振動理論與應(yīng)用第6章-多自由度系統(tǒng)的振動

返回總目錄制作與設(shè)計賈啟芬振動理論與應(yīng)用TheoryofVibrationwithApplications第6章多自由度系統(tǒng)的振動返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第6章多自由度系統(tǒng)的振動目錄6.1固有頻率主振型6.2主坐標和正則坐標6.3固有頻率相等的情形6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)6.5質(zhì)量、剛度的變化對固有頻率的影響6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.7有阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.8復(fù)模態(tài)理論

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第6章多自由度系統(tǒng)的振動6.1固有頻率主振型天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.1頻率方程6.1.2主振型6.1.3位移方程的解返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.1頻率方程設(shè)n自由度系統(tǒng)運動微分方程的特解為即設(shè)系統(tǒng)的各坐標作同步諧振動。上式又可表示為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.1頻率方程將解式代入系統(tǒng)運動微分方程，并消去，得到返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.1頻率方程特征矩陣要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的頻率方程(或特征方程)。式是關(guān)于p2的n次多項式，由它可以求出n個固有頻率(或稱特征值)。因此，n個自由度振動系統(tǒng)具有n個固有頻率。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.1頻率方程可得到前乘以下面對其取值情況進行討論。由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M是正定的，剛度矩陣K是正定的或半正定的，因此有于是，得到返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.1頻率方程頻率方程中所有的固有頻率值都是實數(shù)，并且是正數(shù)或為零。通常剛度矩陣為正定的稱之為正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半正定的稱之為半正定系統(tǒng)。對應(yīng)于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正的；對應(yīng)于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或為零。一般的振動系統(tǒng)的n個固有頻率的值互不相等(也有特殊情況)。將各個固有頻率按照由小到大的順序排列為其中最低階固有頻率p1稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為二階、三階固有頻率等。

對應(yīng)于pi可以求得A(i)，它滿足返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.2主振型A(i)為對應(yīng)于pi的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以pi的頻率作自由振動時，各物塊振幅的相對大小，稱之為第i階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。對于任何一個n自由度振動系統(tǒng)，總可以找到n個固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.2主振型對于任何一個n自由度振動系統(tǒng)，總可以找到n個固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型在主振型矢量中，規(guī)定某個元素的值為1，并進而確定其它元素的過程稱為歸一化。令，于是可得第i階主振型矢量為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.2主振型主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來求得。特征矩陣逆矩陣乘以代入比較

所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。任何非零列成比例返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型6.1.3位移方程的解當運動微分方程是位移方程時，仍可設(shè)其解具有特征矩陣頻率方程求出n個固有頻率，其相應(yīng)的主振型也可從特征矩陣的伴隨矩陣adjL將pi值代入而求出.

代入位移方程返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題例6-1圖是三自由度振動系統(tǒng)，設(shè)k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：選擇x1、x2、x3坐標如圖所示。則系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為將M和K代入頻率方程返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題解方程得到求出系統(tǒng)的三個固有頻率為再求特征矩陣的伴隨矩陣返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題設(shè)取其第三列(計算時可只求出這一列)，將p1值代入，得到第一階主振型為得到第二、三階主振型為三個主振型由圖所示歸一化后，即令返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題=0主振型也可由式求得代入可得主振型返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題例6-2在例6-1中，若k1=1,求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。相當于圖所示系統(tǒng)中去掉這個彈簧，這時剛度矩陣為解：特征矩陣為可得到頻率方程返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題解出得到三個固有頻率分別代入的第三列歸一化后，得到三個主振型返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題這種振型是與零固有頻率對應(yīng)的稱之為零振型。剛度矩陣是半正定系統(tǒng)。而且，在其運動方向上系統(tǒng)的外力的合力為零，是動量守恒系統(tǒng)。

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題例6-4有三個具有質(zhì)量的小球，置于一根張緊的鋼絲上如圖所示。假設(shè)鋼絲中的拉力T很大，因而各點的橫向位移不會使拉力有明顯的變化。設(shè)m1=m2=m3=m，尺寸如圖所示，試用位移方程求該系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣是

其柔度矩陣可按柔度影響系數(shù)求出返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題首先僅在m1質(zhì)量處施加水平單位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是畫出m1的受力圖。根據(jù)平衡條件，得m1由圖中三角形的幾何關(guān)系可解出返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題寫出柔度矩陣系統(tǒng)的特征矩陣為得頻率方程，即得返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題求出各根，按遞降次序排列于是得到系統(tǒng)的固有頻率返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.1固有頻率主振型例題為求系統(tǒng)的主振型，先求出adjL的第一列代入各階主振型歸一化

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第6章多自由度系統(tǒng)的振動6.2主坐標和正則坐標天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.1主振型的正交性6.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣6.2.3主坐標和正則坐標返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.1主振型的正交性n自由度的振動系統(tǒng)，具有n個固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。對應(yīng)于兩邊左乘轉(zhuǎn)置，然后右乘

相減

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.1主振型的正交性表明，對應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。

Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。令j=i,返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.1主振型的正交性可見，由于主振型的正交性，不同階的主振動之間不存在動能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動的廣義彈性力在第j階固有振動的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在彈性耦合。對于每一個主振動來說，它的動能和勢能之和是個常數(shù)。在運動過程中，每個主振動內(nèi)部的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。因此，從能量的觀點看，各階主振動是互相獨立的，這就是主振動正交性的物理意義。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個n×n階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即根據(jù)主振型的正交性，可以導出主振型矩陣的兩個性質(zhì)主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣使MP由對角陣變換為單位陣將主振型矩陣的各列除以其對應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即這樣得到的振型稱為正則振型。正則振型的正交關(guān)系是第i階正則振型第i階固有頻率返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣以各階正則振型為列，依次排列成一個n×n階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即由正交性可導出正則矩陣兩個性質(zhì)譜矩陣

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標在一般情況下，具有有限個自由度振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對角陣。因此，系統(tǒng)的運動微分方程中既有動力偶合又有靜力偶合。對于n自由度無阻尼振動系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標，使方程中不出現(xiàn)偶合項亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對角陣，這樣每個方程可以視為單自由度問題，稱這組坐標為主坐標或模態(tài)坐標。由前面的討論可知，主振型矩陣AP與正則振型矩陣AN，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進行坐標變換，以尋求主坐標或正則坐標。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標1.主坐標首先用主振型矩陣進行坐標變換，即主坐標矢量

這組坐標變換的物理意義，可由展開式看出返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標即原物理坐標的各位移值，都可以看成是由n個主振型按一定的比例組合而成。新坐標比例因子系統(tǒng)各坐標值正好與第一階主振型相等，即每個主坐標的值等于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標中占有成分的大小。如果令則可得返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標將式由主振型矩陣的兩個性質(zhì)前乘以由于主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣都是對角陣，所以方程式中無偶合，且為相互獨立的n個自由度運動微分方程。即第i階主質(zhì)量或模態(tài)質(zhì)量第i階主剛度或模態(tài)剛度第i階主質(zhì)量返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標由物理坐標到模態(tài)坐標的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學過程。從物理意義上講，是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。在物理坐標系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對角陣，使運動方程不能解耦。而在模態(tài)坐標系統(tǒng)中，第i個模態(tài)坐標代表在位移向量中第i階主振型（模態(tài)振型）所作的貢獻。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時存在。這就是模態(tài)坐標得以解耦的原因。因此，位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻的疊加的結(jié)果，而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。各階模態(tài)之間是不耦合的。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標2.正則坐標用正則振型矩陣AN進行坐標變換，設(shè)正則坐標矢量前乘以由正則振型矩陣的兩個性質(zhì)返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標3.位移方程的坐標變換設(shè)系統(tǒng)的位移方程前乘以單位矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣譜矩陣的逆矩陣

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標例

6-5試求例6-1中系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣。由質(zhì)量矩陣

，可求出主質(zhì)量矩陣解：將在例6-1中求得的各階主振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標于是，可得各階正則振型以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.2主坐標和正則坐標6.2.3主坐標和正則坐標由剛度矩陣可求出譜矩陣可寫出以正則坐標表示的運動方程展開式為

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第6章多自由度系統(tǒng)的振動6.3固有頻率相等的情形天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形在前面的討論中，曾假設(shè)系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個固有頻率對應(yīng)一個主振型。但復(fù)雜系統(tǒng)中也會出現(xiàn)兩個或兩個以上頻率相等或相近的情形，這時相對應(yīng)的主振型就不能唯一地確定。為了說明這一點，假設(shè)頻率方程有二重根?？蓪懗鼍€性組合說明對應(yīng)于p0的主振型不能唯一地確定

兩個任意常數(shù)天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形因此，當系統(tǒng)具有重根時，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型間的正交性來確定。不僅所選定的A(1)和A(2)之間應(yīng)滿足對M、K的正交關(guān)系，而且還必須滿足與其它振型間關(guān)于M、K的正交關(guān)系。例6-6圖示系統(tǒng)是由兩個質(zhì)量均為m的質(zhì)點與一無重剛桿組成，且兩質(zhì)點又分別與彈簧常數(shù)為k的彈簧相連。試求該系統(tǒng)的固有頻率及主振型。天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標原點，建立坐標x1,x2

。寫出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為得到特征矩陣得到頻率方程解出系統(tǒng)的兩個固有頻率，是重根。

天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形求出特征矩陣的伴隨矩陣并將兩個固有頻率代入該矩陣的任一列，結(jié)果是兩個元素全為零。因此，在重根的情況下無法用伴隨矩陣adjB確定主振型。需由正交化求得。由觀察系統(tǒng)的振動現(xiàn)象可知，剛桿具有兩種運動即平動和轉(zhuǎn)動。因此可假設(shè)然后用兩振型關(guān)于M、K的正交性來校核天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形是該系統(tǒng)的一組正交主振型

需要指出的是，這種相互獨立正交的主振型組可以有無窮多組。就好象在平面幾何中，一個圓有無窮多組相互垂直的二個直徑一樣。圖所示，為另一組相互正交的主振型，即

天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形例圖所示的系統(tǒng)中，各個質(zhì)量只沿鉛垂方向運動，設(shè)k1=k2=k3=k，m1=M，m2=m3=m4=m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：其中天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形由特征矩陣建立頻率方程為天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形由特征矩陣求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形求與重根對應(yīng)的主振型按第一行展開同時應(yīng)滿足正交化天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.3固有頻率相等的情形同理，可得到滿足第三階主振型的關(guān)系式

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第6章多自由度系統(tǒng)的振動6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)已知n自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動運動微分方程當t=0時，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為求系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。求解的方法是：先利用主坐標變換或正則坐標變換，將系統(tǒng)的方程式轉(zhuǎn)換成n個獨立的單自由度形式的運動微分方程；然后利用單自由度系統(tǒng)求解自由振動的理論，求得用主坐標或正則坐標表示的響應(yīng)；最后，再反變換至原物理坐標求出n自由度無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng).。本節(jié)只介紹用正則坐標變換求解的方法。天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)由單自由度系統(tǒng)振動的理論，得到關(guān)于對初始條件的響應(yīng)為天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)是由各階振型疊加得到的，本方法又稱振型疊加法對于半正定系統(tǒng)，有固有頻率pi=0系統(tǒng)具有剛體運動振型天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)例6-9

在例6-1中，設(shè)初始條件是,求系統(tǒng)的響應(yīng)。

解：已求出系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)得到用正則坐標表示的響應(yīng)求出系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)其中天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)例6-10三圓盤裝在可以在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動的軸上。它們對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量均為I，各段軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)均為，軸重不計。若已知運動的初始條件解：系統(tǒng)的位置可由三圓盤的轉(zhuǎn)角確定，求系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)。運動微分方程是求主振型天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)寫出特征方程得到系統(tǒng)的頻率方程解出三個固有頻率天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)三個固有頻率求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列將各頻率依次代入，即得各階主振型天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)各階主振型將三階主振型為列，依次排列組成主振型矩陣求出主質(zhì)量矩陣求出正則振型，進一步建立正則振型矩陣天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)求系統(tǒng)初始條件的正則坐標表示天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)求出響應(yīng)為若初始條件為求系統(tǒng)的響應(yīng)天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.4無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)由于初始條件與第二階主振型一致，所以，系統(tǒng)將以第二固有頻率p2作諧振動。

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第6章多自由度系統(tǒng)的振動6.5質(zhì)量、剛度的變化對固有頻率的影響天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.5質(zhì)量、剛度的變化對固有頻率的影響一般工程結(jié)構(gòu)和機械的工作狀態(tài)都要避開共振。因此，在設(shè)計過程中，要變更系統(tǒng)的物理參數(shù)，如質(zhì)量、剛度等，使其固有頻率適當?shù)仄x激振力的頻率。所以，需要探討固有頻率隨質(zhì)量、剛度變更的情況。當K中的元素增大時，pi2將增大；當M中的元素增大時，pi2將減小。設(shè)系統(tǒng)的M矩陣中各元素不變，求K矩陣元素的變化對系統(tǒng)各階固有頻率的影響。天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.5質(zhì)量、剛度的變化對固有頻率的影響設(shè)系統(tǒng)中第j個彈性元件kj發(fā)生變化，將上式對kj求導數(shù)，得式兩端前乘以轉(zhuǎn)置系統(tǒng)各階固有頻率的變化率與剛度元素的變化率成正比。天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.5質(zhì)量、剛度的變化對固有頻率的影響系統(tǒng)各階固有頻率的變化率與剛度元素的變化率成正比。同理，設(shè)系統(tǒng)剛度矩陣K中各元素保持不變，而質(zhì)量矩陣M發(fā)生變化，即系統(tǒng)中第個j質(zhì)量元素mj發(fā)生變化，天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.5質(zhì)量、剛度的變化對固有頻率的影響若質(zhì)量的變化率為正時，固有頻率的變化率為負。即質(zhì)量mj變大時，各階固有頻率相應(yīng)地要減小。對mj求導數(shù)式兩端前乘以轉(zhuǎn)置

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第6章多自由度系統(tǒng)的振動6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.1主振型分析法6.6.2正則振型分析法返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.1主振型分析法設(shè)n自由度無阻尼振動系統(tǒng)受到激振力的作用它們?yōu)橥活l率的簡諧函數(shù)。則系統(tǒng)的運動微分方程為為了求系統(tǒng)對此激振力的響應(yīng)，現(xiàn)采用主振型分析法和正則振型分析法。利用主坐標變換或正則坐標變換使方程解偶的分析方法，稱為正規(guī)模態(tài)法或?qū)嵞B(tài)分析法。

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.1主振型分析法利用主坐標變換以主坐標表示的受迫振動方程式，它是一組n個獨立的單自由度方程，即同單自由度無阻尼受迫振動一樣，設(shè)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與激振力同頻率的簡諧函數(shù)，即返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.1主振型分析法返回原物理坐標這就是系統(tǒng)對簡諧激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。上述方法即為主振型分析法。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.2正則振型分析法將正則坐標變換的關(guān)系式由正則振型的正交條件可得到解偶的運動微分方程可寫成n個獨立的方程返回原物理坐標返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.2正則振型分析法可以看出，當激振力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率中任何一個時，以上二式的分母都將為零，這時振幅將會無限增大，即系統(tǒng)發(fā)生共振。與單自由度系統(tǒng)不同，n自由度系統(tǒng)一般有n個固有頻率，因此可能出現(xiàn)n次共振。可以證明，當系統(tǒng)發(fā)生共振時，譬如，這時第i階主共振的振幅會變得十分大，稱系統(tǒng)發(fā)生了第i階共振，且系統(tǒng)在第i階共振時的振動形態(tài)接近于第i階主振型。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.2正則振型分析法例6-11在圖示的三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，物塊質(zhì)量均為m，且，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：設(shè)取廣義坐標x1、x2、x3如圖所示。系統(tǒng)的運動微分方程為返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.2正則振型分析法由線性系統(tǒng)的疊加原理，先分別計算系統(tǒng)在F1(t)和F1(t)單獨作用下的響應(yīng)，然后再將兩部分疊加起來，最后得到系統(tǒng)對激勵f(t)的響應(yīng)。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.2正則振型分析法現(xiàn)在求出系統(tǒng)的固有頻率和正則振型矩陣利用正則坐標變換得到以正則坐標表示的運動微分方程返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.2正則振型分析法將qN分成兩種情況(用下標1，2分別表示F1(t)、F2(t)單獨作用的情況)。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.6無阻尼振動系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.6.2正則振型分析法由于激振力是不同頻率的，F(xiàn)2(t)的頻率是F1(t)的三倍，因此系統(tǒng)的總響應(yīng)不再是簡諧的，而是周期性的。

返回首頁TheoryofVibrationwithApplications第6章多自由度系統(tǒng)的振動6.7有阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)天津大學返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.7有阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.7.1多自由度系統(tǒng)的阻尼6.7.2存在比例阻尼時的強迫振動返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.7有阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.7.1多自由度系統(tǒng)的阻尼在線性振動理論中，一般采用線性阻尼的假設(shè)，認為振動中的阻尼和速度的一次方成正比。在多自由度系統(tǒng)中，運動微分方程式中的阻尼矩陣一般是n階方陣。有C是阻尼矩陣，與剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù)類似，阻尼矩陣中的元素cij稱阻尼影響系數(shù)。它的意義是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位速度而相應(yīng)于在第i個坐標上所需施加的力。返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.7有阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.7.1多自由度系統(tǒng)的阻尼利用主坐標分析法，用主振型矩陣AP試對阻尼矩陣C進行對角化CP一般不是對角陣1.將阻尼矩陣假設(shè)為比例阻尼假設(shè)阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合a、b是正的常數(shù)稱為主阻尼矩陣返回首頁TheoryofVibrationwithApplications6.7有阻尼系統(tǒng)對激勵的響應(yīng)6.7.1多自由度系統(tǒng)的阻尼若用正則振型矩陣變換振型比例阻尼系數(shù)或模態(tài)比例阻尼系數(shù)