新教材2023版高中數(shù)學第五章計數(shù)原理1基本計數(shù)原理1.3基本計數(shù)原理的簡單應(yīng)用課件北師大版選擇性必修第一冊

1.3基本計數(shù)原理的簡單應(yīng)用新知初探·課前預(yù)習題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習[教材要點]要點一兩個原理的關(guān)系分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題．區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事.狀元隨筆

加法原理乘法原理區(qū)別一完成一件事，共有n類辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事，共分n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中每種方法都能獨立地完成這件事，它是獨立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事區(qū)別三各種方法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復(fù)要點二兩個計數(shù)原理在解決計數(shù)問題中的用法在利用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析，分清是分類還是分步.狀元隨筆分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理的選擇分類加法計數(shù)原理的各類方法是相互獨立的，用任何一種方法都可以完成這件事．而分步乘法計數(shù)原理的各個步驟是相互依存的，必須完成每個步驟，才能完成這件事.根據(jù)具體問題的特征，正確認識分類和分步的特征，才能正確選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理來解決問題.[基礎(chǔ)自測]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1，2，3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法．(

)(2)所有兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)共有72個．(

)(3)應(yīng)用分類加法計數(shù)原理時為了避免漏掉某種情況，可以適當?shù)闹貜?fù)．(

)√××2．某小組有8名男生、6名女生，從中任選男生、女生各一名去參加座談會，則不同的選法有(

)A．48種

B．24種C.14種

D．12種解析：從8名男生中任意挑選一名參加座談會，有8種不同的選法；從6名女生中任意挑選一名參加座談會，有6種不同的選法．由分步乘法計數(shù)原理知，不同選法共有8×6＝48(種)．答案：A3．一項工作可以用兩種方法完成，有3人會用第1種方法完成，有5人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同的選法種數(shù)是(

)A.8

B．15C.16

D．30解析：第1類，從會第1種方法的3人中選1人，有3種不同的選法；第2類，從會第2種方法的5人中選1人，有5種不同的選法，共有5＋3＝8(種)不同的選法．答案：A4．一個科技小組中有4名女同學，5名男同學，從中任選一名同學參加學科競賽，共有不同的選派方法________種；若從中任選一名女同學和一名男同學參加學科競賽，共有不同的選派方法__________種．解析：由分類加法計數(shù)原理得從中任選一名同學參加學科競賽共5＋4＝9種選派方法，由分步乘法計數(shù)原理得從中任選一名女同學和一名男同學參加學科競賽共5×4＝20種選派方法．答案：9

20題型探究·課堂解透題型一抽取與分配問題例1

在7名學生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋．現(xiàn)在從這7人中選2人分別同時參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？解析：方法一分四類：第1類，從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，有選法3×2＝6(種)；第2類，從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，有選法3×2＝6(種)；第3類，從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽，有選法2×2＝4(種)；第4類，從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中各選1名分別參加象棋比賽和圍棋比賽，有選法2×1＝2(種)．故不同的選法共有6＋6＋4＋2＝18(種)．方法二分兩類：第1類，從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，這時7人中還有4人會下圍棋，從中選1名參加圍棋比賽．有選法3×4＝12(種)．第2類，從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選一名參加象棋比賽，這時7人中還有3人會下圍棋，從中選1名參加圍棋比賽．有選法2×3＝6(種)．故不同的選法共有12＋6＝18(種)．方法歸納求解抽取(分配)問題的方法(1)當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．跟蹤訓(xùn)練1

5個工程隊承包某項工程的5個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案有多少種？

解析：方法一完成承建任務(wù)可分五步：第一步安排1號子項目有4種；第二步安排2號也有4種；第三步安排3號有3種；第四步安排4號有2種；第五步，安排5號有1種．由分步乘法計數(shù)原理知共有4×4×3×2×1＝96(種)．方法二完成承建任務(wù)可分步安排各工程隊，第一步，安排甲隊有4種，第二步安排乙隊有4種，第三、四、五步安排其余工程隊共有3×2×1，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×4×3×2×1＝96(種)．題型二組數(shù)問題例2

用0，1，2，3，4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的：(1)四位密碼？(2)四位數(shù)？(3)四位奇數(shù)？解析：(1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步，選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步，選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有2種選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N＝5×4×3×2＝120個．(2)直接法：完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1，2，3，4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步，從1，2，3，4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N＝4×4×3×2＝96個．間接法：將5個數(shù)字不重復(fù)排在4個位置上有5×4×3×2＝120種排法，其中不合要求的有4×3×2＝24種排法．所以排成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為120－24＝96個．(3)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，定個位，只能從1，3中任取一個有2種方法；第二步，定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個還有3個可任取一個有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理共有2×3×3×2＝36個．方法歸納1．對于組數(shù)問題，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．2．解決組數(shù)問題，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則．跟蹤訓(xùn)練2

8張卡片上寫著0，1，2，…，7共8個數(shù)字，取其中的三張卡片排放在一起．(1)可組成多少個不同的三位數(shù)？(2)可組成多少個不同的三位偶數(shù)？解析：(1)先排放百位，從1，2，…，7共7個數(shù)中選一個有7種選法；再排十位，從除去百位的數(shù)外，剩余的7個數(shù)(包括0)中選一個，有7種取法；最后排個位，從除前兩步選出的數(shù)外，剩余的6個數(shù)中選一個，有6種選法．由分步乘法計數(shù)原理．共可以組成7×7×6＝294(個)不同的三位數(shù)．(2)首先分兩類，第一類是0排個位，由分步乘法計數(shù)原理得1×7×6＝42個．第二類是2，4，6排個位，由分步乘法計數(shù)原理得3×6×6＝108個，所以由分類加法計數(shù)原理為42＋108＝150個．題型三涂色(或種植)問題例3

如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，不同的涂色方案有多少種？解析：按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成，第一步，m1

＝3種，第二步，m2＝

2種，第三步，m3＝1種，第四步，m4＝1種，所以根據(jù)乘法原理，

得到不同的涂色方案種數(shù)共有N＝3×2×1×1＝6種．變式探究本例中的“3種不同顏色”改為“4種不同顏色”，結(jié)果又怎么樣呢？解析：涂色方案種數(shù)是4×3×2×2＝48.方法歸納解決涂色(種植)問題的一般思路(1)按涂色(種植)的順序分步進行，用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)．(2)按顏色(種植品種)恰當選取情況分類，用分類加法計數(shù)原理計數(shù)．(3)幾何體的涂色問題轉(zhuǎn)化為平面的涂色問題處理．(4)如果正面情況較多，可用間接法計算．跟蹤訓(xùn)練3

將3種作物種植在如下圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有多少種？

解析：從左往右5塊試驗田分別有3，2，2，2，2種種植方法，共有3×2×2×2×2＝48種方法，其中5塊試驗田只種植2種作物共有3×2×1×1×1＝6種方法，所以有48－6＝42種不同的種植方法．易錯辨析分類標準不清致誤例4

甲、乙、丙、丁4名同學爭奪數(shù)學、物理、化學3門學科知識競賽的冠軍，且每門學科只有1名冠軍產(chǎn)生，問有多少種不同的冠軍獲得情況？解析：可先舉例說出其中的1種情況，如數(shù)學、物理、化學3門學科知識競賽的冠軍分別是甲、甲、丙，可見研究的對象是“3門學科”，只有3門學科各產(chǎn)生1名冠軍，才算完成了這件事，而4名同學不一定每人都能獲得冠軍，故完成這件事分三步．第1步，產(chǎn)生數(shù)學學科冠軍，它一定被其中1名同學獲得，有4種不同的獲得情況；第2步，產(chǎn)生物理學科冠軍，因為奪得數(shù)學學科冠軍的同學還可以去爭奪物理學科冠軍，所以物理學科冠軍也是由4名同學去爭奪，有4種不同的獲得情況；第3步，產(chǎn)生化學學科冠軍，同理，也有4種不同的獲得情況．由分步乘法計數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4＝43＝64(種)．【易錯警示】易錯原因糾錯心得錯解：分四步完成這件事．第1步，甲同學去奪3門學科的冠軍，有3種不同情況；同理，第2，3，4步分別由其他3名同學去奪這3門學科的冠軍，都各自有3種不同情況．由分步乘法計數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有3×3×3×3＝34＝81(種)．要完成的“一件事”是“爭奪3門學科知識競賽的冠軍，且每門學科只有1名冠軍產(chǎn)生”．但錯解一、二中都有可能出現(xiàn)某一學科冠軍被2人、3人，甚至4人獲得的情形，另外還可能出現(xiàn)某一學科沒有冠軍產(chǎn)生的情況．用分步乘法計數(shù)原理求解元素可重復(fù)選取的問題時，哪類元素必須“用完”就以哪類元素作為分步的依據(jù)．[課堂十分鐘]1．由數(shù)字1，2，3，4組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字按嚴格遞增(如“134”)或嚴格遞減(如“421”)順序排列的數(shù)的個數(shù)是(

)A．4

B．8C．16

D．24解析：由題意分析知，嚴格遞增的三位數(shù)只要從4個數(shù)中任取3個，共有4種取法；同理嚴格遞減的三位數(shù)也有4個，所以符合條件的數(shù)有4＋4＝8個．答案：B2．某年級要從3名男生，2名女生中選派3人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有(

)A．6種

B．7種C．8種

D．9種解析：可按女生人數(shù)分類：若選派一名女生，有2×3＝6種；若選派2名女生，則有3種．由分類加法計數(shù)原理，共有9