新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)平面向量等和線定理求系數(shù)和問題 同步講義

6、平面向量等和線定理求系數(shù)和問題

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：平面向量等和線問題

①平面向量共線定理

則A,5,C三點(diǎn)共線，0為直線外一點(diǎn)，則。4=708+〃。。且/1+〃=1=4氏。三點(diǎn)

共線。

②平面向量等和線問題

ON

如圖：A,8兩點(diǎn)共線，若。為直線AB外一點(diǎn)，MN為與A3平行的直線，若=~=k,

OB

點(diǎn)P為MN上一點(diǎn)，若OP=ZIOA+〃08,則X+〃=Z。

----?.——?].

證明如下：因?yàn)镸N與AB平行，所以所以O(shè)A=—0M,03=—0N,

kk

所以

OP=λOA+;iOB=-OM+^-ON,因?yàn)镸,N,P三點(diǎn)共線，所以4+幺=1,所以

kkkk

λ+μ=k

③利用等和線解題的步驟

第一步：確定系數(shù)和為1的直線；

第二步：平移該直線，結(jié)合題目給出動(dòng)點(diǎn)范圍，分析在何處取得最值；

第三步：從長(zhǎng)度比，點(diǎn)的位置的角度計(jì)算最值。

【典型例題】

題型一：平面向量等和線求系數(shù)和問題

【例1】如圖，在矩形ΛBCZ）中，AB=I,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與8。相切的

圓上，若滿足AP=nMB+∕MO,則機(jī)+〃的最大值為（）

A.3B.2√2C.√5D.2

【答案】A

【解析】法-：如圖：以A為原點(diǎn)，以A3,4)所在的直線為X,y軸建立如圖所示的坐標(biāo)

系，

則A(0,0),8(1,0),ZXO,2),C(l,2),.,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心且與班＞相切的圓上，

設(shè)圓的半徑為r,BC=2,CD=?,:.BD=√22+12=√5,.?.-BC.CD=-BD.r,:.r=

22√5

.?.圓的方程為(x-l)2+(y-2)2=*,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(^<ose+l,芋sin6+2),

A-+〃皿，(乎cos*,乎sine+2)="l,。)+〃(。，2)=(Λ,2〃)，

.?.^γ-cosθ+?-λ,^^Sine+2=2〃，.?.λ+μ=cosθ+sin0+2=sin(0+φ)+2,

in

其中tane=2,?.?T≤s('+e)≤l,,I0+".,故zι+〃的最大值為3,故選A.

ANAP

法二：由等和線性質(zhì)知：m+n=-所以當(dāng)片在如圖所示位置時(shí)，機(jī)+〃取得最

大值，3r

m+n=—=3

【例2】如圖,邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓。，P為圓。上任一點(diǎn),若AP=XAB+*C,

則2x+2y的最大值為()

P

AB

84

A.-B.2C.-D.1

33

【答案】A

【詳解】

作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)尸，與直線AB相交于點(diǎn)E,與直線AC相交于點(diǎn)R

i^AP=λAE+μAF,則2+〃=1,

VBC∕∕EF,：.Vi—=—=k,則左∈[0,3]

ABAC3

AE=kAB.AF=kACfAP=λAE+μAF=AkAB-VμkAC

%=λk,y-μk

O

Λ2x+2y=2(Λ+//)k=2k≤-

【例3】在二ABC中，M為BC邊上任意一點(diǎn),N為線段AM上任意一點(diǎn)，若AN=/M8+/MC

(λ,"∈R),則2+〃的取值范圍是()

A.θ?B.??C.[0,1]D.[1,2]

【答案】C

【解析】

設(shè)AN=∕AM,(0≤∕≤l),當(dāng)f=0時(shí)，可得2=〃=0,從而有2+〃=()；當(dāng)0<f≤l時(shí)?，有

AM=yAB+^-AC,根據(jù)M、B、C三點(diǎn)共線，可得：+亍=1,進(jìn)而可得2+〃=f∈(θ,l],

從而即可求解.

【詳解】

解：山題意，設(shè)AN=rAM,(0≤r≤l),

/K

B

M

當(dāng)f=0時(shí)，AN=O,所以/IAB+〃AC=O,

所以4=〃=0,從而有彳+〃=0；

當(dāng)0<f≤l時(shí)，因?yàn)锳N=義AB+〃AC(∕l,MeR),

所以/AM=4AB+"AC,BPAM=-AB+^-AC,

tt

因?yàn)镸、B、C三點(diǎn)共線，所以：+亍=1,即彳+〃=fw（0,l].

綜上，幾+4的取值范圍是OU.

【例4】如圖，已知點(diǎn)尸在由射線OO、線段OA,線段54的延長(zhǎng)線所圍成的平面區(qū)域內(nèi)（包

括邊界），且Oo與54平行，若OP=XOB+yQA,當(dāng)x=-；時(shí)，＞的取值范圍是（）

A.[θ,llB.--,1C.—-,TD.—,??

LJL2J[22」|_22_

【答案】D

【解析】

根據(jù)向量加法的平行四邊形法貝11,OP為平行四邊形的時(shí)角線，該四邊形應(yīng)是以。4LjOB的

反向延長(zhǎng)線為兩鄰邊，當(dāng)χ=-g時(shí)，要使P點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即尸點(diǎn)應(yīng)落在所上，得至Uy

的取值范圍.

【詳解】

UUlUUUuU

VODHAB,OP=XOA+yOB，

山向量加法的平行四邊形法則，OP為平行四邊形的對(duì)角線,

該四邊形應(yīng)是以。4與OB的反向延長(zhǎng)線為兩鄰邊，

???當(dāng)X=-；時(shí)，要使P點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即P點(diǎn)應(yīng)落在E尸上，

13

CE=-OACF=-OA,

2f2

'13一

的取值范圍為---

【例5】在扇形（MB中，ZAOB=60,C為弧AB上的一動(dòng)點(diǎn)，^OC=xOA+yOB,則3x+y

的取值范圍是.

【答案】[1,3]

【解析】

以。為原點(diǎn)，OA,OB分別為X,y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.向量坐標(biāo)化進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,

利用三角函數(shù)求出3x+y的取值范圍.

【詳解】

以。為原點(diǎn)，0A,08分別為X,y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.

|vOB

落

O?--X

IOA

則。4=(ι,o),0片=［盤冬不妨設(shè)OC=(COSaSine),(o≤e≤g),

√3?Q

CoSe=X+—yX=COSe------sinθ

因?yàn)镺C=XOA+yO8,所以，r,解得：］L3

sin"e,y=也

I2I3

所以3x+y=3cos9-*sin9.

π-1「不

因?yàn)閥=cos。在夕∈0,y上單調(diào)遞減，y=-sin。在。∈Oq上單調(diào)遞減，所以

3x+y=3cos6-在。，耳上單調(diào)遞減.

.713y∣3√31LJ

所以當(dāng)6=0時(shí)3x+y=3最大；當(dāng)8=(時(shí)3χ+y=in-=--------------=-11瑕小.x

3232

所以3x+y的取值范圍是［1,3］.

【題型專練】

1.在直角，ABC中，ABVAC,AB=AC=2,以BC為直徑的半圓上有一點(diǎn)M(包括端點(diǎn)),

若AΛ√=∕lA8+χMC,貝丫+〃的最大值為()

E

AB

A.4B.√3

C.2D.近

【答案】C

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示M,結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得尤+〃的最大值.

【詳解】

依題意在直角=ABC中，ABVAC,AB=AC=Q.,

以A為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

C(0,2),B(2,0),設(shè)。是BC的中點(diǎn),則D(U).

∣BC∣=2√2,所以M(X,y)滿足(X-I)2+(y-l)2=(√Σ)二

設(shè)r-(α為參數(shù)，W≤α≤?),

>,=1+√2Sina44

依題意AM=248+〃AC,

即(1+0CoSa,1+應(yīng)SinCr)=2(2,0)+〃(0,2),

(1+V∑cosa,l+夜Sina)=(22,2〃)，

_1+7∑cosa(兀、

<2,l+√2cosal+√2sina2+2sιn^a+-J/叫「

J+√Σsina彳+〃=----2-----+-----9----=-------2------=Smla+"+1

μ=2

所以當(dāng)α+=g,α4時(shí)，…取得最大值為2.

2.在矩形ABCD中，AB=I,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=%

AB+，AD，則4+〃的最大值為

A.3B.2√2C.√5D.2

【答案】A

【解析】

如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A(0,l),3(0,0),C(2,0),D(2,l),P(x,y),

2?4

易得圓的半徑「=不，即圓C的方程是(x-2『+y2=2，

ULllUUllIlLlIl

AP=(x,γ-l),AB=(O-I),AD=(2,0),若滿足AP=ZlAB+〃仞，

則廣,μ=^-,λ=?-y,所以％+4=[-y+l,

[y—1=-Z22

設(shè)z=]-y+l,即:y+l-z=O,點(diǎn)P(x,y)在圓(x-2y+y2=[上，

I匕ZlV2

所以圓心(2,0)到直線彳-y+l-z=。的距離d<r,即廠一小,解得l≤z≤3,

2∣—Fl

tV4

所以Z的最大值是3,即義+〃的最大值是3,故選A.

3.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDE尸中，動(dòng)圓Q的半徑為1,圓心Q在線段Co（含端

點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，P是圓。上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量AP=∕MAB+“AFCrn,〃為實(shí)數(shù)），則機(jī)

+∏的最大值為.

【答案】5

【解析】

根據(jù)IAC∣≤∣AQ∣≤∣">I及IAQIT≤∣AP∣≤∣AQ\+1得到2√J-1≤∣AP∣≤5,根據(jù)平面向量知識(shí)得

到IAPF=4(m+“)2-12mn,利用mn<("十"’可求出結(jié)果.

4

【詳解】

在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABer>E/中，AClCD,IAOl=2*2=4,

所以IAQl≤∣AO=4,當(dāng)且僅當(dāng)。與。重合時(shí)，等號(hào)成立，

又∣4P∣≤∣AQ∣+1,即∣AP∣≤4+1=5,當(dāng)IAPl=5時(shí)，P是AD的延長(zhǎng)線與圓A的交點(diǎn),此時(shí),

由AP="*B+"A戶可知，m=n.

2兀

因?yàn)锳P="*B+"AF，H.<AB,AF>=-,

2i22

所以IAPF=%2.148F+2w1”??AB?-?AF?+n-?AF?=4m+4/?+2∕nn?2-2-(-^)

=4m2+4n2-4mn=4(m+n)2-?2mn,

1,1

所以mn=-(m+n)^-----1AP\~,

312

結(jié)合圖形可知，機(jī)>0,〃>0,由（J￡-五）220,得ln+n≥2標(biāo),即MWzj嬴，即

mn<im+nγ,當(dāng)且僅當(dāng)，w="時(shí)等號(hào)成立，

4

所以」（m+∕）2-L∣AP∣2≤'"+"I'

3124

所以m+n≤∣AP∣,又IApI≤5,時(shí)，等號(hào)成立,

所以"z+"≤5,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，等號(hào)成立.

即m+〃的最大值為5.

4.已知ABC的外接圓圓心為。，NA=I20,若AO=ΛAB+yAC(x,?R),則x+y的最

小值為()

123

A.gB.*C.-D.2

232

【答案】D

【解析】

設(shè)。4與BC交點(diǎn)為E,則4E=∕IA8+"AC其中4+〃=1,由于

AO=xAB+yAC=τ^(ΛAB+MC),得"+>=7^(2+〃)=^('因?yàn)?/p>

R

-<?OE?<R故x+y的最小值可得.

【詳解】

設(shè)與BC交點(diǎn)為E,設(shè)IOEl=m，圓的半徑為R,。為BC中點(diǎn)，如圖所示：

R

則AO=不一AE,^AE=λAB+μAC,因?yàn)?,C,E三點(diǎn)共線，則力+〃=1

R-m

所以Ao=XA8+yAC=—“AB+/MC),故χ+y=一^―(2+〃)—

R-mx''R-mR-m

因?yàn)镹A=I20。，則ZCOD=60。所以?OD?=RCoS60。=；R

R工≥q=2

則u≤m<R，故滅-mpR所以χ+y的最小值為2

2

5.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量。4和08,它們的夾角為二，如圖所示點(diǎn)C在

3

以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，^OC=xOA+yOB,其中x,yeR,則x+y的取值范圍為

()

O

A.（1,2]B.[1,2]C.[1,2）D.[-2,2]

【答案】B

解析：由等和線性質(zhì)知：連接AB，當(dāng)。點(diǎn)在A或B點(diǎn)時(shí)，（x+y）mM=l;作AB的平行線，

當(dāng)與AB相切時(shí)，當(dāng)C點(diǎn)在切點(diǎn)時(shí)，（X+Mmax=2

6.已知。是ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，且OA+OB+OC=0,點(diǎn)〃在△<9BC內(nèi)（不含邊界），若

AM=TIAB+〃AC,則4+2〃的取值范圍是

A.1尚）B.（1,2）C.（∣,1）D?C,'

【答案】B

【解析】

根據(jù)OA+08+0C=OUj知O為ΔABC的重心；根據(jù)點(diǎn)M在AOBC內(nèi)，判斷出當(dāng)M與O重

合時(shí)，4+2〃最小；當(dāng)M與C重合時(shí)，義+2〃的值最大，因不含邊界，所以取開區(qū)間即可.

【詳解】

因?yàn)?。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且OA+08+0C=O

所以O(shè)為AABC的重心

M在AOBC內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，幾+2〃最小，此時(shí)

?111

AM=λAB+μAC=-×—（A3+AC）=-AB+-AC

3|_2、〃33

所以石卜斗即∕l+2∕∕=l

當(dāng)M?jC重合時(shí)，2+2〃最大，此時(shí)

AM=AC

所以4=0,〃=1,即4+2〃=2

因?yàn)镸在AoBC內(nèi)且不含邊界

所以取開區(qū)間，即2+2〃?1,2）

7.在直角一ABC中，NA為直角，AB=1,AC=2,M是一ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AM=',若

2

AM=ΛAB+μAC,則22+3M的最大值為.

【答案】7

4

【解析】

由AM=?!■得出g+4;/=一，即4萬+16*=1,且由九>0,〃>0,設(shè)4=-cosd,

242

μ=?