物理奧賽輔導(dǎo)：第講 磁場對電流的作用和電磁感應(yīng)練習(xí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第11講磁場對電流的作用和電磁感應(yīng)1．空間存在垂直于紙面方向的均勻磁場，其方向隨時間作周期性變化，磁感應(yīng)強度B隨時間t變化的圖線如圖1所示．規(guī)定B〉0時,磁場的方向穿出紙面．現(xiàn)在磁場區(qū)域中建立一與磁場方向垂直的平面坐標Oxy，如圖2所示.一電荷量q=5π×10—7c，質(zhì)量m=5×10-10kg的帶電粒子，位于原點O處,在t=0時刻以初速度v0=π（1）試在圖2中畫出0～20ms時間內(nèi)粒子在磁場中運動的軌跡,并標出圖2中縱橫坐標的標度值(評分時只按圖評分，不要求寫出公式或說明．）(2）在磁場變化N個（N為整數(shù)）周期的時間內(nèi)帶電粒子的平均速度的大小等于_________________。2．如圖所示，ACD是由均勻細導(dǎo)線制成的邊長為d的等邊三角形線框，它以AD為轉(zhuǎn)軸，在磁感應(yīng)強度為B的恒定的勻強磁場中以恒定的角速度田轉(zhuǎn)動（俯視為逆時針旋轉(zhuǎn)）,磁場方向與AD垂直．已知三角形每條邊的電阻都等于R．取圖示線框平面轉(zhuǎn)至與磁場平行的時刻為t=0。（1)求任意時刻t線框中的電流．(2）規(guī)定A點的電勢為0，求t=0時,三角形線框的AC邊上任一點P(到A點的距離用x表示）的電勢Up，并畫出Up與x之間關(guān)系的圖線．3．圖中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐標系,在的一側(cè)，存在勻強磁場,磁場方向垂直于oxy平面向里,磁感應(yīng)強度的大小為B。在的一側(cè),一邊長分別為和的剛性矩形超導(dǎo)線框位于桌面上,框內(nèi)無電流，框的一對邊與x軸平行.線框的質(zhì)量為m，自感為L?，F(xiàn)讓超導(dǎo)線框沿x軸方向以初速度進入磁場區(qū)域，試定量地討論線框以后可能發(fā)生的運動情況及與初速度大小的關(guān)系。（假定線框在運動過程中始終保持超導(dǎo)狀態(tài)）4．地球赤道表面附近處的重力加速度為，磁場的磁感應(yīng)強度的大小,方向沿經(jīng)線向北。赤道上空的磁感應(yīng)強度的大小與成反比（r為考察點到地心的距離)，方向與赤道附近的磁場方向平行。假設(shè)在赤道上空離地心的距離（為地球半徑)處，存在厚度為10km的由等數(shù)量的質(zhì)子和電子的等離子層（層內(nèi)磁場可視為勻強磁場)，每種粒子的數(shù)密度非常低，帶電粒子的相互作用可以忽略不計.已知電子的質(zhì)量，質(zhì)子的質(zhì)量，電子電荷量為，地球的半徑。(1)所考察的等離子層中的電子和質(zhì)子一方面作無規(guī)則運動，另一方面因受地球引力和磁場的共同作用會形成位于赤道平面內(nèi)的繞地心的環(huán)行電流,試求此環(huán)行電流的電流密度.（2）現(xiàn)設(shè)想等離子層中所有電子和質(zhì)子，它們初速度的方向都指向地心，電子初速度的大小，質(zhì)子初速度的大小.試通過計算說明這些電子和質(zhì)子都不可能到到達地球表面.5．一個用絕緣材料制成的扁平薄圓環(huán)，其內(nèi)、外半徑分別為a1、a2，厚度可以忽略．兩個表面都帶有電荷，電荷面密度隨離開環(huán)心距離r變化的規(guī)律均為，為已知常量．薄圓環(huán)繞通過環(huán)心垂直環(huán)面的軸以大小不變的角加速度減速轉(zhuǎn)動，t=0時刻的角速度為．將一半徑為a0(a0<<a1）、電阻為R并與薄圓環(huán)共面的導(dǎo)線圓環(huán)與薄圓環(huán)同心放置．試求在薄圓環(huán)減速運動過程中導(dǎo)線圓環(huán)中的張力F與時間t的關(guān)系．6．如圖所示,水平放置的金屬細圓環(huán)半徑為a，豎直放置的金屬細圓柱(其半徑比a小得多）的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一水平面內(nèi)，圓柱的細軸通過圓環(huán)的中心O，一質(zhì)量為m、電阻為R的均勻?qū)w細棒被圓環(huán)和細圓柱端面支撐,棒的一端有小孔套在細軸O上，另一端A可繞軸線沿圓環(huán)做圓周運動，棒與圓環(huán)的動摩擦因數(shù)為，圓環(huán)處于磁感應(yīng)強度大小為B＝Kr、方向豎直向上的恒定磁場中，式中K為大于零的常量，r為場點到細軸的距離。金屬細圓柱與圓環(huán)用導(dǎo)線ed連接，不計棒及軸與細圓柱端面間的摩擦，也不計細圓柱、圓環(huán)及導(dǎo)線的電阻和感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場。問沿垂直于棒方向以多大的水平力作用于棒的A端才能使棒以角速度勻速轉(zhuǎn)動。7．如圖所示，兩個金屬輪A1、A2，可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬軸O1和O2轉(zhuǎn)動，O1和O2相互平行,水平放置.每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成,A1輪的輻條長為a1、電阻為R1，A2輪的輻條長為a2、電阻為R2，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略。半徑為a0的絕緣圓盤D與A1同軸且固連在一起。一輕細繩的一端固定在D邊緣上的某點，繩在D上繞足夠匝數(shù)后,懸掛一質(zhì)量為m的重物P.當P下落時，通過細繩帶動D和A1繞O1軸轉(zhuǎn)動.轉(zhuǎn)動過程中，A1、A2保持接觸,無相對滑動;兩輪與各自細軸之間保持良好的電接觸；兩細軸通過導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連.除R和A1、A2兩輪中輻條的電阻外,所有金屬的電阻都不計。整個裝置處在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向與轉(zhuǎn)軸平行?，F(xiàn)將P釋放,試求P勻速下落時的速度.8．圖示為一固定不動的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R，圓筒的軸線在O處.圓筒內(nèi)有勻強磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行，磁感應(yīng)強度為B.筒壁的H處開有小孔，整個裝置處在真空中?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒,經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒。設(shè)：筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的,P與筒壁碰撞時其電荷量是不變的。若要使P與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問：（1）P的速率應(yīng)為多少？(2）P從進入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時間為多少?9．如圖所示，MlM2和M3M4都是由無限多根無限長的外表面絕緣的細直導(dǎo)線緊密排列成的導(dǎo)線排橫截面，兩導(dǎo)線排相交成120°，OO’為其角平分線．每根細導(dǎo)線中都通有電流I，兩導(dǎo)線排中電流的方向相反，其中MlM2中電流的方向垂直紙面向里．導(dǎo)線排中單位長度上細導(dǎo)線的根數(shù)為λ．圖中的矩形abcd是用N型半導(dǎo)體材料做成的長直半導(dǎo)體片的橫截面，（《），長直半導(dǎo)體片與導(dǎo)線排中的細導(dǎo)線平行,并在片中通有均勻電流I0，電流方向垂直紙面向外．已知ab邊與OO'垂直，＝l，該半導(dǎo)體材料內(nèi)載流子密度為n，每個載流子所帶電荷量的大小為q．求此半導(dǎo)體片的左右兩個側(cè)面之間的電勢差．已知當細的無限長的直導(dǎo)線中通有電流I時，電流產(chǎn)生的磁場離直導(dǎo)線的距離為r處的磁感應(yīng)強度的大小為,式中k為已知常量．

參考解答1．（1）如圖所示，（2）2EQ\R（2）m/s.2．提示：（1)由xOyx(2），為拋物線，和時，頂點為,,時，所以圖線如圖所示。xOyx3．解：設(shè)某一時刻線框在磁場區(qū)域的深度為x,速度為，因線框的一條邊切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為，它在線框中引起感應(yīng)電流，感應(yīng)電流的變化又引起自感電動勢．設(shè)線框的電動勢和電流的正方向均為順時針方向，則切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的電動勢與設(shè)定的正方向相反，自感電動勢與設(shè)定的正方向相同.因線框處于超導(dǎo)狀態(tài),電阻,故有 （1）即 （2）或 （3)即 （4)可見與x成線性關(guān)系，有 （5）C為一待定常數(shù),注意到時,，可得，故有 （6）時,電流為負值表示線框中電流的方向與設(shè)定的正方向相反，即在線框進入磁場區(qū)域時右側(cè)邊的電流實際流向是向上的．外磁場作用于線框的安培力 （7）其大小與線框位移x成正比，方向與位移x相反，具有“彈性力"的性質(zhì)．下面分兩種情形做進一步分析：（i）線框的初速度較小，在安培力的作用下，當它的速度減為0時，整個線框未全部進入磁場區(qū)，這時在安培力的繼續(xù)作用下，線框?qū)⒎聪蜻\動，最后退出磁場區(qū)．線框一進一出的運動是一個簡諧振動的半個周期內(nèi)的運動，振動的圓頻率 (8）周期 （9)振動的振幅可由能量關(guān)系求得，令表示線框速度減為0時進入磁場區(qū)的深度，這時線框的初始動能全部轉(zhuǎn)換為“彈性力”的“彈性勢能”，由能量守恒可得 (10）得 （11)故其運動方程為,t從0到 （12）半個周期后，線框退出磁場區(qū)，將以速度向左勻速運動．因為在這種情況下的最大值是，即 （13）由此可知，發(fā)生第(i）種情況時,的值要滿足下式 即 （14）（ii）若線框的初速度比較大，整個線框能全部進入磁場區(qū)．當線框剛進入磁場區(qū)時，其速度仍大于0,這要求滿足下式 （15）當線框的初速度滿足(15）式時，線框能全部進入磁場區(qū)，在全部進入磁場區(qū)域以前，線框的運動方程與（12)式相同，但位移區(qū)間是到，所以時間間隔與(12)式不同，而是從0到 （16）因為線框的總電動勢總是為0，所以一旦線框全部進入磁場區(qū)域，線框的兩條邊都切割磁感應(yīng)線，所產(chǎn)生的電動勢之和為0，因而自感電動勢也為0．此后線框中維持有最大的電流，磁場對線框兩條邊的安培力的合力等于零，線框?qū)⒃诖艌鰠^(qū)域勻速前進,運動的速度可由下式?jīng)Q定即 （17）4．解：（1)由于等離子層的厚度遠小于地球的半徑,故在所考察的等離子區(qū)域內(nèi)的引力場和磁場都可視為勻強場.在該區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度 （1）引力加速度xOy xOy zuxuyuzv0v0v圖1考察等離子層中的某一質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為u的粒子，取粒子所在處為坐標原點O,作一直角坐標系Oxyz，Ox軸指向地球中心，Oz沿磁場方向，如圖1所示.該粒子的初速度在坐標系中的三個分量分別為ux、uy和uz。因作用于粒子的引力沿x軸正方向,作用于粒子的洛倫茲力與z軸垂直，故粒子在z軸方向不受力作用，沿z軸的分速度保持不變?，F(xiàn)設(shè)想在開始時刻，附加給粒子一沿y軸正方向大小為v0的速度,同時附加給粒子一沿y軸負方向大小為v0的速度，要求與其中一個v0相聯(lián)系的洛倫茲力正好與粒子所受的地球引力相平衡,即 得 （3）用v表示ux與沿y軸的速度的合速度(對質(zhì)子取正號，對電子取負號)，有 (4）這樣，所考察的粒子的速度可分為三部分:沿z軸的分速度．其大小和方向都保持不變，但對不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無規(guī)則運動的速度分量．沿y軸的速度．對帶正電的粒子,速度的方向沿y軸的負方向，對帶負電的粒子，速度的方向沿y軸的正方向．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力正好和引力抵消，故粒子將以速率沿y軸運動．由(3）式可知,的大小是恒定的,與粒子的初速度無關(guān)，且對同種的粒子相同．在平面內(nèi)的速度．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力使粒子在平面內(nèi)作速率為的勻速率圓周運動，若以R表示圓周的半徑，則有得 （5）由（4）、（5)式可知，軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān),而且與粒子的初速度的x分量和y分量有關(guān)．圓周運動的速度方向是隨時間變化的，在圓周運動的一個周期內(nèi)的平均速度等于0．由此可見，等離子層內(nèi)電子和質(zhì)子的運動雖然相當復(fù)雜，但每個粒子都具有由（3）式給出的速度，其方向垂直于粒子所在處的地球引力方向，對電子，方向向西,對質(zhì)子，方向向東．電子、質(zhì)子這種運動稱為漂移運動,對應(yīng)的速度稱為漂移速度．漂移運動是粒子的定向運動，電子、質(zhì)子的定向運動就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流．由（3）式和（1)、（2)兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分別為 （6） (7）由于電子、質(zhì)子漂移速度的方向相反，電荷異號，它們產(chǎn)生的電流方向相同,均為沿緯度向東.根據(jù)電流密度的定義有 (8）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 （9）電流密度的方向沿緯度向東。（2）上一小題的討論表明，粒子在平面內(nèi)作圓周運動,運動的速率由（4）式給出，它與粒子的初速度有關(guān)．對初速度方向指向地心的粒子，圓周運動的速率為 （10）由(1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入題給的有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的軌道半徑分別為 （11） （12)以上的計算表明，雖然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子還受到磁場的作用，電子和質(zhì)子在地球半徑方向的最大下降距離分別為和，都遠小于等離子層的厚度,所考察的電子和質(zhì)子仍在等離子層內(nèi)運動，不會落到地面上。5．解:半徑為r、通有電流I的圓線圈(環(huán)形電流)，在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為（k為已知常量）用半徑分別為r1（〉a1)，r2，…，ri，…，rn–1（〈a2）的n-1個同心圓把塑料薄圓環(huán)分割成n個細圓環(huán)．第i個細圓環(huán)的寬度為，其環(huán)帶面積式中已略去高階小量．,該細圓環(huán)帶上、下表面所帶電荷量之和為設(shè)時刻t，細圓環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度為， 單位時間內(nèi)，通過它的“橫截面”的電荷量，即為電流 由環(huán)形電流產(chǎn)生磁場的規(guī)律，該細圓環(huán)的電流在環(huán)心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為 （1)式中是一個微小量，注意到，有 （2）將各細圓環(huán)產(chǎn)生的磁場疊加，由（1)、（2）式得出環(huán)心O點處的磁感應(yīng)強度： （3） 由于a0〈〈a1，可以認為在導(dǎo)線圓環(huán)所在小區(qū)域的磁場是勻強磁場,可由O點的場表示．磁場對導(dǎo)線環(huán)的磁通量 (4）由于是變化的，所以上述磁通量是隨時間變化的,產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小為 （5）由全電路歐姆定律可知，導(dǎo)線環(huán)內(nèi)感應(yīng)電流的大小為 （6）設(shè)題圖中薄圓環(huán)帶正電作逆時針旋轉(zhuǎn)，穿過導(dǎo)線圓環(huán)的磁場方向垂直紙面向外,由于薄圓環(huán)環(huán)作減角速轉(zhuǎn)動，穿過導(dǎo)線圓環(huán)的磁場逐漸減小，根據(jù)楞次定律,導(dǎo)線圓環(huán)中的感應(yīng)電流亦為逆時針方向，導(dǎo)線圓環(huán)各元段l所受的安培力都沿環(huán)半徑向外．現(xiàn)取對于y軸兩對稱點U、V，對應(yīng)的二段電流元所受的安培力的大小為MNQMNQffxfyxyOxylffxfylUV方向如圖所示，它沿x及y方向分量分別 （8） （9)根據(jù)對稱性,作用于沿半個導(dǎo)線圓環(huán)QMN上的各電流元的安培力的x分量之和相互抵消，即 （10）（式中，當時，是正的,當時，是負的，故）,而作用于沿半個導(dǎo)線圓環(huán)QMN上的各電流元的安培力的y分量之和為 (11）（式中,由于在0之間都是正的，故），即半個導(dǎo)線圓環(huán)上受的總安培力的大小為，方向沿y正方向,由于半個圓環(huán)處于平衡狀態(tài)，所以在導(dǎo)線截面Q、N處所受（來自另外半個圓環(huán)）的拉力(即張力)F應(yīng)滿足．由(3）、（6）兩式得 （12）由(12）式可見，張力F隨時間t線性減?。?．提示：（x＋x）3＝x3＋3x2x＋3x（x）2＋（x）3將導(dǎo)體棒無限分小,則導(dǎo)體中的電動勢為＝i＝Kri2ri,由（r＋r)3＝r3＋3r2r＋3r（r）2＋（r)3略去高階小量(r）2和（r）3，可得：r2r＝EQ\F（1,3)［（r＋r）3－r3]，代入上式得:＝EQ\F（1,3)K（ri3－ri－13）＝EQ\F（1，3）Ka3，電流為I＝EQ\F(，R）＝EQ\F（Ka3，3R)，各小段所受安培力為fi＝BIri＝KriIri，其力矩為Mi＝rifi＝Kri2Iri，則M＝Mi＝KIri2ri＝EQ\F(1,3）KI(ri3－ri－13）＝EQ\F（1,3)KIa3＝EQ\F（K2a6，9R)。摩擦力為EQ\F（1，2)mg，由力矩平衡得：Fa＝M＋Mf，則F＝EQ\F(K2a5，9R）＋EQ\F(1，2）mg。7．提示：I＝EQ\F(E1＋E2，R＋RA1＋RA2)＝EQ\F(（Ba121＋Ba222）/2,R＋R1/4＋R2/4）＝EQ\F(Ba1（a1＋a2）v/2a0,R＋R1/4＋R2/4)，P勻速下降時有m