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認(rèn)證類(lèi)型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：馮**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：云南

IP屬地：云南 上傳時(shí)間：2024-03-02 格式：DOC 頁(yè)數(shù)：15 大?。?38KB 積分：20 舉報(bào) 版權(quán)申訴

2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，則（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=? 2．（5分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A． B． C． D． 3．（5分）設(shè)有下面四個(gè)命題p1：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)足z1z2∈R，則z1=；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R．其中的真命題為（）A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 4．（5分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．8 5．（5分）函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f（1）=﹣1，則滿(mǎn)足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 6．（5分）（1+）（1+x）6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．35 7．（5分）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）A．10 B．12 C．14 D．16 8．（5分）如圖程序框圖是為了求出滿(mǎn)足3n﹣2n＞1000的最小偶數(shù)n，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 9．（5分）已知曲線(xiàn)C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），則下面結(jié)論正確的是（）A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 10．（5分）已知F為拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（）A．16 B．14 C．12 D．10 11．（5分）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類(lèi)推．求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（）A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=．14．（5分）設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則z=3x﹣2y的最小值為．15．（5分）已知雙曲線(xiàn)C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN=60°，則C的離心率為．16．（5分）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng)．18．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．（?。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得==9.97，s==≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1，2，…，16．用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）．附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為﹣1，證明：l過(guò)定點(diǎn)．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．[選修44，坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），直線(xiàn)l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．（1）若a=﹣1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范圍．2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，則（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=? 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；37：集合思想；4O：定義法；5J：集合．【分析】先分別求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正確，D錯(cuò)誤；A∪B={x|x＜1}，故B和C都錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集和并集求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集、并集定義的合理運(yùn)用．2．（5分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；4O：定義法；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性求出黑色圖形的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性知，黑色部分為圓面積的一半，設(shè)圓的半徑為1，則正方形的邊長(zhǎng)為2，則黑色部分的面積S=，則對(duì)應(yīng)概率P==，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出黑色陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵．3．（5分）設(shè)有下面四個(gè)命題p1：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)足z1z2∈R，則z1=；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R．其中的真命題為（）A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；A1：虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)；A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】2A：探究型；5L：簡(jiǎn)易邏輯；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類(lèi)，有復(fù)數(shù)性質(zhì)，逐一分析給定四個(gè)命題的真假，可得答案．【解答】解：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足∈R，則z∈R，故命題p1為真命題；p2：復(fù)數(shù)z=i滿(mǎn)足z2=﹣1∈R，則z?R，故命題p2為假命題；p3：若復(fù)數(shù)z1=i，z2=2i滿(mǎn)足z1z2∈R，但z1≠，故命題p3為假命題；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則=z∈R，故命題p4為真命題．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的分類(lèi)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為（）A．1 B．2 C．4 D．8 【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；4O：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出{an}的公差．【解答】解：∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{an}的公差為4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列公式的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5．（5分）函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f（1）=﹣1，則滿(mǎn)足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 【考點(diǎn)】3P：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可將不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化為﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．若f（1）=﹣1，則f（﹣1）=1，又∵函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞減，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．6．（5分）（1+）（1+x）6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．35 【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法．【分析】直接利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展開(kāi)式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常數(shù)項(xiàng)1，則（1+x）6提供含有x2的項(xiàng)，可得展開(kāi)式中x2的系數(shù)：若（1+）提供x﹣2項(xiàng)，則（1+x）6提供含有x4的項(xiàng)，可得展開(kāi)式中x2的系數(shù)：由（1+x）6通項(xiàng)公式可得．可知r=2時(shí)，可得展開(kāi)式中x2的系數(shù)為．可知r=4時(shí)，可得展開(kāi)式中x2的系數(shù)為．（1+）（1+x）6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為：15+15=30．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的知識(shí)點(diǎn)，通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）A．10 B．12 C．14 D．16 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5Q：立體幾何．【分析】由三視圖可得直觀圖，由圖形可知該立體圖中只有兩個(gè)相同的梯形的面，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可【解答】解：由三視圖可畫(huà)出直觀圖，該立體圖中只有兩個(gè)相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴這些梯形的面積之和為6×2=12，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8．（5分）如圖程序框圖是為了求出滿(mǎn)足3n﹣2n＞1000的最小偶數(shù)n，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；38：對(duì)應(yīng)思想；49：綜合法；5K：算法和程序框圖．【分析】通過(guò)要求A＞1000時(shí)輸出且框圖中在“否”時(shí)輸出確定“”內(nèi)不能輸入“A＞1000”，進(jìn)而通過(guò)偶數(shù)的特征確定n=n+2．【解答】解：因?yàn)橐驛＞1000時(shí)輸出，且框圖中在“否”時(shí)輸出，所以“”內(nèi)不能輸入“A＞1000”，又要求n為偶數(shù)，且n的初始值為0，所以“”中n依次加2可保證其為偶數(shù)，所以D選項(xiàng)滿(mǎn)足要求，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題，意在讓大部分考生得分．9．（5分）已知曲線(xiàn)C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），則下面結(jié)論正確的是（）A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換以及平移變換轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=cos2x圖象，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線(xiàn)C2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．10．（5分）已知F為拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（）A．16 B．14 C．12 D．10 【考點(diǎn)】K8：拋物線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】方法一：根據(jù)題意可判斷當(dāng)A與D，B，E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即直線(xiàn)DE的斜率為1，|AB|+|DE|最小，根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可．方法二：設(shè)直線(xiàn)l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為+θ，利用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式分別表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如圖，l1⊥l2，直線(xiàn)l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D、E兩點(diǎn)，要使|AB|+|DE|最小，則A與D，B，E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即直線(xiàn)DE的斜率為1，又直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)（1，0），則直線(xiàn)l2的方程為y=x﹣1，聯(lián)立方程組，則y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=?|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值為2|DE|=16，方法二：設(shè)直線(xiàn)l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為+θ，根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴當(dāng)θ=45°時(shí)，|AB|+|DE|的最小，最小為16，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，對(duì)于過(guò)焦點(diǎn)的弦，能熟練掌握相關(guān)的結(jié)論，解決問(wèn)題事半功倍屬于中檔題．11．（5分）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【考點(diǎn)】72：不等式比較大?。緦?zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】x、y、z為正數(shù)，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根據(jù)==，＞=．即可得出大小關(guān)系．另解：x、y、z為正數(shù)，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z為正數(shù)，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．則x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z為正數(shù)，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．則x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．綜上可得：5z＞2x＞3y．解法三：對(duì)k取特殊值，也可以比較出大小關(guān)系．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12．（5分）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類(lèi)推．求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（）A．440 B．330 C．220 D．110 【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】方法一：由數(shù)列的性質(zhì)，求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，可知當(dāng)N為時(shí)（n∈N+），數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，即為2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100時(shí)，n≥14，分別判斷，即可求得該款軟件的激活碼；方法二：由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng)，及前n項(xiàng)和Sn=2n+1﹣2﹣n，及項(xiàng)數(shù)，由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪．只需將﹣2﹣n消去即可，分別即可求得N的值．【解答】解：設(shè)該數(shù)列為{an}，設(shè)bn=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），則=ai，由題意可設(shè)數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為SN，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知當(dāng)N為時(shí)（n∈N+），數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，即為2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100時(shí)，n≥14，A項(xiàng)，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A項(xiàng)符合題意．B項(xiàng)，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，顯然不為2的整數(shù)冪，故B項(xiàng)不符合題意．C項(xiàng)，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，顯然不為2的整數(shù)冪，故C項(xiàng)不符合題意．D項(xiàng)，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，顯然不為2的整數(shù)冪，故D項(xiàng)不符合題意．故選A．方法二：由題意可知：，，，…，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，…，n，總共的項(xiàng)數(shù)為N=1+2+3+…+n=，所有項(xiàng)數(shù)的和為Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪．只需將﹣2﹣n消去即可，則①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，總共有+2=3，不滿(mǎn)足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，總共有+3=18，不滿(mǎn)足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，總共有+4=95，不滿(mǎn)足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，總共有+5=440，滿(mǎn)足N＞100，∴該款軟件的激活碼440．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=2．【考點(diǎn)】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】31：數(shù)形結(jié)合；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長(zhǎng)即可．【解答】解：【解法一】向量，的夾角為60°，且||=2，||=1，∴=+4?+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示；結(jié)合圖形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用數(shù)量積求出模長(zhǎng)，是基礎(chǔ)題．14．（5分）設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則z=3x﹣2y的最小值為﹣5．【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5T：不等式．【分析】由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：由x，y滿(mǎn)足約束條件作出可行域如圖，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值為﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15．（5分）已知雙曲線(xiàn)C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN=60°，則C的離心率為．【考點(diǎn)】KC：雙曲線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解A到漸近線(xiàn)的距離，推出a，c的關(guān)系，然后求解雙曲線(xiàn)的離心率即可．【解答】解：雙曲線(xiàn)C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A（a，0），以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN=60°，可得A到漸近線(xiàn)bx+ay=0的距離為：bcos30°=，可得：=，即，可得離心率為：e=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．16．（5分）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為4cm3．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5E：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】法一：由題，連接OD，交BC于點(diǎn)G，由題意得OD⊥BC，OG=BC，設(shè)OG=x，則BC=2x，DG=5﹣x，三棱錐的高h(yuǎn)=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出體積最大值．法二：設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為x，則OG=，F(xiàn)G=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱錐的體積的最大值．【解答】解法一：由題意，連接OD，交BC于點(diǎn)G，由題意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的長(zhǎng)度與BC的長(zhǎng)度成正比，設(shè)OG=x，則BC=2x，DG=5﹣x，三棱錐的高h(yuǎn)===，=3，則V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，則f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴體積最大值為4cm3．故答案為：4cm3．解法二：如圖，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為x，則OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱錐的體積V===，令b（x）=5x4﹣，則，令b'（x）=0，則4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案為：4cm3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系、函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值；58：解三角形．【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案，（2）根據(jù)兩角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根據(jù)正弦定理可得bc=8，根據(jù)余弦定理即可求出b+c，問(wèn)題得以解決．【解答】解：（1）由三角形的面積公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=?===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周長(zhǎng)a+b+c=3+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式和正弦定理余弦定理，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考點(diǎn)】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【專(zhuān)題】15：綜合題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5G：空間角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用線(xiàn)面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，進(jìn)一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，設(shè)PA=AB=2a，則AD=．取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO、OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的一個(gè)法向量，再證明PD⊥平面PAB，得為平面PAB的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD為等腰直角三角形，設(shè)PA=AB=2a，則AD=．取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO、OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，則為平面PAB的一個(gè)法向量，．∴cos＜＞==．由圖可知，二面角A﹣PB﹣C為鈍角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．19．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．（ⅰ）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得==9.97，s==≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1，2，…，16．用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）．附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）通過(guò)P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得結(jié)論；（2）（?。┯桑?）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法合理；（ⅱ）通過(guò)樣本平均數(shù)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計(jì)、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），進(jìn)而需剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)9.22，利用公式計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：（1）由題可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之內(nèi)的概率為0.9974，則落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率為1﹣0.9974=0.0026，因?yàn)镻（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因?yàn)閄～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（?。┤绻a(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為=9.97，σ的估計(jì)值為=0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出一個(gè)零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估計(jì)值為10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估計(jì)值為≈0.09．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布，考查二項(xiàng)分布，考查方差、標(biāo)準(zhǔn)差，考查概率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．20．（12分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為﹣1，證明：l過(guò)定點(diǎn)．【考點(diǎn)】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；KI：圓錐曲線(xiàn)的綜合．【專(zhuān)題】14：證明題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5E：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三點(diǎn)在橢圓C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入橢圓C，求出a2=4，b2=1，由此能求出橢圓C的方程．（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+t，（t≠1），聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線(xiàn)方程，結(jié)合已知條件能證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（2，﹣1）．【解答】解：（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，P3（﹣1，），P4（1，）兩點(diǎn)必在橢圓C上，又P4的橫坐標(biāo)為1，∴橢圓必不過(guò)P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三點(diǎn)在橢圓C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入橢圓C，得：，解得a2=4，b2=1，∴橢圓C的方程為=1．證明：（2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），∵直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此時(shí)l過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿(mǎn)足．②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，則=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此時(shí)△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直線(xiàn)l的方程為y=kx﹣2k﹣1，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣1，∴l(xiāng)過(guò)定點(diǎn)（2，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓、直線(xiàn)方程、根的判別式、韋達(dá)定理、直線(xiàn)方程位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】32：分類(lèi)討論；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類(lèi)討論，即可求得f（x）單調(diào)性；（2）由（1）可知：當(dāng)a＞0時(shí)才有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求導(dǎo)，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范圍．（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類(lèi)討論，即可求得f（x）單調(diào)性；（2）分類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，分別求得函數(shù)的零點(diǎn)，即可求得a的取值范圍．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求導(dǎo)f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0，∴當(dāng)x∈R，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞ln，當(dāng)f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，x∈（ln，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立，∴當(dāng)x∈R，f（x）單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，ln）是減函數(shù)，在（ln，+∞）是增函數(shù)；（2）①若a≤0時(shí)，由（1）可知：f（x）最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，當(dāng)x→﹣∞時(shí)，e2x→0，ex→0，∴當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→∞，e2x→+∞，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于ex和x，∴當(dāng)x→∞，f（x）→+∞，∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是減函數(shù)，在（ln，+∞）是增函數(shù)，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，設(shè)t=，則g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求導(dǎo)g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范圍（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求導(dǎo)f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0，∴當(dāng)x∈R，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+）（ex﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，當(dāng)f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，x∈（﹣lna，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=2a（ex+）（ex﹣）＜0，恒成立，∴當(dāng)x∈R，f（x）單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是減函數(shù)，在（﹣lna，+∞）是增函數(shù)；（2）①若a≤0時(shí)，由（1）可知：f（x）最多有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知