抽象函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

抽象函數(shù)性質(zhì)及類型抽象來源于具體.抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的,高中大量的抽象函數(shù)都是以中學(xué)階所學(xué)的根本函數(shù)為背景抽象而得,解題時(shí),假設(shè)能從研究抽象函數(shù)的“模型”入手,根據(jù)題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì),通過類比、猜測出它可能為某種根本函數(shù),變抽象為具體,變陌生為熟知,?？刹聹y出抽象函數(shù)所蘊(yùn)含的重要性質(zhì),并以此作為解題的突破口,必能為我們的解題提供思路和方法.抽象函數(shù)常見模型:特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)冪函數(shù)f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或]指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[正、余弦函數(shù)f(x)=sinx,f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù)f(x)=tanx余切函數(shù)f(x)=cotx一、定義域問題--------多為簡單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的定義域互求.例1.假設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是[－2，2]，那么函數(shù)y=f(x+1)+f(x－1)的定義域?yàn)?。解：f(x)的定義域是，意思是凡被f作用的對(duì)象都在中。評(píng)析：f(x)的定義域是A，求的定義域問題，相當(dāng)于解內(nèi)函數(shù)的不等式問題。練習(xí)：函數(shù)f(x)的定義域是，求函數(shù)的定義域。例2：函數(shù)的定義域?yàn)閇3，11]，求函數(shù)f(x)的定義域。評(píng)析：函數(shù)的定義域是A，求函數(shù)f(x)的定義域。相當(dāng)于求內(nèi)函數(shù)的值域。練習(xí)：定義在上的函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋僭O(shè)它的反函數(shù)為f-1(x)，那么y=f-1(2-3x)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?。二、求值問題-----抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的,可通過賦特殊值法使問題得以解決.例3.①對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,均滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,那么f(2001)=_______.解析:這種求較大自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,一般從找周期或遞推式著手:令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得:f(0)=0,∴f(1)=,②R上的奇函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f-1(x),由y=f(x+1)與y=f-1(x+2)互為反函數(shù),那么f(2009)=.解析:由于求的是f(2009),可由y=f-1(x+2)求其反函數(shù)y=f(x)-2,所以f(x+1)=f(x)-2,又f(0)=0,通過遞推可得f(2009)=-4918.例4.f(x)是定義在R上的函數(shù),f(1)=1,且對(duì)任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.假設(shè)g(x)=f(x)+1-x,那么g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.而f(x+5)≥f(x)+5,所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5,又f(x+1)≤f(x)+1,所以g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1,即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.練習(xí):1.f(x)的定義域?yàn)?對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2,那么()2..2000.(,原式=16)3、對(duì)任意整數(shù)函數(shù)滿足:,假設(shè),那么CA.-1B.1C.19D.434、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù),對(duì)都有成立,假設(shè),那么=()(B)A.2005B.2C.1D.05、定義在R上的函數(shù)Y=f(x)有反函數(shù)Y=f-1(x),又Y=f(x)過點(diǎn)(2,1),Y=f(2x)的反函數(shù)為Y=f-1(2x),那么Y=f-1(16)為()(A)A)B)C)8D)16三、值域問題例4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,f(x+y)=f(x)f(y)總成立,且存在,使得,求函數(shù)f(x)的值域.解:令x=y=0,有f(0)=0或f(0)=1.假設(shè)f(0)=0,那么f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立,這與存在實(shí)數(shù),使得成立矛盾,故f(0)≠0,必有f(0)=1.由于f(x+y)=f(x)f(y)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均成立,因此,,又因?yàn)榧僭O(shè)f(x)=0,那么f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0與f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.四、求解析式問題(換元法,解方程組,待定系數(shù)法,遞推法,區(qū)間轉(zhuǎn)移法,例5.f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)解:令u=1+sinx,那么sinx=u-1(0≤u≤2),那么f(u)=-u2+3u+1(0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1(0≤u≤2)例6、設(shè)對(duì)滿足x≠0,x≠1的所有實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足,,求f(x)的解析式.解:----(2)---(3)例7.f(x)是多項(xiàng)式函數(shù),且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多項(xiàng)式,設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),代入比擬系數(shù)得:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.例8.是否存在這樣的函數(shù)f(x),使以下三個(gè)條件:①f(n)>0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4同時(shí)成立?假設(shè)存在,求出函數(shù)f(x)的解析式；假設(shè)不存在,說明理由.解:假設(shè)存在這樣的函數(shù)f(x),滿足條件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜測:f(x)=2x(x∈N*)小結(jié):對(duì)于定義在正整數(shù)集N*上的抽象函數(shù),用數(shù)列中的遞推法來探究,如果給出的關(guān)系式具有遞推性,也常用遞推法來求解.例9、是定義在R上的偶函數(shù),且恒成立,當(dāng)時(shí),,那么時(shí),函數(shù)的解析式為(D)A．B．C．D．解:易知T=2,當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),∴.應(yīng)選D.練習(xí):1、解:,2.(重慶)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(Ⅰ)假設(shè)f(2)=3,求f(1)；又假設(shè)f(0)=a,求f(a)；(Ⅱ)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)=x0,求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式.3、函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0,(1)求的值；(2)對(duì)任意的,,都有f(x1)+2<logax2成立時(shí),求a的取值范圍．解:(1)由等式,令,得,又∵,∴．(2)由,令得,由(1)知,∴．∵,∴在上單調(diào)遞增,∴．要使任意,都有成立,必有都成立.當(dāng)時(shí),,顯然不成立．當(dāng)時(shí),,解得∴的取值范圍是．五、單調(diào)性問題(抽象函數(shù)的單調(diào)性多用定義法解決)例10.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),假設(shè)x>0時(shí)f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.解析:由單調(diào)性的定義步驟設(shè)x1<x2,那么f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1).(∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0)所以f(x)是R上的減函數(shù),故f(x)在[-3,3]上的最大值為f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值為f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)為奇函數(shù).∴f(-3)=-f(3)=6.練習(xí):設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),求證:f(x)在R上為增函數(shù).證明:設(shè)R上x1<x2,那么f(x2-x1)>1,f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此處不能直接得大于f(x1),因?yàn)閒(x1)的正負(fù)還沒確定).取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;假設(shè)f(0)=0,令x>0,y=0,那么f(x)=0與x>0時(shí),f(x)>1矛盾,所以f(0)=1,x>0時(shí),f(x)>1>0,x<0時(shí),-x>0,f(-x)>1,∴由,故f(x)>0,從而f(x2)>f(x1).即f(x)在R上是增函數(shù).(注意與例4的解答相比擬,體會(huì)解答的靈活性)例11、偶函數(shù)f(x)的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù),對(duì)定義域內(nèi)的任意x1,x2都有,且當(dāng)時(shí),(1)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)；(2)解不等式解:(1)設(shè),那么∵,∴,∴,即,∴∴在上是增函數(shù)(2),∴,∵是偶函數(shù)∴不等式可化為,又∵函數(shù)在上是增函數(shù),∴0≠,解得:練習(xí):函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,當(dāng)x>－時(shí),f(x)>0.求證:f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；證明:設(shè)x1＜x2,那么x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,∴f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).例12、定義在R+上的函數(shù)f(x)滿足:①對(duì)任意實(shí)數(shù)m,f(xm)=mf(x);②f(2)=1.(1)求證:f(xy)=f(x)+f(y)對(duì)任意正數(shù)x,y都成立;(2)證明f(x)是R+上的單調(diào)增函數(shù);(3)假設(shè)f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范圍.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n為實(shí)數(shù),那么f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n,又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y),故f(x1)<f(x2),即f(x)是R+上的增函數(shù).(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性質(zhì),得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2),解得3<x≤4.練習(xí)2定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)≠0,當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞1,且對(duì)任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求證:f(0)=1；(2)求證:對(duì)任意的x∈R,恒有f(x)＞0；(3)求證:f(x)是R上的增函數(shù)；(4)假設(shè)f(x)·f(2x－x2)＞1,求x的取值范圍.解:(1)證明:令a=b=0,那么f(0)=f2(0).又f(0)≠0,∴f(0)=1.(2)證明:當(dāng)x＜0時(shí),－x＞0,∴f(0)=f(x)·f(－x)=1.∴f(－x)=＞0.又x≥0時(shí)f(x)≥1＞0,∴x∈R時(shí),恒有f(x)＞0.(3)證明:設(shè)x1＜x2,那么x2－x1＞0.∴f(x2)=f(x2－x1+x1)=f(x2－x1)·f(x1).∵x2－x1＞0,∴f(x2－x1)＞1.又f(x1)＞0,∴f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1).∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是R上的增函數(shù).(4)解:由f(x)·f(2x－x2)＞1,f(0)=1得f(3x－x2)＞f(0).又f(x)是R上的增函數(shù),∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.練習(xí)3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意a,b,當(dāng)a+b≠0,都有＞0(1).假設(shè)a＞b,試比擬f(a)與f(b)的大??；(2).假設(shè)f(k＜0對(duì)x∈[－1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(由>0可得f(a)>f(b).)練習(xí)4、函數(shù)f(x)對(duì)任何正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,當(dāng)x>1時(shí),f(x)<1.試判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性.解:,,所以f(x1)>f(x2),故f(x)在R+上為減函數(shù).練習(xí)6、.函數(shù)的定義域?yàn)?且同時(shí)滿足:(1)對(duì)任意,總有；(2),(3)假設(shè)且,那么有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.求證:.解:(I)令,由(3),那么,由對(duì)任意,總有(II)任意且,那么(III),即.故即原式成立.六、奇偶性問題例13.(1)函數(shù)f(x)(x≠0的實(shí)數(shù))對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)x、y都有f(x﹒y)=f(x)+f(y),試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解析:函數(shù)具備奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再考慮f(-x)與f(x)的關(guān)系:取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1),取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數(shù).(2)y=f(2x+1)是偶函數(shù),那么函數(shù)y=f(2x)的圖象的對(duì)稱軸是(D)A.x=1 B.x=2 C.x=－ D.x=解析:f(2x+1)關(guān)于x=0對(duì)稱,那么f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱,故f(2x)關(guān)于2x=1對(duì)稱.注:假設(shè)由奇偶性的定義看復(fù)合函數(shù),一般用一個(gè)簡單函數(shù)來表示復(fù)合函數(shù),化繁為簡.F(x)=f(2x+1)為偶函數(shù),那么f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱.例14:函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足,(2)存在正常數(shù)a,使f(a)=1.求證:f(x)是奇函數(shù).證明:設(shè)t=x-y,那么,所以f(x)為奇函數(shù).例15:設(shè)是定義在上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),又.求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析:又偶函數(shù)的性質(zhì)知道:在上減,而,,所以由得,解得.(設(shè)計(jì)理由:此類題源于變量與單調(diào)區(qū)間的分類討論問題,所以此題彈性較大,可以作一些條件變換如:等；也可將定義域作一些調(diào)整)例16:定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)假設(shè)f(k·3)+f(3-9-2)＜0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解答:(1)證明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)----①令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0．即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立,∴f(x)是奇函數(shù)．(2)解:f(3)=log3＞0,即f(3)＞f(0),又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),所以f(x)在R上是增函數(shù),又由(1)f(x)是奇函數(shù)．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2),k·3＜-3+9+2,3-(1+k)·3+2＞0對(duì)任意x∈R成立．令t=3＞0,即t-(1+k)t+2＞0對(duì)任意t＞0恒成立．故:對(duì)任意x∈R恒成立.說明:問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù),把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對(duì)于任意t＞0恒成立．對(duì)二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解．此題還有更簡捷的解法:別離系數(shù)由k·3＜-3+9+2得要使對(duì)不等式恒成立,只需k<練習(xí):1、f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)于任意的函數(shù)a,b都滿足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(3)假設(shè)f(2)=2,un=f(2n)(n∈N*),求證:un+1>un(n∈N*).解:(1)、令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.(2)、令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f[(-1)(x)]=-f(x)+xf(-1)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).(3)先用數(shù)學(xué)歸納法證明:un=f(2n)>0(n∈N*)(略)2.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且當(dāng)x＞0時(shí)f(x)＜0恒成立.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論；(2)證明f(x)為減函數(shù)；假設(shè)函數(shù)f(x)在[-3,3)上總有f(x)≤6成立,試確定f(1)應(yīng)滿足的條件；解:(2)設(shè)任意x1,x2∈R且x1＜x2,那么x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0,而f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0；∴f(x1)＞f(x2),即f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).∴f(x)在[-3,3]上的最大值為f(-3).要使f(x)≤6恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)f(-3)≤6,又∵f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=-3f(1),∴f(1)≥-2.(3)f(ax2)-f(x)＞f(a2x)-f(a) f(ax2)-f(a2x)＞n[f(x)-f(a)] f(ax2-a2x)＞nf(x-a),由得:f[n(x-a)]=nf(x-a)∴f(ax2-a2x)＞f[n(x-a)]∵f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)∴ax2-a2x＜n(x-a).即(x-a)(ax-n)＜0,∵a＜0,∴(x-a)(x-)＞0,討論:(1)當(dāng)a＜＜0,即a＜-時(shí),原不等式解集為{x|x＞或x＜a}；(2)當(dāng)a=＜0即a=-時(shí),原不等式的解集為φ；(3)當(dāng)＜a＜0時(shí),即-＜a＜0時(shí),原不等式的解集為{x|x＞a或x＜3、f(x)是定義在［－1,1］上的奇函數(shù),且f(1)=1,假設(shè)a,b∈［－1,1］,a+b≠0時(shí),有＞0.(1)判斷函數(shù)f(x)在［－1,1］上是增函數(shù),還是減函數(shù),并證明你的結(jié)論；(2)解不等式:f(x+)＜f();(3)假設(shè)f(x)≤m2－2pm+1對(duì)所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常數(shù))恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍..解:(1)設(shè)任意x1,x2∈［－1,1］,且x1<x2.由于f(x)是定義在［－1,1］上的奇函數(shù),∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1). 因?yàn)閤1<x2,所以x2+(－x1)≠0,由有＞0,∵x2+(－x1)=x2－x1>0,∴f(x2)+f(－x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函數(shù)f(x)在［－1,1］上是增函數(shù).(2)由不等式f(x+)＜f()得,解得－1<x<0,即為所求. (3)由以上知f(x)最大值為f(1)=1,所以要f(x)≤m2－2pm+1對(duì)所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常數(shù))恒成立,只需1≤m2－2pm+1恒成立,得實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤0或m≥2p. 七、周期性與對(duì)稱性問題(由恒等式簡單判斷:同號(hào)看周期,異號(hào)看對(duì)稱)編號(hào)周期性對(duì)稱性1→T=2→對(duì)稱軸是偶函數(shù)；→對(duì)稱中心(a,0)是奇函數(shù)2→T=→對(duì)稱軸；→對(duì)稱中心；3f(x)=-f(x+a)→T=2f(x)=-f(-x+a)→對(duì)稱中心4→T=2→對(duì)稱中心5f(x)=±→T=2f(x)=b-f(-x+a)→對(duì)稱中心6f(x)=1-→T=3結(jié)論:(1)

函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a,x=b對(duì)稱,那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=2|a-b|(2)

函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱,那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=2|a-b|(3)

函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a,及點(diǎn)M(b,0)對(duì)稱,那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=4|a-b|(4)應(yīng)注意區(qū)分一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性和兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性的區(qū)別:y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于對(duì)稱；y=f(a+x)與y=-f(b-x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(可以簡單的認(rèn)為:一個(gè)函數(shù)的恒等式,對(duì)應(yīng)法那么下的兩式相加和的一半為對(duì)稱軸:兩個(gè)同法那么不同表達(dá)式的函數(shù),對(duì)應(yīng)法那么下的兩式相減等于0,解得的x為對(duì)稱軸)例17:①定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=–f(x),那么f(6)的值為(B)A.–1B.0C.1D.2解:因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,又T=4,所以f(6)=f(2)=–f(0)=0.②函數(shù)f(x)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f(1+2x)=f(1-2x),那么f(2x)的圖像關(guān)于對(duì)稱.(x=1/2)(重慶)函數(shù)滿足:,,那么=_____________.解析:取x=1y=0得法一:通過計(jì)算,尋得周期為6法二:取x=ny=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n),聯(lián)立得f(n+2)=—f(n-1)所以T=6故=f(0)=例18.函數(shù)y=f(x)滿足,求的值.解:由式知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1001)對(duì)稱.據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系,知函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1001,0)對(duì)稱,所以,即=0例19.奇函數(shù)f(x)定義在R上,且對(duì)常數(shù)T>0,恒有f(x+T)=f(x),那么在區(qū)間［0,2T］上,方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)最小值為()A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)解:∵f(0)=0→x1=0,又f(2T)=f(T)=f(0)=0→x2=T,x3=2T.又因?yàn)榱顇=0得,∴=0.(此題C易錯(cuò)選為A)例20．①f(x)滿足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),假設(shè)f(a)=-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上單調(diào).求a的值.解:∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)關(guān)于(3,0)對(duì)稱又∵f(x)=f(2-x)∴f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱∴T=8∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∴a=6②設(shè)y=f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且當(dāng)x[2,3]時(shí),g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a為常數(shù)且aR)(1)求f(x);(2)是否存在a[2,6]或a(6,+∞),使函數(shù)f(x)的圖象的最高點(diǎn)位于直線y=12上？假設(shè)存在,求出a的值；假設(shè)不存在,說明理由.

解:(1)設(shè)點(diǎn)M(x,f(x))為函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)M關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為N(2-x,f(x)).

∵y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.∴點(diǎn)N(2-x,f(x))在y=g(x)圖象上.

由此得f(x)=g(2-x)(利用結(jié)論4的命題易得這一結(jié)果:y=g(x)與y=g(2-x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱)

設(shè)x[-1,0],那么2-x[2,3].此時(shí)f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3

又f(x)為偶函數(shù)f(-x)=f(x),x[-1,1].∴當(dāng)x[0,1]時(shí),f(x)=2ax-4x3

(2)注意到f(x)為偶函數(shù),只須研究f(x)在[0,1]上的最大值.(ⅰ)當(dāng)a(2,6]時(shí),由0x1得a-2x2＞0,

f(x)=2x(a-2x2)=≤=(當(dāng)且僅當(dāng)4=a－2,即x=[0,1]時(shí)等號(hào)成立).由題意知,f(x)的最大值為12,令=12得=486>,∴a>6,這與a(2,6]矛盾,故此時(shí)滿足條件的a不存在.(ⅱ)當(dāng)a=2且0≤x≤1時(shí),f(x)=4x(1－)同理可證f(x)=(當(dāng)且僅當(dāng)2=1-,即x=時(shí)等號(hào)成立),也與矛盾.(ⅲ)當(dāng)a>6時(shí),設(shè)0,那么f()-f()=2a(-)-4(-)=2(-)[a-2(++)],由題設(shè)0<++<3,a>6,∴a-2(++)>0,又-<0∴f()-f()<0即f()<f(),∴f(x)在[0,1]上為增函數(shù).∴此時(shí)=f(1)=2a-4.令2a-4=12,解得a=8(6,+∞),適合題意.

因此,綜合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)知,存在a=8(6,+∞),使得函數(shù)f(x)的圖象的最高點(diǎn)位于直線y=12上.練習(xí)1、函數(shù)是偶函數(shù),那么的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱.2、函數(shù)滿足,且,那么-1.3、函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且,那么解析:法一:因f(x)為奇函數(shù)且關(guān)于對(duì)稱,T=2,可借助圖象解答,得結(jié)果為0.小結(jié):此方法為數(shù)形結(jié)合法法二:因f(x)為奇函數(shù)且關(guān)于對(duì)稱,類比聯(lián)想函數(shù)0,小結(jié):此方法為抽象函數(shù)具體化法4、函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),函數(shù)是的反函數(shù),假設(shè)那么()A)2B)0C)1D)-2解析:法一:(函數(shù)具體化)設(shè)符合題意,那么那么,法二:y=f(2x-1)是R上的奇函數(shù)→f(-2x-1)=-f(2x-1),即f(-2x-1)+f(2x-1)=0,由反函數(shù)的關(guān)系就可以取x1=f(-2x-1),x2=f(2x-1),所以g(x1)+g(x2)=-2x-1+(2x-1)=-2.5.設(shè)f(x)是R的奇函數(shù),f(x+2)=—f(x),當(dāng)0≤x≤1,時(shí),f(x)=x,那么f(7.5)=-0.56.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x)=3,那么f-1(x)+f-1(3-x)=.07、f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),且f(2)=0,那么方程f(x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是(D)A.4B.5C.6D.78、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3],且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱,當(dāng)x[2,3]時(shí)f(x)=2x,求當(dāng)x[1,2]時(shí),f(x)的解析式.

解:由得f(x)=-f(4-x)①又當(dāng)x[1,2]時(shí),4-x[2,3],∴f(4-x)=(4-x)-2(4-x)②∴由①②得f(x)=-(x-4)+2(4-x)∴當(dāng)x[1,2]時(shí),f(x)=-x+6x-89、(山東)定義在R上的奇函數(shù),滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),假設(shè)方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,那么-8八、綜合問題例21.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n,總有,且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1.(1)判斷f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè),,假設(shè),試確定a的取值范圍.解:(1)在中,令,得,因?yàn)?所以.在中,令,因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),而,所以又當(dāng)x=0時(shí),,所以,綜上可知,對(duì)于任意,均有.設(shè),那么所以.所以在R上為減函數(shù).(2)由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù),所以,即有又,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,有,由,所以直線與圓面無公共點(diǎn).因此有,解得.評(píng)析:(1)要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個(gè)問題:一是f(0)的取值問題,二是f(x)>0的結(jié)論.這是解題的關(guān)鍵性步驟,完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行.由特殊到一般的解題思想,聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決.例22.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x),滿足當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2解:(1)先證f(x)>0,且單調(diào)遞增,因?yàn)閒(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0時(shí)f(x)>1,所以f(0)=1.f(x)=f[(x-xo)+xo]=f(x-xo)f(xo)=0,與矛盾,故f(x)>0,任取x1,x2∈R且x1<x2,那么x2-x1>0,f(x2-x1)>1,所以f(x1)-f(x2)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>0.所以x∈R時(shí),f(x)為增函數(shù).解得:{x|1<x<2}(2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化為:[f(x)]2+4f(x)-5=0,解得f(x)=1或f(x)=-5(舍)由(1)得x=0.例23.(2)當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),有f(x)>0.求證:(Ⅰ)f(x)是奇函數(shù)；(Ⅱ)解:(1)易證f(x)是奇函數(shù).(2)易證f(x)在(-1,0),(0,1)上是單調(diào)遞減函數(shù).函數(shù)綜合1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)單調(diào)性一致(在整個(gè)定義域內(nèi)未必單調(diào)),推廣:函數(shù)在其對(duì)稱中心兩側(cè)單調(diào)性相同.偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反,推廣:函數(shù)在其對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；此時(shí)函數(shù)值的大小取決于離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近.解“抽象不等式(即函數(shù)不等式)”多用函數(shù)的單調(diào)性,但必須注意定義域.關(guān)注具體函數(shù)“抽象化”.[舉例1]設(shè)偶函數(shù)f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上遞增,那么f(a+1)與f(b+2)的大小關(guān)系是A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)＞f(b+2)C.f(a+1)＜f(b+2) D.不確定解析:函數(shù)f(x)=loga|x-b|為偶函數(shù),那么b=0,f(x)=loga|x|,令g(x)=|x|,函數(shù)g(x)(圖象為“V”字形)在(-∞,0)遞減,而函數(shù)f(x)=logag(x)在(-∞,0)上遞增,∴0<a<1,∴1<a+1<2=b+2,又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且在(-∞,0)上遞增,∴f(x)在(0,+)上遞減,∴f(a+1)>f(b+2),應(yīng)選B.[舉例2]設(shè)函數(shù),假設(shè)≤≤時(shí),恒成立,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是解析:此題不宜將msin及1-m代入函數(shù)的表達(dá)式,得到一個(gè)“龐大”的不等式,因?yàn)檫\(yùn)算量過大,恐怕很難進(jìn)行到底.注意到:函數(shù)f(x)為奇函數(shù),原不等式等價(jià)于:,又函數(shù)f(x)遞增,∴msin>m-1對(duì)≤≤恒成立,別離參變量m(這是求參變量取值范圍的通法)得:m<,(0<1-sin≤1,事實(shí)上當(dāng)sin=1時(shí)不等式恒成立,即對(duì)m沒有限制,所以無需研究),記g()=,那么m<g()min,又∵0<1-sin≤1,∴g()min=1(當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)等號(hào)成立),∴m<1.[穩(wěn)固]定義在[-1,a]上的函數(shù)f(x)滿足:f(2+x)=f(2-x),且在[2,5]上遞增,方程f(x)=0的一根為4,解不等式f(3+x)>0[提高]定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)=,且f(x)在[-3,-2]上是減函數(shù),又、是鈍角三角形的兩銳角,那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是:A.f(sin)>f(cos)B.f(sin)<f(cos)C.f(sin)<f(sin)D.f(cos)<f(cos2．關(guān)注“分段函數(shù)”.分段函數(shù)的反函數(shù)、值域一般分段求,分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性一般要借助于圖象.f(x)=max{g(x),h(x)}、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一種分段函數(shù),作出它的圖象是研究這類函數(shù)的有效途徑.[舉例]對(duì)于函數(shù)給出以下四個(gè)命題:該函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1],②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),該函數(shù)取得最大值1,③該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù),④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上述命題中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為()A、1B、2C、3D、4解析:作出函數(shù)y=f(x)在[,]上的圖象如右(先分別作函數(shù)y=sinx,y=cosx的圖象,觀察圖象,保存兩者中之較“高”者).從圖象上不難看出:該函數(shù)的值域?yàn)閇-,1],當(dāng)或時(shí)函數(shù)取得最大值1,該函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,∴命題中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為3個(gè),選C.[穩(wěn)固]是(-,+)上的減函數(shù),那么a取值范圍是.3.研究方程根的個(gè)數(shù)、超越方程(不等式)的解(特別是含有參量的)、二次方程根的分布、二次函數(shù)的值域、三角函數(shù)的性質(zhì)(包括值域)、含有絕對(duì)值的函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)值域研究定義域等一般用函數(shù)圖象(作圖要盡可能準(zhǔn)確).[舉例1]假設(shè)在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足等式那么的范圍是