨機變量，則下列命題中的真命題有()A．取每一個可能值的概率都是非負數(shù)B．取所有可能值的概率之和是1C．的取值與自然數(shù)一一對應(yīng)D．的取值是實數(shù)9．小王錢夾中只剩下20元、10元、5元和1元的人民幣各一張.他決定隨機抽出兩張,用來買晚餐,用X表示這兩張金額之和.寫出X的可能取值,并說明所取值表示的隨機試驗結(jié)果.10．一個袋中裝有形狀?大小均相同的5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)為.（1）列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的的值；（2）若規(guī)定抽取3個球的過程中，每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最后結(jié)果都加上6分，求最終得分的可能取值，并判斷是不是離散型隨機變量.【題組二分布列】1．若隨機變量的分布列為，則________．2．某校組織一次冬令營活動，有名同學(xué)參加，其中有名男同學(xué)，名女同學(xué)，為了活動的需要，要從這名同學(xué)中隨機抽取名同學(xué)去執(zhí)行一項特殊任務(wù)，記其中有名男同學(xué)．（1）求的分布列；（2）求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率．【題組三兩點分布】1．下列問題中的隨機變量不服從兩點分布的是（）A．拋擲一枚骰子，所得點數(shù)為隨機變量B．某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機變量C．從裝有5個紅球，3個白球的袋中取1個球，令隨機變量{1，取出白球；0，取出紅球}D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)為隨機變量2．設(shè)離散型隨機變量X服從兩點分布，若，則_______．3．若離散型隨機變量X的分布列是則常數(shù)c的值為_____.4．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量描述一次試驗的成功次數(shù)，則_______.答案解析【題組一隨機變量及離散型隨機變量】1．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（）A．至少取到1個白球B．取到白球的個數(shù)C．至多取到1個白球D．取到的球的個數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)離散型隨機變量的定義可得選項B是隨機變量，其可以一一列出，其中隨機變量X的取值0,1,2.故選：B.2．袋中裝有10個紅球、5個黑球.每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止.若抽取的次數(shù)為X，則表示“放回5個紅球”事件的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為“放回5個紅球”表示前次摸到的都是黑球，第次摸到紅球，所以.故選：C3．下列隨機變量不是離散型隨機變量的是A．某景點一天的游客數(shù)ξB．某尋呼臺一天內(nèi)收到尋呼次數(shù)ξC．水文站觀測到江水的水位數(shù)ξD．某收費站一天內(nèi)通過的汽車車輛數(shù)ξ【答案】C【解析】隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．對于C選項來說，由于水位數(shù)是屬于實數(shù)，是一個連續(xù)的變量，不屬于離散型隨機變量.4．下列隨機試驗的結(jié)果，不能用離散型隨機變量表示的是()A．將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點數(shù)之和B．某籃球運動員6次罰球中投進的球數(shù)C．電視機的使用壽命D．從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)【答案】C【解析】隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量兩種，隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量，有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為“離散型隨機變量”，題目中都屬于離散型隨機變量，而電視機的使用壽命屬于連續(xù)型隨機變量，故選C.5．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為()A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…【答案】B【解析】從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則有可能第一次取出球，也有可能取完6個紅球后才取出白球.6．下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是().A．?dāng)S5次硬幣正面向上的次數(shù)MB．某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時間TC．從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個小球中任取2個小球，這2個小球上所標(biāo)的數(shù)字之和YD．將一個骰子擲3次,3次出現(xiàn)的點數(shù)之和X【答案】B【解析】由隨機變量的概念可知.某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時間T不能一一舉出，故不是離散型隨機變量7．（多選）如果X是一個離散型隨機變量，那么下列命題中是真命題的為（）A．X取每一個可能值的概率是正數(shù)B．X取所有可能值的概率和為1C．X取某兩個可能值的概率等于取其中每個值的概率之和D．X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和【答案】BC【解析】對于A選項，X取每一個可能值的概率是非負數(shù)，故A選項錯誤.對于B選項，X取所有可能值的概率和為1，故B選項正確.對于C選項，X取某兩個可能值的概率等于取其中每個值的概率之和，故C選項正確.對于D選項，X在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和，故D選項錯誤.故選：BC8．（多選）如果是一個隨機變量，則下列命題中的真命題有()A．取每一個可能值的概率都是非負數(shù)B．取所有可能值的概率之和是1C．的取值與自然數(shù)一一對應(yīng)D．的取值是實數(shù)【答案】ABD【解析】根據(jù)概率性質(zhì)可得取每一個可能值的概率都是非負數(shù)，所以A正確；取所有可能值的概率之和是1，所以B正確；的取值是實數(shù)，不一定是自然數(shù)，所以C錯誤，D正確.故選：ABD9．小王錢夾中只剩下20元、10元、5元和1元的人民幣各一張.他決定隨機抽出兩張,用來買晚餐,用X表示這兩張金額之和.寫出X的可能取值,并說明所取值表示的隨機試驗結(jié)果.【答案】【解析】X的可能取值為6,11,15,21,25,30.其中,X=6表示抽到的是1元和5元;X=11表示抽到的是1元和10元;X=15表示抽到的是5元和10元;X=21表示抽到的是1元和20元;X=25表示抽到的是5元和20元;X=30表示抽到的是10元和20元.10．一個袋中裝有形狀?大小均相同的5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)為.（1）列表說明可能出現(xiàn)