江蘇省無錫市江陰四校2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

20182019學(xué)年第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題（理科）命題人：黃希復(fù)核人：黃亞新一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.計(jì)算：的值為▲.2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是▲.3.已知，則=▲.4.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的模是▲.5.用反證法證明“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，應(yīng)假設(shè)▲.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于的自然數(shù)都成立”時(shí)，第一步中的值應(yīng)取▲.7.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有▲種.8.除以9的余數(shù)為▲.9.若，則的值為___▲___.10.已知不等式，，，照此規(guī)律總結(jié)出第個(gè)不等式為▲.11.在平面幾何中，的內(nèi)角平分線分所成線段的比（如圖所示），把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐中（如圖所示），面平分二面角且與相交于點(diǎn)，則得到的結(jié)論是_▲.12.如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為___▲___.13.把正整數(shù)排成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列，則▲.14.三角形的周長(zhǎng)為31，三邊均為整數(shù)，且，則滿足條件的三元數(shù)組的個(gè)數(shù)為▲.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分14分）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù).（1）求的值；（2）若復(fù)數(shù)，滿足，求的最大值.16.（本小題滿分14分）（1）設(shè)，求證：；（2）已知非零實(shí)數(shù)是公差不為零的等差數(shù)列，求證：．17.（本小題滿分14分）從8名運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力賽，在下列條件下，各有多少種不同的排法？（1）甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒；（2）若甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒；（3）若甲、乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒；（4）甲不在第一棒.18.（本小題滿分16分）已知在的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和比它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992.（1）求的值；（2）求展開式中的項(xiàng)；（3）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).19.（本小題滿分16分）已知等差數(shù)列的公差d大于0，且是方程的兩根，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．20.（本小題滿分16分）已知.（1）設(shè)，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）化簡(jiǎn)：；（3）證明：20182019學(xué)年第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題（理科）答案一、填空：1.152.3.4或64.5.a，b都不能被5整除6.57.308.9.110.11.12.42013.397414.24二、解答題：15.解:(1)復(fù)數(shù)

是純虛數(shù).

,計(jì)算得出.

的值是1..........................................................................................8分(2)由(1)可以知道:.設(shè).

,,,

.

可以知道:,.

的最大值為3................................................................................14分注：法二：用復(fù)數(shù)的幾何意義16.（1）由……4分因?yàn)樗运浴?分（2）（反證法）假設(shè)，

則．

①

而．

②

由①②，得，即，

于是，這與非零實(shí)數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列矛盾，故假設(shè)不成立，原命題結(jié)論成立，即成立．…14分17.解：（1）60………3分(2)480………6分(3)180………10分(4)1470………14分（16分）（10分）（16分）（10分）18（16分）（10分）（16分）（10分）19.解(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝12，,a2a5＝27.))因?yàn)閧an}的公差大于0，所以a5>a2，所以a2＝3，a5＝9.所以d＝eq\f(a5－a2,3)＝eq\f(9－3,3)＝2，a1＝1，即an＝2n－1.………2分因?yàn)門n＝1－eq\f(1,2)bn，所以b1＝eq\f(2,3).當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－1＝1－eq\f(1,2)bn－1，所以bn＝Tn－Tn－1＝1－eq\f(1,2)bn－1－eq\f(1,2)bn－1，化簡(jiǎn)得bn＝eq\f(1,3)bn－1，所以{bn}是首項(xiàng)為eq\f(2,3)，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列，即bn＝eq\f(2,3)·eq\f(1,3)n－1＝eq\f(2,3n).所以an＝2n－1，bn＝eq\f(2,3n).………6分(2)因?yàn)镾n＝eq\f(1＋2n－1,2)×n＝n2，所以Sn＋1＝(n＋1)2，eq\f(1,bn)＝eq\f(3n,2).下面比較eq\f(1,bn)與Sn＋1的大?。寒?dāng)n＝1時(shí)，eq\f(1,b1)＝eq\f(3,2)，S2＝4，所以eq\f(1,b1)<S2，當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(1,b2)＝eq\f(9,2)，S3＝9，所以eq\f(1,b2)<S3，當(dāng)n＝3時(shí)，eq\f(1,b3)＝eq\f(27,2)，S4＝16，所以eq\f(1,b3)<S4，當(dāng)n＝4時(shí)，eq\f(1,b4)＝eq\f(81,2)，S5＝25，所以eq\f(1,b4)>S5.………8分猜想：n≥4時(shí)，eq\f(1,bn)＞Sn＋1.………9分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝4時(shí)，已證．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥4)時(shí)，eq\f(1,bk)>Sk＋1，即eq\f(3k,2)＞(k＋1)2，…10分那么，eq\f(1,bk＋1)＝eq\f(3k＋1,2)＝3·eq\f(3k,2)>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>k2＋4k＋4=[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1…14分所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(1,bn)>Sn＋1也成立．由①②可知，對(duì)任何n∈N*，n≥4，eq\f(1,bn)>Sn＋1都成立．綜上所述，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，eq\f(1,bn)<Sn＋1，………1