線性代數(shù)的一些公式

線性代數(shù)總復(fù)習(xí)n階行列式1.排列的逆序數(shù)及其奇偶性。逆序數(shù)：一個(gè)排列中全部逆序的總個(gè)數(shù)。計(jì)算方法：對排列中每個(gè)數(shù)字，計(jì)算它的后面比它小的數(shù)的個(gè)數(shù)，然后求和（或者計(jì)算它的前面比它大的數(shù)的個(gè)數(shù)）逆序數(shù)為奇數(shù)（偶數(shù)）的排列稱為奇（偶）排列應(yīng)用：1.直接計(jì)算：P41， 2.行列式一般項(xiàng)的符號的計(jì)算。例1：P23.5例2:6階行列式一般項(xiàng)a252.行列式的計(jì)算根據(jù)定義計(jì)算行列式。不同行不同列的元素的乘積的代數(shù)和。行列式的一般項(xiàng)的定義：利用定義計(jì)算行列式適用于低階（3階以內(nèi)）或非零元素分布稀疏的行列式應(yīng)用：例：P232.4初等變換化為上三角行列式。（直豎造零）行列式三種初等變換。注意三種變換對行列式值的影響技巧：所有行（列）都加到第一行，逐行(列)相加(減)應(yīng)用：一般行列式的計(jì)算例：平時(shí)作業(yè)。解方程：P243行列式的展開。應(yīng)用：行列式中余子式和代數(shù)余子式代數(shù)和的計(jì)算P17.例1.9P203.先分清是代數(shù)余子式還是余子式，是行列式的哪一行或列如果是余子式，先化成代數(shù)余子式將代數(shù)余子式前面的系數(shù)取代原行列式里對應(yīng)的行或列，計(jì)算得到的新行列式的值。注：行列式的計(jì)算，可以多種方法綜合運(yùn)用，比如可以先用初等變換將行列式化為某一行或列元素較少的形式，然后再利用行列式的展開。等。。第二章矩陣及其運(yùn)算幾個(gè)常用的矩陣的性質(zhì)：若為多項(xiàng)式，則矩陣性質(zhì)的應(yīng)用：解矩陣方程（需要求逆的和不需要求逆的）矩陣的計(jì)算。之間的轉(zhuǎn)換計(jì)算。注意技巧，大部分情況可以通過矩陣的運(yùn)算性質(zhì)化簡，避免“死算”。應(yīng)用：平時(shí)的作業(yè)題已知矩陣求伴隨矩陣，或已知伴隨矩陣（二階），求原矩陣P65.2.3.矩陣多項(xiàng)式。應(yīng)用：1.給定一個(gè)矩陣多項(xiàng)式方程，判斷另一個(gè)矩陣多項(xiàng)式可逆。（P41.例2.13，2.14）P43.102.求矩陣的初等變換初等矩陣的定義：單位矩陣只經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。（三種類型）應(yīng)用:會(huì)判斷一個(gè)矩陣是否初等矩陣。P654.m*n型矩陣A經(jīng)過一次初等行變換等于在A的左邊乘以對應(yīng)的m階初等矩陣。A經(jīng)過一次初等列變換所得的矩陣等于在A的右邊乘以對應(yīng)的n階初等矩陣。用初等變換求矩陣的逆。矩陣的秩已知矩陣，利用初等變換求矩陣的秩?；须A梯矩陣和行最簡矩陣P571已知矩陣的秩，討論矩陣元素中參數(shù)的取值范圍。P572，3，4向量組的線性相關(guān)性向量組線性相關(guān)性的定義及判別。P69例3.1向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)；向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)；向量組之間的線性表示與線性相關(guān)性。應(yīng)用：定理3.3，定理3.4給定向量組之間的線性表示關(guān)系，推斷被表示向量組的線性相關(guān)性。P75例3.43.5寫出表出矩陣計(jì)算表出矩陣的秩向量組的極大無關(guān)組與秩。應(yīng)用：求一個(gè)向量組的極大無關(guān)組與秩，并把其它向量用極大無關(guān)組表示出來。P803.線性方程組解的結(jié)構(gòu)解的判斷齊次線性方程組Ax=0有非零解<=>r(A)<n.(或|A|=0，A為方陣)非齊次線性方程組Ax=b有唯一解r(A)=r(A,b)=n非齊次線性方程組Ax=b有無窮多解r(A)=r(A,b)<n非齊次線性方程組Ax=b無解r(A)?r(A,b)應(yīng)用：由解的情況判斷矩陣中參數(shù)的取值范圍。P953P99例4.7P1013.4.齊次線性方程組:所有解向量構(gòu)成向量空間。基礎(chǔ)解系的維數(shù)：；基礎(chǔ)解系的求法：系數(shù)矩陣通過初等行變換化為行最簡形非零首元所在列對應(yīng)的是非自由變量，其余為自由變量。令自由變量取一組線性無關(guān)的值。(通常取單位向量組。)計(jì)算其它變量的值。從而確定基礎(chǔ)解系。應(yīng)用：例4.1P94.2非齊次線性方程組：通解可以通過對應(yīng)的齊次線性方程組的通解和非齊次線性方程組的一個(gè)特解來表示。應(yīng)用：P97例4.4解的性質(zhì)：P96性質(zhì)4.44.54.6應(yīng)用:不知方程組的情形下求通解P97例4.54.6P1016.先判斷對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的維數(shù)再需要根據(jù)給出的解的關(guān)系，湊出多個(gè)非齊次線性方程組的特解算出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，寫出通解。方陣的特征值與特征向量向量的內(nèi)積、長度及正交性。應(yīng)用：根據(jù)正交性確定向量組中分量取值。.特征值與特征向量。應(yīng)用：求矩陣的全部特征值與特征向量。P114例5.5例5.6P117.1特征值的性質(zhì)，矩陣多項(xiàng)式的特征值應(yīng)用：已知A的特征值，求A的矩陣多項(xiàng)式的行列式。P115例5.7P1173，4特征向量的性質(zhì)（不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)）應(yīng)用:判斷一個(gè)向量不是特征向量。P1165.8P118.7二次型實(shí)二次型及其矩陣形式。應(yīng)用：給定一個(gè)二次齊次函數(shù)形式的實(shí)二次型，會(huì)寫出其對應(yīng)的矩陣形式。并求實(shí)二次型的秩。P132例6.1實(shí)二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)。應(yīng)用：先標(biāo)準(zhǔn)化（三種方法任選），再看其中正平方項(xiàng)和負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)。P1