2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)知識點串講（蘇科版）：二次根式的乘除（解析版）

專題09二次根式的乘除

一.選擇題（共8小題）

I.（2022秋?南通期末）下列二次根式中是最簡二次根式的是（）

A.√03B.√7C.√12D.√18

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可求解.

【解答】解：A.涵=標=答，故不是最簡二次根式，不符合題意；

B.√7是最簡二次根式，符合題意：

C.√12=2√3,故不是最簡二次根式，不符合題意；

D.√18=3√2,故不是最簡二次根式，不符合題意.

故選：B.

【點評】此題主要考查最簡二次根式的判斷，解題的關(guān)鍵是熟知最簡二次根式的定義.

2.（2022秋?徐匯區(qū)期末）下列根式中，是最簡二次根式的是（）

222

A.√02bB.√12a-12faC.y∕x-yD.√5αb

【分析】A選項的被開方數(shù)中含有分母；B、D選項的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)

或因式；因此這三個選項都不是最簡二次根式.

所以只有C選項符合最簡二次根式的要求.

【解答】解：因為：A、Vθ2b=-

B、√12α-12b=2√3α-3b;

D、y∕5ab2=V5αI?|；

所以這三項都可化簡，不是最簡二次根式.

故選：C.

【點評】在判斷最簡二次根式的過程中要注意：

（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分數(shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；

（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果累的指數(shù)大于或等于2,也

不是最簡二次根式.

3?（2022秋?如皋市校級期末）下列各式中，是最簡二次根式的是（）

A.√2B.JiC.√27D.√07

【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的

兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

【解答】解：A.√2,被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，是

最簡二次根式，故本選項符合題意；

B.Jl=絡(luò)，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

C.√27=3√3,被開方數(shù)含能開得盡得因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

D.病=∣α∣,被開方數(shù)含能開得盡得因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意：

故選：A.

【點評】本題考查最簡二次根式，判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法必須滿

足兩條，就是（I）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

4.（2022春?宜興市期末）下列計算正確的是（）

A.（-√3）2=-3B.√OL001=0.1C.jl?=l?D.2=√2

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡，進而判斷得出答案.

【解答】解：A.（-√3）2=3,故此選項不合題意；

B.VU而I=筆，故此選項不合題意；

C.Jii=亭，故此選項不合題意；

D.2j∣=2×^=√2,故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式的乘除，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

5.（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知l<p<2,化簡√（1-p）2+（JF不）2=（）

A.1B.3C.3-2pD.\-2p

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可.

【解答】解：?.T<p<2,

Λ1-p<0,2-p>0,

二原式=Il-PI+2-p

=P-1+2-p

=1.

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì).

6.（2022春?東海縣期末）下列關(guān)于2遍的表述錯誤的是（）

A.它是最簡二次根式B.它是無理數(shù)

C.它就是2X逐D.它大于5

【分析】根據(jù)最簡二次根式、無理數(shù)的定義，估算無理數(shù)的大小，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、是最筒二次根式，故A不符合題意：

B、2√S是無理數(shù)，故B不符合題意；

C、2遍就是2x√^,故C不符合題意;

D、,.?(2√6)2=24,52=25,

Λ2√6<5,

故D符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了最簡二次根式，無理數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵.

7.（2022春?江陰市期末）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）

A.√15B.C.√α≡D.?

【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母：（2）被開方數(shù)中不含能開

得盡方的因數(shù)或因式判斷即可.

【解答】解：A選項，√∏是最筒二次根式，故該選項符合題意；

B選項，原式=孝，故該選項不符合題意；

C選項，原式="√H,故該選項不符合題意；

D選項，原式=苧，故該選項不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查J'最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母;

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵.

8.（2022春?靖江市校級期末）我們把形如+6（?,b為有理數(shù)，石為最簡二次根式）

的數(shù)叫做√≡型無理數(shù)，如3√7+l是√7型無理數(shù)，則（√Σ+√IU）2是（）

A.魚型無理數(shù)B.近型無理數(shù)C.√∏型無理數(shù)D?√∑∏型無理數(shù)

【分析】根據(jù)完全平方公式展開，化簡二次根式即可得出答案.

【解答】解：原式=2+2√Σδ+10

=2×2√5+l2

=4√5+12,

它屬于√5型無理數(shù)，

故選：B.

【點評】本題考查了最簡二次根式，掌握（α±6）2=α2±2"+/是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共10小題）

9.（2023?鼓樓區(qū)一模）計算√∑x√δ的結(jié)果是_^V3_.

【分析】根據(jù)二次根式乘法法則計算.

【解答】W：√2×√6

=√2×√2×√3

=（√2）2X√3

=2√3.

故答案為：25

【點評】本題考查了二次根式的乘法法則，靈活轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

10.（2023春?棲霞區(qū)校級月考）計算√∏XJ的結(jié)果是2.

【分析】利用二次根式的乘法法則計算即可.

【解答】解：原式=J12xg

=√4

=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了二次根式的運算，掌握二次根式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵.

X

11.（2022秋?常德期末）使式子及互有意義的X的取值范圍是x>4.

【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案.

X

【解答】解：使式子有意義，

則A-4>0,

解得：x>4.

故答案為：x>4.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式定義是解題關(guān)鍵.

X

12.（2023?沐陽縣模擬）使得再與有意義的X的取值范圍是

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答

案.

【解答】解：由題意得：χ-2>0,

解得：x>2,

故答案為：x>2.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分

母不為。是解題的關(guān)鍵.

13.（2022春?江寧區(qū)期末）計算：（52=9；"-9）2=9.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：（g）2=9,

J（-9）2=9,

故答案為：9,9.

【點評】本題考查二次根式的加減運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的加減運算法

則，本題屬于基礎(chǔ)題.

14.(2022春?江陰市期末)寫出一個二次根式，使它與應(yīng)的積是有理數(shù).這個二次根式是

y/2_.

【分析】根據(jù)有理化因式的定義：兩個根式相乘的積不含根號，即可判斷.

【解答】解：√2×√2=(√2)2=2；

故答案為：y∕2.

【點評】考查了正確選擇二次根式，使它們的積是有理數(shù)是解答問題的關(guān)鍵.

15.(2022春?南京期末)計算：(夜)2=2；√(≡2)2=2.

【分析】利用二次根式的乘法的法則及化簡的法則進行求解即可.

【解答】解:(√2)2=V2×VΣ=2;

2

Λ∕(-2)=√4=2.

故答案為：2,2.

【點評】本題主要考查二次根式的乘法，二次根式的化簡，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算

法則的掌握.

16.(2023春?海安市月考)計一算：√2α?√8α=4a.

【分析】先根據(jù)二次根式被開方數(shù)的非負性確定。的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)

化簡.

【解答】解：?.?2α20,

原式=√16α2=144：=4a,

故答案為：44.

【點評】本題考查二次根式的乘除法，掌握二次根式的化簡是解題的關(guān)鍵.

17.(2023?天寧區(qū)校級模擬)若(2+8)(2+書的積是有理數(shù),則無理數(shù)m的值為-√3.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平方差公式特征確定出無理數(shù)，”的值即可.

【解答】解：(2+√3)(2-√3)

=22-(√3)2

=4-3

=1,

則(2+百)(2+加)的積是有理數(shù)時，無理數(shù)桁的值為一百.

故答案為：-√5?

【點評】此題考查了分母有理化，以及無理數(shù)，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

18.(2022秋?姑蘇區(qū)校級期中)gx√Σ÷g=-2√^.

【分析】利用二次根式的性質(zhì)進行乘除運算.

【解答】解：√18×√2÷√3

=3'HX√2X?y=

=3X2×尸

√3×√3

.√3

=6xT

=2√3,

故答案為：2K.

【點評】本題考查了二次根式的乘除運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘除運算法則

和分母有理化.

三.解答題(共9小題)

19.(2022春?宜興市校級月考)計算:

(1)Jl∣×2√3×(-∣√Tθ);

2-X3

(2)——÷(x+1——).

X-I、X-I

【分析】(1)先化簡，再進行二次根式的乘法運算即可;

(2)先通分，再把除法轉(zhuǎn)為乘法，最后約分即可.

【解答】解：(1)Jl∣×2√3×(-i√10)

=?y5×2√3×(-∣√10)

=-4√3;

2-x3

(2)——÷(x+l———)

X-I?X-V

2—X,——1—3、

=E+?τ-)

_-(x-2)一一1

-%—1(X-2)(x+2)

1

=^x÷2,

【點評】本題主要考查二次根式的乘除法，分式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運

算法則的掌握與運用.

20.(2022春?黃岡期中)已知等式JIll=W成立，化簡Ix-6|+√(x—2)2的值.

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出X的值，再將X代入化簡即可求值.

【解答】解：由題意得，卜一：H,

Λ3<x≤5,

?∣Λ-6+√(X-2)2

=6-x+x-2

=4.

【點評】此題考查了二次根式有意義的條件，熟記二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

21.(2022春?亭湖區(qū)校級月考)若實數(shù)p在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡下列式子：

22

yJp-6p+9+(J4-P)

，，I9，I，r

012345

【分析】直接利用數(shù)軸得出P的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.

【解答】解：由數(shù)軸可得：2<p<3,

則原式=J(P-3)2+4-P

=3-p+4-p

=7-Ip.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡、實數(shù)與數(shù)軸等知識，正確化簡二次根

式是解題關(guān)鍵.

22.(2020秋?高邑縣期末)觀察下列一組等式，然后解答后面的問題

(√2+l)(√2-l)=1,

(√3+√2)(√3-√2)=1,

(√4+√3)(√4-√3)=1,

(√5+√4)(√5-√4)=1.......

(1)觀察以上規(guī)律，請寫出第〃個等式：(√im+√^)(√^ττ-√^)=i(〃

為正整數(shù)).

Ill1

(2)利用上面的規(guī)律，計算：-7=—+-7=―7=+^7=—7=++~7==—7==

√2+l√3+√2√4+√3√100+√99

(3)請利用上面的規(guī)律，比較√1X-√F與√眄-同的大小.

【分析】(1)歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；

(2)原式利用得出的規(guī)律計算即可求出值；

(3)利用得出的規(guī)律比較即可.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：第〃個等式為(石彳I+代)(√^ΓTT-√H)=1;

故答案為：(7Tl+1+(√n+1—√n)=1；

(2)原式=加-1+代一&+…+√IUU-聞=√IUU-I=IO-I=9：

(3)√18-√17=??i=,√19-√18=7=,

√I8+√17√19+√18

11

,,-------------V-------------

?√19+√18√18+√17,

Λ√18-√17>√19-√18.

【點評】此題考查了分母有理化，實數(shù)比較大小，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

23.（2023?阜陽模擬）觀察下列各式及其驗算過程:

驗證:

Ml=34,

驗證:

（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想口^的變形結(jié)果并進行驗證;

（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用〃（〃為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗證.

【分析】（1）根據(jù)材料中的方法即可求解?J+3=4層將左右兩邊按照二次根式

的性質(zhì)計算即可驗證;

九

（2）由（1）中的式子可得規(guī)律:

n2-1,

13

【解答】解：（1）2+終=23+『3

8,

驗證:5+條=隹=嚕,正確；

(2)由(1)中的規(guī)律可知3=2?-1,8=32-1,15=42-1,

nnn

'J+?ι=√∑I,

nn3

驗證:n+正確.

【點評】本題考查算術(shù)平方根以及數(shù)字的變化類，通過具體數(shù)值的計算，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是

解決問題的關(guān)鍵.

24.（2023春?海淀區(qū)校級期中）我們規(guī)定用（α,6）表示一對數(shù)對,給出如下定義：記Tn=?,

n=y/b（其中α>0,?>0）,將Gn,〃）與（〃，相）稱為數(shù)對（。，b）的一對"和諧數(shù)

11

對”.例如：（4,1）的一對“和諧數(shù)對”為（一，1）和（1,-）.

22

11

（1）數(shù)對（16,5）的一對“和諧數(shù)對”是（二，V?）和（V?,：）；

4——4

（2）若數(shù)對（9,b）的一對“和諧數(shù)對”相同，則6的值為-；

-9-

（3）若數(shù)對（α,b）的一個“和諧數(shù)對”是（2,1）,直接寫出油的值，或4

【分析】（1）根據(jù)新定義即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)新定義，列等式W=瓜解方程進而得出結(jié)論；

√9

（4）根據(jù)新定義，列方程組，解出進而得出結(jié)論.

【解答】解：（I）,?,∕n=-7==i,n=√5,

11

.?.數(shù)對（16,5）的一對“和諧數(shù)對”是（-，√5）和（而，-）.

44

11

故答案為：（一,√5）和（遍，-）；

44

（2）?.?數(shù)對（9,b）的一對“和諧數(shù)對”相同，

.*=〃

?>"7=Q.

故答案為：?:

（3）Y數(shù)對（mb）的一個“和諧數(shù)對”是（2,1）,

1

QΓQ=1

得

牟

=-或κ

4lb=4

b=1

?F=4或4?

1

故答案為：-或4.

4

【點評】此題主要考查了分母有理化，涉及到新定義，解方程組，解方程，理解和應(yīng)用

新定義是解本題的關(guān)鍵.

25.（2023春?連江縣期中）觀察下列等式：

√1×3+1=√4=2；√2×4+1=√9=3；√3×5÷1=√16=4；√4×6+1=

√25=5;……

（1）請你按上述規(guī)律寫出第5個等式：_V5X7+1=√36=6_；

（2）用含字母〃（〃為正整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，并給出證明.

【分析】（1）根據(jù)所給式子的形式進行求解；

（2）根據(jù)所給式子的形式不難看出式子的值與序號之間的關(guān)系：第n個等式:

yJn?(n+2)+1=n+1.

【解答】解：(1)V√l×3+1=√4=2；√2×4+1=√9=3；√3×5+1=√16=4；

√4×6+l=√25=5;.......

.?.第5個等式：√5×7+1=√36=6,

故答案為：√5×7+1=V36=6；

(2)第"個等式：√n-(n+2)+1=n+l,

證明：√n?(n+2)+1

=√nz+2n+1

2

=λ∕(n+I)

=|〃+11,

?.?〃為正整數(shù)，

.*.?/n?(n+2)+1="+1.

【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，掌握將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前

后數(shù)字進行簡單運算，從而得出通項公式是解題關(guān)鍵.

26.(2021秋?金牛區(qū)校級月考)已知X=擊，

(1)求Λ2+y2-xy的值；

(2)若X的整數(shù)部分是α,y的小數(shù)部分是6,求蜻⑼+(》-。)2->的值.

【分析】(1)利用分母有理化化簡X和y,并將所求式變形后代入可答案；

(2)根據(jù)無理數(shù)的估算可知0V2-g<l,3<2+√3<4,可得”和人的值，代入所求式

可得答案.

【解答】解：⑴?.?χ=?=(2+嬴2)=2-8,)=?=(2-^^√3)=2+8,

/.x2+y2-Xy

=(x+y)2-3xy

=(2-√3+2+√3)2-3(2-√3)(2+√3)

=16-3

=I3；

(2)?.?1<√3<2,

Λ0<2-√3<l,3<2+√3<4,

?'?Λ=O,?-2+√3-3=?/?—I)

.?.5∕02∣+(χ-b)2_y

=5×0+(2-√3-√3+l)2-(2+√3)

=(3-2√3)2-2-√3

=9-12√3+12-2-√3

=19-13√3.

【點評】本題考查了分母有理化，二次根式的混合運算，掌握完全平方公式和分母有理

化是解本題的關(guān)鍵.

27.(2022春?鋼城區(qū)期末)閱讀下列解題過程：

1=lx?l)=IT=y[i-?-

√2+l—(√2+l)×(√2-l)—(√Z)2-12一”：

11×(V3-V∑)v?-V2;二

√iw∑=(√3+√2)(√3-√2)=(√3)2-(√2)2=V"72.

請回答下列問題：

(1)歸納：觀察上面的解題過程，請直接寫出下列各式的結(jié)果.

11_____

①-7==V7-√6；?-j=—j===√n-√n-1；

√7+