2023-2024學年湘教版選擇性必修第一冊 3-2雙曲線3-2-2雙曲線的簡單幾何性質 學案

3．2.2雙曲線的簡單幾何性質最新課程標準(1)掌握雙曲線的簡單幾何性質．(2)掌握雙曲線的漸近線及離心率的意義．新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點雙曲線的幾何性質標準方程x2a2-yy2a2-x圖形焦點F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性質范圍?x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：________；對稱中心：________頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：________；虛軸：線段B1B2，長：________；半實軸長：________，半虛軸長：________離心率?e＝ca漸近線?y＝±bay＝±ab批注?雙曲線的范圍說明雙曲線是非封閉曲線，而橢圓則是封閉曲線．批注?由于ba＝c2-a2批注?雙曲線的漸近線決定了雙曲線的形狀．由雙曲線的對稱性可知，當雙曲線的兩支向外無限延伸時，雙曲線與兩條漸近線無限接近，但永遠不會相交．基礎自測1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊．()(2)以y＝±2x為漸近線的雙曲線有2條．()(3)方程y2a2-x2b2＝1(a(4)離心率e越大，雙曲線x22．雙曲線y24－xA．2B．4C．62D．3．實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標準方程是()A．x2－y2B．y2－x2C．x24-D．x2－y24＝1或y2－4．雙曲線x22－yA．y＝±12xB．y＝±2C．y＝±2xD．y＝±2x5．雙曲線9y2－16x2＝144的離心率e＝________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1由雙曲線的方程研究雙曲線的性質例1求雙曲線4x2－9y2＝－4的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程．方法歸納已知雙曲線的方程討論其幾何性質時，需先看所給方程是否為標準方程，若不是，需先把方程化為標準方程，然后由標準方程確定焦點所在的坐標軸，找準a和b，才能正確地寫出焦點坐標、頂點坐標等．鞏固訓練1[2022·河北石家莊測試](多選)已知雙曲線方程為x2－y2A．焦點F(±1，0)B．漸近線方程：y＝±2xC．離心率為2D．實軸長為2題型2由雙曲線的幾何性質求其標準方程例2(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，實軸長與虛軸長之比為2∶3，且經過點P(6，2)，求雙曲線的標準方程；(2)求與雙曲線x216-(3)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±12x方法歸納用待定系數法求雙曲線標準方程的4種方法鞏固訓練2(1)已知雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦點為A．x24-C．x23－y2＝1D．x2－(2)焦點為(0，6)，且與雙曲線x22－y題型3求雙曲線的離心率例3(1)[2022·湖南雅禮中學測試]已知雙曲線x2a2-y22A．233B．2C．2(2)[2022·湖南長沙一中測試]已知F1，F2是雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2A.4＋23B．3－1C．3+12D．方法歸納求雙曲線離心率的2種常用方法鞏固訓練3(1)[2022·湖南岳陽一中測試]已知雙曲線C：y2a2-x2bA.52B．5C．102(2)設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為________．題型4直線與雙曲線的位置關系例4已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝kx－1，試討論滿足下列條件的實數k的取值范圍．(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；(3)直線l與雙曲線沒有公共點．方法歸納直線與雙曲線位置關系的判斷方法鞏固訓練4直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A，B，則實數k的取值范圍為________．易錯辨析忽略對焦點所在軸的討論致誤例5已知雙曲線的漸近線方程是y＝±23x，焦距為226解析：當雙曲線的焦點在x軸上時，由ba=23，當雙曲線的焦點在y軸上時，由a解得b2=18，故所求雙曲線的標準方程為x218-【易錯警示】出錯原因糾錯心得誤認為焦點一定在x軸上，得到答案：x218-當題目條件沒有明確雙曲線的焦點所在軸時，應分兩種情況進行討論．同時注意兩種情況下，漸近線方程是有區(qū)別的：焦點在x軸上時，漸近線方程為y＝±bax；焦點在y軸上時，漸近線方程為y＝±ab3．2.2雙曲線的簡單幾何性質新知初探·課前預習[教材要點]要點坐標軸原點2a2bab[基礎自測]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：由題知a2＝4，∴雙曲線的實軸長為2a＝4.答案：B3．解析：由題意知2a＝2，2b＝4，∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，又雙曲線的焦點位置不確定，故選D.答案：D4．解析：由雙曲線方程得a＝2，b＝1，∴漸近線方程為y＝±bax＝±22答案：B5．解析：雙曲線9y2－16x2＝144可化為y2∴a2＝16，b2＝9，∴離心率為：e＝a2+b2a答案：5題型探究·課堂解透例1解析：雙曲線方程可化為y249－則雙曲線焦點在y軸上，a2＝49，b2＝1，∴c2＝49＋1＝∴a＝23，b＝1，c＝13∴頂點坐標為(0，±23)；焦點坐標為(0，±133)；實軸長為2a＝43；虛軸長為2b＝2；離心率e＝ca＝132；漸近線方程為y＝±a鞏固訓練1解析：由題意，雙曲線x2－y22＝1，可得a＝1，b＝2，則c＝a2所以雙曲線的焦點坐標為F(±3，0)，所以A不正確；漸近線方程為y＝±bax＝±2x離心率為e＝ca＝3實軸長為2a＝2，所以D正確．答案：BD例2解析：(1)設雙曲線方程為y2a2-x2b2＝1(又∵雙曲線過點P(6，2)，∴4a依題意可得ab=故所求雙曲線方程為34y2－13x(2)雙曲線x216-可設所求雙曲線的方程為x2a2-y由題意可得c＝25，即a2＋b2＝20，將點(32，2)代入雙曲線方程可得，18a2解得a2＝12，b2＝8，即有所求雙曲線的方程為x2解析：(3)方法一當焦點在x軸上時，設所求雙曲線方程為x2a2-y2b2＝1，由漸近線方程為y＝±1由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5.∴雙曲線方程為x2同理，當焦點在y軸上時，可得雙曲線方程為y2即所求雙曲線方程為x220-方法二由漸近線方程為y＝±12x可設雙曲線方程為x24－y2＝λ(λ由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.∴所求雙曲線方程為x220-鞏固訓練2解析：(1)不妨設點A在第一象限，由題意可知c＝2，點A的坐標為(1，3)，所以ba＝3，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求雙曲線的方程為x2－y(2)由x22－y2＝1，得雙曲線的漸近線為y＝±22x.設雙曲線方程為x22－y2∴x22λ-y2λ故雙曲線方程為y2答案：(1)D(2)y2例3解析：(1)依題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±2ax，因兩條漸近線的夾角為π于是得直線y＝2ax的傾斜角是π6或π3，即2a＝tanπ6或2a＝tanπ3，解得a＝6或63，而又b＝2，則有c＝22，所以雙曲線的離心率e＝ca＝2(2)依題意知，若雙曲線焦點為F1(－c，0)，F2(c，0)，∴|F1F2|＝2c，則△MF1F2的高為3c，即M(0，3c)，∴N(－c2，32c)，代入雙曲線方程：c24a2-3c24b2＝1，整理得∵b2＝c2－a2，∴c4－a2c2－3a2c2＝4a2c2－4a4，兩邊同除以a4，整理得e4－8e2＋4＝0，得e2＝4±23，∵e＞1，∴e＝3＋1.答案：(1)A(2)D鞏固訓練3解析：(1)因為雙曲線C的漸近線方程為y＝±abx所以(－ab)×ab＝－4，即a＝2所以c＝5b，所以e＝ca＝5(2)不妨設焦點F(c，0)，虛軸的端點B(0，b)，則kFB＝－bc.又漸近線的斜率為±ba，所以由直線垂直得－bc·ba＝－1(斜率為－ba的直線顯然不符合)，即又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，兩邊同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝5+1答案：(1)A(2)5例4解析：由y=kx-1x2-y2=4，得(1－(1)直線與雙曲線有兩個公共點，則①式方程有兩個不相等的根．∴1-k2≠0，Δ=4k2+