抽象函數(shù)周期性對稱性相關(guān)定理全總結(jié)

抽象函數(shù)周期與對稱軸的相關(guān)結(jié)論一、教學(xué)內(nèi)容抽象函數(shù)的周期與對稱軸二、教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：抽象函數(shù)周期與對稱軸的相關(guān)結(jié)論。難點(diǎn)：結(jié)論的推導(dǎo)證明，利用結(jié)論解決問題三、具體內(nèi)容1.假設(shè)那么的周期為。2.假設(shè)那么的周期為。證：令∴3.假設(shè)那么的周期。證：令∴①令∴②由①②得：∴∴4.假設(shè)那么圖象的對稱軸為。證：要證原結(jié)論成立只需證令代入那么5.假設(shè)那么的圖象，以為對稱中心。證：方法一：要證原結(jié)論成立只需證令代入那么方法二：設(shè)它的圖象為那么關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)∵∴∴【幾個(gè)重要的結(jié)論】〔一〕函數(shù)圖象本身的對稱性〔自身對稱〕1、函數(shù)滿足〔T為常數(shù)〕的充要條件是的圖象關(guān)于直線對稱。2、函數(shù)滿足〔T為常數(shù)〕的充要條件是的圖象關(guān)于直線對稱。3、函數(shù)滿足的充要條件是圖象關(guān)于直線對稱。4、如果函數(shù)滿足且，〔和是不相等的常數(shù)〕，那么是以為為周期的周期函數(shù)。5、如果奇函數(shù)滿足〔〕，那么函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。6、如果偶函數(shù)滿足〔〕，那么函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)?！捕硟蓚€(gè)函數(shù)的圖象對稱性〔相互對稱〕〔利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解〕1、曲線與關(guān)于X軸對稱。2、曲線與關(guān)于Y軸對稱。3、曲線與關(guān)于直線對稱。4、曲線關(guān)于直線對稱曲線為。5、曲線關(guān)于直線對稱曲線為。6、曲線關(guān)于直線對稱曲線為。7、曲線關(guān)于點(diǎn)對稱曲線為。注：一個(gè)結(jié)論：設(shè)，都有且有個(gè)實(shí)根，那么所有實(shí)根之和為【典型例題】【例1】對于，有以下命題?！?〕在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱?！?〕假設(shè)且均成立，那么為偶函數(shù)?！?〕假設(shè)恒成立，那么為周期函數(shù)?！?〕假設(shè)為單調(diào)增函數(shù)，那么也為單調(diào)增函數(shù)，其中正確的為解：〔2〕〔3〕【例2】假設(shè)函數(shù)有求。解：，知的圖象關(guān)于對稱而的對稱中心∴∴那么【例3】設(shè)是定義在上的函數(shù)，均有，當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，的解析式。解：由有得設(shè)那么，∴，∴時(shí)【例4】是定義在上的函數(shù)且滿足，當(dāng)時(shí)有那么〔1〕是周期函數(shù)且周期為，〔2〕當(dāng)時(shí)，〔3〕其中正確的選項(xiàng)是？解：〔1〕〔2〕〔3〕【例5】滿足，，當(dāng)時(shí)且，假設(shè)，，求大小關(guān)系？解：由得，對稱軸∴也為一條對稱軸∴∴由∴∴∴，，∴【例6】定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，假設(shè)的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，求的值。解【例7】設(shè)定義在上，有且當(dāng)時(shí)，〔1〕求證：且當(dāng)時(shí)，〔2〕求證：在上遞減。解：〔1〕在中，令得∵∴設(shè)，那么令代入條件式有而∴〔2〕設(shè)那么∴令那么代入條件式得即∴∴在上遞減【模擬試題】一、選擇題1.滿足，且是奇函數(shù)，假設(shè)那么〔〕A.B.C.D.2.是定義在上的偶函數(shù)，且對任何實(shí)數(shù)均成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，〔〕A.B.C.D.3.假設(shè)函數(shù)，都有那么等于〔〕A.B.C.D.或4.函數(shù)是〔〕A.周期為的奇函數(shù) B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的奇函數(shù)5.的圖象關(guān)于軸對稱的充要條件是〔〕A.B.C.D.6.如果且那么可以是〔〕A.B.C.D.7.為偶函數(shù)的充要條件是〔〕A.B.C.D.8.設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么〔〕A.B.C.D.9.設(shè)，有那么〔〕A.B.C.D.10.定義在上，那么與的圖象關(guān)于〔〕A.對稱B.對稱C.對稱D.對稱二、填空題1.是上的奇函數(shù)，且，。2.函數(shù)的圖象的對稱軸中最靠近軸的是。3.為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，那么當(dāng)時(shí)。4.偶函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上是增函?shù)，那么〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕中正確的選項(xiàng)是。三.解答題1.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱,都且?！?〕求、〔2〕證明：是周期函數(shù)2.如果函數(shù)的圖象關(guān)于和都對稱，證明這個(gè)函數(shù)滿足。3.對任意實(shí)數(shù)都有，比擬與的大小。4.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，對一切實(shí)數(shù)x都有成立，假設(shè)方程僅有個(gè)不同實(shí)根，求所有實(shí)根之和?！菊n后練習(xí)】1、定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足，且時(shí),,那么________。2、函數(shù)滿足，那么圖象關(guān)于__________對稱。3、函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于關(guān)于__________對稱。4、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，那么的圖象關(guān)于__________對稱。5、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，那么的圖象關(guān)于__________對稱。圖象關(guān)于__________對稱。6、設(shè)的定義域?yàn)镽，且對任意，有，那么圖象關(guān)于__________對稱，關(guān)于__________對稱。7、函數(shù)對一切實(shí)數(shù)x滿足，且方程有5個(gè)實(shí)根，那么這5個(gè)實(shí)根之和為〔〕A、5B、10C、15D、188、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，那么以下命題中，①假設(shè)是偶函數(shù)，那么圖象關(guān)于y軸對稱；②假設(shè)是偶函數(shù)，那么圖象關(guān)于直線對稱；③假設(shè)，那么函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；④與圖象關(guān)于直線對稱，其中正確命題序號為_______。9、函數(shù)定義域?yàn)镽，且恒滿足和，當(dāng)時(shí)，，求解析式。10、偶函數(shù)定義域?yàn)镽，且恒滿足，假設(shè)方程在上只有三個(gè)實(shí)根，且一個(gè)根是4，求方程在區(qū)間中的根?！灸M試題答案】一．1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.B8.B9.A10.B二．1.2.3.4.三.1.解：〔1〕∵都有∴∵∵，∴〔2〕由關(guān)于對稱∴即，又由是偶函數(shù)知，∴，將上式中以代換得∴是上的周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期2.證：∵關(guān)于和對稱∴，∴令，那么