折疊存在性及最值(填空壓軸)-2023年中考數(shù)學(xué)（教師版含解析）

專項(xiàng)03折疊存在性及最值大全（填空壓軸）

d4Iffi≡Φ

偏SF分線?平行線橫型

方程劇8

分類討定思忍

問題

R?^汕場(chǎng)占巨.

1.如圖，在菱形A8CZ）中，AB=↑2,NA=60°,點(diǎn)E為邊4。的中點(diǎn)，尸為射線A3上一

動(dòng)點(diǎn)，連接E/，把AAEF沿E尸折疊，得到Z?A'M,當(dāng)AF與菱形的邊垂直時(shí)，線段A尸

的長(zhǎng)為.

【答案】3+3√J或12+6√J.

【分析】存在兩種情況①當(dāng)點(diǎn)尸在線段/8上一時(shí)，由題意得出AE的長(zhǎng)，在∕?A4GE中可求

出AG的長(zhǎng)，由AF±AB,根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知NAFE=ZAFE=45°,

在心EG尸中，可求出GF的長(zhǎng)，即可得出/尸的長(zhǎng).②當(dāng)點(diǎn)尸在線段N8延長(zhǎng)線上時(shí)，由

AEF=,,AEF,ZA.=60o,得出NA=60o,AE=AE=6,AF=AF,

由A尸JLAB,RtAEH中，求出AH=3,由S“Er=-?AE?HF=gx6(A尸-3)=3(AF-3),

S=JX36A尸=羋A尸,得出半AF=3(4F-3),即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)尸在線段/8上時(shí)，過點(diǎn)E作EG_LAB，G,

.?.AB=BC=CD=ZM=I2,

團(tuán)點(diǎn)E是“。的中點(diǎn)，

.?.AE=-AD=-×12=6,

22

EG±AB,ZA=60°

AG=3,EG=3√3,

AF1AB,

:.ZAFA=90°,

,ZAFE=ZAFE

/.ZAFE=ZAFE=45°,

.?.GF=EG=3√3,

.?.ΛF=ΛG+GF=3+3√3,

如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)廠在線段48延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)E作EMi.A3,AH交4。于點(diǎn)

EI四邊形ABC。是菱形，AB=U

:.AB=BC=CD=DA=↑2,

回點(diǎn)E是工。的中點(diǎn)，

.?.AE=^AD=→?2=6,

AEF=AfF5ZA=60°,

=60o,AE=AE=6,AF=AF,

,AHLAD,EMLAB,

:.NAEM=ZAEM=30°,

AH=3,EM=3√3,

SAEF=gAE?HF=gx6(AF—3)=3(AF-3),

又5=-AF?EM=-×3?j3AF=-AF,

ΛEF222

.1半AF=3(A尸一3),

.?.AF=12+6√3.

故答案為：3+3√J或12+6"

【我思故我在】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識(shí)，區(qū)分點(diǎn)E

的位置在線段AB上和在線段AB的延長(zhǎng)線上是解本題的關(guān)鍵.

2.如圖，菱形ABC。的邊長(zhǎng)4?=16,ZD=60o,"是Cz）邊上一點(diǎn)，DM=6,N是AB邊

上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形CMNB沿直線MN折疊，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'.當(dāng)AC'的長(zhǎng)度最小時(shí)，AN的長(zhǎng)為

【答案】14

［分析】作A"，CD于",如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得AH=BAD=DH=CH=8,

2

在RtAAHM中，利用勾股定理計(jì)算出AM=H,再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)C'在AM上

時(shí)，AC'的值最小，然后證明AN=AM即可.

【詳解】解：作AH_LCD于"，如圖，

團(tuán)菱形ABCo的邊AB=I6,/0=60°,

SZDAH=30o,AD=AB=CD=↑6,

回OH=TA￡>=8,AH=y∣AD2-DH2=8√3-

SDM=6,

=2,MC=CD-DM=?6-6=?0,

在RtAAHM中，AM=AH'+HM-=√192+4=14.

團(tuán)梯形CMNB沿直線MN折疊，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)C',

^MC=MC=IO,

^AC+MC'≥AM,

BAC≥AM-MC,

回當(dāng)點(diǎn)C在AM上時(shí)，AC'的值最小,

由折疊的性質(zhì)得ZAMV=NCMV,而C￡>〃A8,

⑦ZANM=NCMN,

BZAMN=ZANM,

ElAN=AW=14.

故答案為：14.

【我思故我在】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是

確定點(diǎn)C在4W上時(shí)，AC'的值最小.

3.如圖，在四邊形紙片N8C。中，AD//BC,AB=IO,貼=60。，將紙片折疊，使點(diǎn)8落

在ZO邊上的點(diǎn)G處，折痕為ER若曲E=45。，則8尸的長(zhǎng)為.

【答案】5√3

【分析】由折疊的性質(zhì)知BF=GF,NBFE=NGFE,再由勖FE=45。得到ZBFG=90°,過

點(diǎn)/作AH_L8C于點(diǎn)〃，在RtΔA8”中求出AH的長(zhǎng)度，再證明四邊形AHEG是矩形，從

而得出AH=GF,即可解決問題.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)/作AH_LBC于點(diǎn)H,

由折疊的性質(zhì)知B尸=G5,ZBFE=ZGFE,

NBFE=45°,

.-.NBFG=NBFE+ZGFE=90°,

在RtΔA5H中，AH=ABsinZB=IOx-=5√3,

2

ADHBC,

.?.ZG4H=ZA7∕β=90°,

.?.ZGAH=ZAHF=ZHFG=90°,

???四邊形A"FG是矩形，

：.FG=AH=5上,

:.BF=FG=5下,

故答案為：5√3.

【我思故我在】本題考查折疊的性質(zhì)、解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知角度和

折疊的性質(zhì)得出NBFG=90。是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在RA4BC中，ZC=90°,AC=6,BC=S,點(diǎn)/在邊AC上，并且CF=2,點(diǎn)E

為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將ACEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小

值是.

【答案】1.2

【分析】過點(diǎn)尸作對(duì)完L48,垂足為G,過點(diǎn)P作PDa48,垂足為，根據(jù)垂線段最短，得

當(dāng)電）與FG重合時(shí)PD最小，利用相似求解即可.

【詳解】∣2NC=90",AC=6,BC=S,

回CF=2,將ACEF沿直線E尸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，

BICF=PF=2,AF=AC-CF=G-I=A,

過點(diǎn)尸作/GZI?S,垂足為G,過點(diǎn)尸作PZ期］垂足為。，

根據(jù)垂線段最短，得當(dāng)Po與尸G重合時(shí)尸。最小，

l≡W=a4,^?AGF^ACB,

^AGF^LACB,

AFGF

團(tuán)---------，

ABCB

4GF

回m一=,

108

團(tuán)FG=3.2,

^PD=FG-PF=3.2-2=1.21

故答案為：1.2.

【我思故我在】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，三角形相似，垂線段最短，準(zhǔn)確找到最

短位置，并利用相似求解是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在矩形ABC。中，AB=S,4X5,點(diǎn)E是線段CO上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)。，C重合），

將CE沿8E折疊，使得點(diǎn)C落在。處，當(dāng)ACCD為等腰三角形時(shí)，CE的長(zhǎng)為

【答案】I5■或2專0

【分析】根據(jù)題意分CZ）=C'C,CC=CD,"'=DC三種情況討論，構(gòu)造直角三角形,

利用勾股定理解決問題.

【詳解】解：回四邊形ABCO是矩形

0ZC=9Oo,CL)=AB=8,8C=AD=5

回將ABCE沿BE折疊，使得點(diǎn)C落在C'處，

0BCEgBCE

:.CE=CE,NBC'E=ZBCE=90o,BC=BC，

設(shè)CE=X,^?DE=CD-x=S-x

①當(dāng)CZ)=C'C時(shí)，如圖

過點(diǎn)C'作CF1CDCG1BC,則四邊形CGCF為矩形

C'D=CC

CG=DF=FC=LCD=4,EF=4—x

2

在RtBCG中

BG=yjBC2-CG2=√52-42=3

.?.CF=CG=5-3=2

在RfCTE中

CE2=CF2+EF2

B∣JX2=22+(4-X)2

解得*=|

:.CE=-

2

②當(dāng)CC'=CD時(shí)，如圖，設(shè)CC',BE交于點(diǎn)。，

設(shè)OE=y

BC=BC,EC=EC

.?.BE垂直平分CC'

.-.OC=OC=-CC=-CD=A

22

OB=VsC2-OC2=3

在RtOCE中OE1+OC2=CE2

即γ2+42=X2

在Rt∕?BCE中，BE2=BC2+CE2

222

g∣J(3+γ)=5+x

20

22X=—

[√÷4=X3

聯(lián)立《；\2。，解得

(3+γ)=52+X216

V=一

3

???T

③當(dāng)r>σ=oc時(shí)，如圖,

又?，BC=BC

.?.O3垂直平分Ce

BC=BC',EC=EC'

.?.8E垂直平分CC'

此時(shí)。,E重合，不符合題意

綜上所述，EC=與20或∣5?

故答案為：I5?或2年0

【我思故我在】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線

的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在矩形ABa)中，Co=3,對(duì)角線AC=5,點(diǎn)G,“分別是線段AD,AC上的

點(diǎn)，將AACD沿直線GH折疊，點(diǎn)C,。分別落在點(diǎn)E,尸處.當(dāng)點(diǎn)E落在折線CA。上，

且A￡=1時(shí)，S的長(zhǎng)為.

【答案】2或5

【分析】分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求解.

【詳解】解：AC=5,C￡)=3,

.?.AD=>JAC2-CD2=√25-9=4，

當(dāng)點(diǎn)E落在AC上時(shí)，

圖1

,將ΔACD沿直線G”折疊,

-.CH=EH,

AE=I,

.-.EC=4,

:.CH=2；

當(dāng)點(diǎn)E落在Ao上時(shí)，如圖2,連接EC,過點(diǎn)E作ENLAC于N,

戶

BC

圖2

SAAFr=—×AE×CD=-×AC×EN,

'δaec22

.?.1×3=5×E7V,

.?EN=-

5f

:.AN=JAE2_EN?=-?=I,

:.NC=—,

5

將ΔA8沿直線GH折疊，

.?.CH=EH,

EN2+NH2=EH2，

：.-+(^-HC)2=HC2,

255

???HC=*

綜上所述：CH的長(zhǎng)為2或*

【我思故我在】本題考查/矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理列出

方程是解題的關(guān)鍵.

7.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小美將矩形Z5CD紙片先對(duì)折，展開后折痕是EF,點(diǎn)M為BC邊

上一動(dòng)點(diǎn)，連接Z過點(diǎn)M作MN_LAM交C。于點(diǎn)N.將AMCN沿MN翻折，點(diǎn)。恰

好落在線段E尸上，已知矩形48CD中AB=4,BC=6,那么8/的長(zhǎng)為______.

≡

M

4

【答案】4或5

[分析】設(shè)BM=x,則CM=BC-BM=6-x,根據(jù)三角函數(shù)可得tanOCΛ∕N=tan血M=?,IanSCMN=

4

—=-,FN=CF-CN=,由折疊可知團(tuán)C“N=CN=^?,tanN∕^Γ=tan團(tuán)CMN=一，

CM4444

CfFXXX

山tanNQ'=?=:,可求C/=彳，在Rt國(guó)。W中，山勾股定理，CF2+FN2=CN2，

C7rr442

代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】解：矩形/8CQ中，AB=DC=4,BC=G,團(tuán)5二團(tuán)BCZ)=90°

o

^?BAM+^AMB=90i

WAMN=90o,

o

^?CMN-^AMB=90f

^CMN=^BAM,

自小美將矩形488紙片先對(duì)折，展開后折痕是E尸,

0CF=∣DC=2,

設(shè)BM=x,則CM=BC?BM=6-x,

BMX

在P^ABM中，ta∩0^JΛ7=—=-

AB4

0tanl21CΛW=tan[21i9JΛ/=—

4

在RtlSCMN中，

團(tuán)tan回CW=竺二土

CM4

XX(、6X-X2

CN=-CM-—(6-χ)二-------

444

6X~Y2χ2-6x+8

⑦FN=CF-CN=2---------=

4-4

6X~

由折疊可知團(tuán)CW=CN=J-

4

連接CC',如圖13

由折疊知獨(dú)W垂直平分CC,

團(tuán)N4％'+團(tuán)CMN=90°,

而∠s<r,+z^r,=90o,

RINmF=IZlCMM

X

Otan/依'=tan團(tuán)CMN二一

4

在Rt!3CR7中，

tanZ∕=CC,=-??

CF4

YY

出CF=-CF=-

42

在R也CTW中，由勾股定理，得

CF2+FZV2=CW2,即

/X、?//-6X+8?2∕6χ-/

(蕾

團(tuán)(2y+(Δ?y+2×2×(≤?)+22=(^≡≤-)2

2444

整理，得5/一24x+16=O，

4

解得Xl=W，巧=4

4

勖W的長(zhǎng)為4或M

4

故答案為：4或二.

【我思故我在】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解一元二

次方程等知識(shí)，運(yùn)用三角函數(shù)將邊長(zhǎng)表示出來，借助勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，矩形/88中，/8=4,AD=6,點(diǎn)E為X。中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接EP,將EWPE沿PE折疊得到團(tuán)尸PE,連接CE,DF,當(dāng)線段。尸被CE垂直平分時(shí)，/F則

線的長(zhǎng)為.

【分析[連接《尸交PE于O,連接OQ先由矩形的性質(zhì)可得8C=∕3=6?CD=AB=4,再由折

疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可得NF=204,AE=ED=EF=3；設(shè)/P=x,W∣JPF=AP=x,BP=4-x,

PC=PF+FC=x+4,運(yùn)用勾股定理可求得X,然后再運(yùn)用勾股定理求得尸E的長(zhǎng)，再運(yùn)用等面

積法求得力。的長(zhǎng)，最后根據(jù)∕F=Z4O解答即可.

【詳解】解：連接力產(chǎn)交PE于。，連接。R

團(tuán)矩形/8CD,

團(tuán)8C=AD=6fCD=AB=4,

回線段DF被CE垂直平分時(shí)，

團(tuán)CF=CD=4,ED=EF,

團(tuán)將西莊'沿PE折疊得到M尸E,

團(tuán)PE是線段4尸的垂直平分線，

^?AE=EF,AF=2OA,

^AE=ED=EF,

^AD=AE+ED=6f

酎E=ED=EF=3,

i?AP-x,貝!]PF=AP=X,BP=4-x,PC=PF+FC=x+4,

0PC2=BP2+5C2,BP(X+4)2=(4-X)2+62

9

IZIx=-T,

4

^-PE.AO^-PA?AE,

22

,I15._I9a

h即i—×——AO=-×-×3,

2424

9

解得：AO=-1

^AF=2AO=-.

5

1Q

故答案為］?

【我思故我在】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定

理等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖，在矩形/88中，AB=2,AD=I,E是Z8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是/Z）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)

F不與點(diǎn)D重合）,連接ER把EMM沿EF折疊,使點(diǎn)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4總落在DC邊上.若皿TEC

是以4E為腰的等腰三角形，則4。的長(zhǎng)為.

【分析】分兩種情形分別畫出圖形，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】解：如圖1中，當(dāng)E4=CE時(shí)，過點(diǎn)E作ER0C。于

圖1

回四邊形NBCO是矩形，

EWO=BC=I,05=90°,

設(shè)AE=EA1=EC=X,則BE=2-x,

在R旭￡8C中，則有X2=12+(2-X)2,

解得X=?,

4

3

團(tuán)EB=2-x=—,

4

曲B=⑦BCH=⑦CHE=90°,

團(tuán)四邊形CBE//是矩形，

3

⑦CH=BE=—，

4

^EC=EA,,EH^CA,,

3

OHA=CH=—，

4

SDA'=CD-CA'=2

22

如圖2中，當(dāng)/'￡=，C時(shí)，設(shè)力E=E4'=C4'=y.

圖2

則CH=EB=2-y,A'H=CA'-CH=y-(2-y)^2y-2,

在RZ0∕ΓE”中，則有V=I2+(2y-2)2,

解得y=∣或1(舍棄)，

0CJ,=-,

3

51

BDJ'=2——=一，

33

山04為;或《，

故答案為:或4.

【我思故我在】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型.

10.如圖，長(zhǎng)方形A8CD中，AQ=3,AB=5,點(diǎn)E為射線Cf)上一動(dòng)點(diǎn)(不與。重合)，將

VAf)E沿4E折疊得到ADAE,連接若AABD為直角三角形，貝IJAE=

E

Dl——C

J---------------------------------B

【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CO上時(shí)，氏。,E三點(diǎn)共線，根據(jù)

sWE=jAB?AQ=gBE?AZ)'可求得8E=5,再由勾股定理可得BZX=JAV-AZ)。=4，進(jìn)

而可計(jì)算DE=DE=I,在HAADE中，由勾股定理計(jì)算AE的值；②當(dāng)點(diǎn)E在射線C。上

時(shí)，設(shè)CE=X,則ZyE=OE=X+5,BE=x+↑,由勾股定理可解得x=4,進(jìn)而可計(jì)算。E=9,

在∕?Z?ADE中，由勾股定理計(jì)算AE的值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，四邊形/8CD為長(zhǎng)方形，AD=3,AB=5,將VAPE沿/E折疊

得到ZX4E,則/D=/￡7X4=90。，AD=BC=AD,=3,AB=CD=5,

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段CO上時(shí)，

0ZEiyA=ZD=ZAD1B=90°,

團(tuán)8,0,E三點(diǎn)共線，

1

ab,=^ABAD=^BEAD,

團(tuán)BE=AB=5,

回BD'=>JAB2-AEf2=√52-32=4，

BDE=D'E=BE-BD'=5-4=1；

回在∕??ADE中，AE^?∣AD2+DE2=√32+12=√10;

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在射線CO上時(shí)，

ZADfB=ZBCE=90°,AD=BC=AD'=3,AB=CD=5,

≡BD'=AB2-AD'2=4，

設(shè)CE=x,則。'E=OE=x+5,

^BE^DfE-BD∕^x+?,

^CE2+BC2=BE2.即犬+32=(χ+i)2,

解得x=4,

SDE=CD+CE=5+4=9,

回在RrAAOE中，AE^y∕AD2+DE2=√32+92=3√10?

綜上所述，/￡■的值為J6或3加.

故答案為：加或3加.

【我思故我在】本題主要考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想分析

問題是解題關(guān)鍵.

11.如圖，已知Rt4ABC中，/3=90。，4=60。，AC=1(),點(diǎn)M、N分別在線段AC、

ABl.,將二AMW沿直線MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好落在線段BC上，當(dāng)△￡>N為直

角三角形時(shí)，折痕MN的長(zhǎng)為.

【答案】:或lθ#-15√∑

【分析】山△￡＞可為直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：①NCDM=90。；②/CMD=90。.

分別依據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到折痕MN的長(zhǎng).

【詳解】解：分兩種情況：

①如圖，

當(dāng)ZCQM=90。時(shí)，Va)”是直角三角形，

在Rt_A8C中，/3=90。，=60o,AC=IO,

.?.^C=30°,AB=-AC=S,

2

由折疊可得，NMDN=NA=附，

NBDN=30°,

.-.BN=-DN=-AN,

22

.-.BN=-AB=-,

33

.?.AN=2BN=-,

3

,/DNB=60°,

:.NANM=/DNM=60°,

.-.ZAMN=(^o,

.-.MN=AN=-;

3

②如圖,

當(dāng)ZCMD=90°時(shí)，7CDM是直角三角形，

由題可得，ZCDW=60。，NA=NMDN=位,

.-.ZBDN=CfiP,NBND=3b,

:.BD=-DN=-AN,BN=幣BD,

22

X-AB=5,

:.A∕V=20-10ΛA-BN=IO√J-15,

過N作N”_LA〃于“，則/4VH=30。，

.?.AH=-AN=?0-5y∣3,HN=I。幣-15,

2

由折疊可得，NAMN=/DMN=45。,

.二MM7是等腰直角三角形，

：.HM=HN=?0?j3-15,

：.MN=?Q娓-?5屈.

故答案為：τ或10#-15應(yīng).

【我思故我在】本題考查了翻折變換-折疊問題，勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，

等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)

稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

12.如圖，在RtΔA3C中，ZC=90o,AC=12,BC=16,點(diǎn)。、E分別是邊5C、AC上的

點(diǎn)，且ZEDC=N4,將A4BC沿。E對(duì)折，若點(diǎn)C恰好落到了ΔASC的外部，則折痕。E的

長(zhǎng)度范圍是.

【答案】DE<15

【分析】把ΔABC沿Z)E對(duì)折，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在4?的尸點(diǎn)處，CF與OE相交于。點(diǎn)，根據(jù)

折疊的性質(zhì)得到DE_Lb，OC=OF,證明FC=E4,同理可`得FC=F3,于是可得。C的

長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算AB的長(zhǎng)，由正切的定義可得OE和。。的長(zhǎng)，計(jì)算QE的長(zhǎng)，再

計(jì)算當(dāng)E與A重合時(shí)OE的長(zhǎng)，從而得結(jié)論.

【詳解】解：把ΔABC沿Z)E對(duì)折，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在4?的F點(diǎn)處，CF與。E相交于。點(diǎn)，

如圖1,

圖1

.-.DEA.CF,OC=OF,

ZEDC+ΛOCD=90o,Zl+ZOCD=90o,

.-.Zl=ZEDC,

而ZEDC=幺,

.'.Zl=ZA,

.-.FC=FA,

同理可得kC=R5,

.-.CF=-AB,

2

.-.OC=-AB,

4

在RtAABC中，ZC=90o,AC=I2,BC=16,

AB=√AC2+BC2=√122+162=20，

.?.OC=5,

在RtΔOEC中，tanZl=tanZA==,即=工,

OCAC512

:.OE=—,

3

在RtAODC中，tanAODC=tanAA=——=——,即——=——,

ODACOD12

???∞=T?

.?DE=OD+OE=-^-=-;

4312

如圖2,當(dāng)石與A重合時(shí)，tanN￡DC=tanN8AC=空=翌，即2=^，

CDACCD12

.?.CD=9,

圖2

.?.DE=√122+92=15，

175

???折痕DE的長(zhǎng)度范圍是：-<DE,J5.

175

故答案為：—<DE,,15.

【我思故我在】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖

形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了勾股定理和銳角三角函數(shù).

13.如圖，在。NBC。中，點(diǎn)￡,尸分別在邊/8、ADJ;，將A∕E尸沿E尸折疊，點(diǎn)/恰好落

在8C邊上的點(diǎn)G處.若財(cái)=45。，∕B=6√∑,SBE=AE.則NF長(zhǎng)度為_____.

AFD

BGC

【答案】y

【分析】過點(diǎn)8作。于點(diǎn)M,過點(diǎn)尸作/7施SC于點(diǎn)”，過點(diǎn)E作EΛ0C8延長(zhǎng)線于

點(diǎn)N,得矩形8”F",可得A8EN和ZUAW是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解決

問題.

［詳解］解：如圖，過點(diǎn)8作BM^AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FHSBC于點(diǎn)”，過點(diǎn)E作EMSCB

延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

得矩形BHFM,

0W8C=9O°,MB=FH,FM=BH,

0^5=65/2>SBE=AE,

EWE=5忘,BE=&,

由折疊的性質(zhì)可知：GE=AE=5逐，GF-AF,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

EEL4fijV=a4=45o,

038EN和EL48A/是等腰直角三角形，

QEN=BN=亙BE=1,AM=BM=叵AB=6,

22

⑦FH=BM=6,

在MaG硒中，根據(jù)勾股定理，得

EN2+GN2=GE2，

012+GyV2=(5√2)2,

解得GN=±7(負(fù)值舍去)，

團(tuán)GN=7,

設(shè)MF=BH=x,GH=GN-BN-BH=7-l-x=6-x,GF=AF=AM+FM=6+x,

在RaGFH中，根據(jù)勾股定理，得

GH2+FH^=GF2,

0(6-X)2+62=(6+X)2,

3

解得x=；,

315

EMF=AM+FΛ∕=6+—=—.

22

加產(chǎn)長(zhǎng)度為二

故答案為：—■.

2

【我思故我在】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

14.如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AftE沿AE折

疊，得到A4FE,則當(dāng)CF最小時(shí)，折痕AE長(zhǎng)為.

【答案】3√5

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出：當(dāng)CF最小時(shí)的圖形，利用勾股定理列出方程，求出

BE的長(zhǎng)度，進(jìn)行解答即可.

【詳解】連接/C,依題意可知：CF≥AC-AF,

如圖，當(dāng)/、C、尸三點(diǎn)共線時(shí)，CF取得最小值,

在矩形A8C。中，AB=6,BC=S,2B90?,

回AC=4AB1+BC1=√62+82=10-

由折疊可知：AF=AB=6,ZAEE=N8=90。,設(shè)BE=EF=x,

SFC=AC-AF=10-6=4lEC=BC-BE=8-x,

在RLEFC中,EF2+FC2=EC2,

222

0X+4=(8-X),

團(tuán)尤=3,

0B￡=3,

≡AE=√AB2+βE2=√62+32=3√5-

故答案為：3正.

【我思故我在】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，二次根式的運(yùn)算，掌握勾股定理進(jìn)行求

線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在正方形N88中，AB=8,E是CD上一點(diǎn),且。E=2,尸是ND上一動(dòng)點(diǎn)，

連接EF,若將回/出/沿E尸翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)以處，則點(diǎn)D0到點(diǎn)B的最短距離為.

【答案】8

【分析】連接BE、BD',當(dāng)8、DKE三點(diǎn)共線的時(shí)候點(diǎn)W到8點(diǎn)的距離最短，根據(jù)DE

求出CE,再利用勾股定理求出BE,即可求解.

【詳解】如圖，連接BE、BD',

當(dāng)B、00、E三點(diǎn)共線的時(shí)候點(diǎn)W到8點(diǎn)的距離最短，

在正方形Z8CD中，AB=8,E是CD上一點(diǎn)、,且。E=2,

OCE=CD-DE=8-2=6,BC=AB=8,

⑦BE=4CEr+BC1=√62+82=10>

根據(jù)折疊的性質(zhì)有ZyE=OE=2，

魴、風(fēng)E三點(diǎn)共線

0BO,=BE-ZXE=10-2=8,

即點(diǎn)D0到8點(diǎn)的距離最短為8,

故答案為：8.

【我思故我在】本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理以及兩點(diǎn)之間線段最短的

知識(shí)，找到8、供、E三點(diǎn)共線的時(shí)候點(diǎn)W到5點(diǎn)的距離最短是解答本題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知在矩形紙片AfiC。中，AB=2,BC=2√2.點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是AO

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將4AEF沿EF所在直線翻折,得到?A'EF,連接A'C,A!D,則當(dāng)4NDC

是以AQ為腰的等腰三角形時(shí)，AF的長(zhǎng)是.

【答案?；蛉?/p>

【分析】存在三種情況：當(dāng)A'。=OC時(shí)，連接皮>,利用勾股定理可以求得ED的長(zhǎng)，可判

斷EA,D三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理即可求解；當(dāng)AT)=WC時(shí)?，可以證得四邊形AEAN是

正方形，即可求解；當(dāng)A'C=OC時(shí)，連接EC,FC,證明E4,C三點(diǎn)共線，再用勾股定

理，即可求解.

【詳解】解：①當(dāng)A。=。C時(shí)，連接ED,如圖，

團(tuán)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，A8=2,BC=2√2,四邊形ABCO是矩形,

EUE=I,AD=BC=2&ZA=90°.

由勾股定理可得，DE=>JAE2+AD-=3>

13將AAEF沿E尸所在直線翻折，得到?A'M,

^A!E=AE=?,

^A!D=DC=AB=2,

E∣r>E=3=A'E+A'E>,

SS4',Z)三點(diǎn)共線，

EINA=90°,

QZFAE=ZFAD=90°,

設(shè)A尸=X,則4N=x,FD=2√2-χ.

在^aBVD中，A1D2+AtF2DF2,

E122+X2=(2√2-X)2,

解得X=正，

2

^AF=：

2

②當(dāng)AO=AC時(shí)，如圖，

E)A'D=A'C,

13點(diǎn)A,在線段CD的垂直平分線上，

團(tuán)點(diǎn)H在線段AB的垂直平分線上，

回點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

IaEA，是月8的垂直平分線，

回NAE4'=90°,

團(tuán)將ZkAE尸沿EF所在直線翻折，得到∕?AEF,

HIziA=ZEAT=90o,AF=FA',

團(tuán)四邊形AE4N是正方形，

0AF=AE=—AB=1；

2

綜上所述，Z尸的長(zhǎng)為1或立.

2

故答案為：1或也.

2

【我思故我在】本題考查矩形中的翻折問題，涉及矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、正方形

的判定和性質(zhì)、勾股定理，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在IIABC中，NAC3=90。，AC=2,BC=4,E為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。是8C邊

上的動(dòng)點(diǎn)，把,A8沿AD翻折，點(diǎn)C落在C'處，若,ACE是直角三角形，則CD的長(zhǎng)為

【分析】在圖1中構(gòu)造正方形ACMN,在W△￡>EM中即可解決問題，在圖2中也要證明四邊

形As7是正方形解決問題.

【詳解】解：如圖1,

當(dāng)NAC'E=90。時(shí)，作EM_LBC垂足為M,作ANLME于N.

NC=NEMB=90。,

;.EM//AC,

AE=EB,

：.MB