2021-2022學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)函數(shù)/（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)/（x）,于（x）的圖象在點M（1,/（D）處的

切線方程為y=2x+；,么/（1）=（）

11

A.2B.1C.-D.一

23

2.（5分）2022年北京冬奧會期間，需從5名志愿者中選3人去為速度滑冰、花樣滑冰、冰

球一個競賽項目服務(wù)，每個項目必須有志愿者參加且每名志愿者只服務(wù)一個項目，不同

的安排方法種數(shù)為（）

A.10B.27C.36D.60

3.（5分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記A=｛兩次的點數(shù)均為偶數(shù)｝,B=｛兩次的點數(shù)

之和為8｝,貝IJP（B∣4）=（）

1212

A.—B.-C.-D.-

12933

4.（5分）已知函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，（X）的圖象如圖所示，則/（x）的圖象可能是

（）

5.（5分）己知二項式（x-3n展開式的二項式系數(shù)和為64,則展開式中常數(shù)項為（）

A.-120B.-20C.15D.20

6.（5分）已知隨機(jī)變量？~8（12,p）,且E（2ξ-3）=9,則。（？）=（）

8

A.-B.12C.3D.24

3

7.（5分）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛

積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐

項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為

“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列

的第8項為（）

A.99B.131C.139D.141

8.（5分）對于三次函數(shù)/（x）^ax3+hx1+cx+d（d≠0）,現(xiàn)給出定義：設(shè)/（x）是函數(shù)/（x）

的導(dǎo)數(shù)，∕'（X）是/（X）的導(dǎo)數(shù)，若方程∕'G）=0有實數(shù)解xo,則稱點（刈，/（xo））

為函數(shù)/（x）=axi+bx1+cx+d（^≠0）的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次數(shù)都有

“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心、且“拐點”就是對稱中心、函數(shù)g（X）=√

-37+2,則g（否+g扁）+g扁）…+g瑞）=（）

33

A.-?B.0C.1D.-

22

二、本題4小題，每小題5分，共20分，在給出的四個選項中，有多項符合題意要求，全

部選對的得5分，有選錯的0分，部分分選對的得2分

（多選）9.（5分）甲，乙，丙，丁4個志愿者分別安排到學(xué)校圖書館，食堂，實驗室?guī)兔Γ?/p>

要求每個地方至少安排一個志愿者幫忙，則下列選項正確的是（）

A.總共有36種安排方法

B.若甲安排在實驗室?guī)兔Γ瑒t有6種安排方法

C.若圖書館需要安排兩位志愿者幫忙，則有24種安排方法

D.若甲、乙安排在同一個地方幫忙，則有6種安排方法

（多選）10.（5分）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1,o2）,正態(tài)分布N（1,。2）的正

態(tài)密度線如圖所示.則下列選項中，可以表示圖中陰影部分面積的是（）

11

A.--P(X<O)B.--P^×≥2)

111

C.-P(X≤2)--P(X≤0)D.--p(l≤X<2)

(多選)11.(5分)在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小

球，設(shè)取的4個小球中白球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()

2

A.P(X=1)

B.隨機(jī)變量X服從二項分布

C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布

D.E(X)=I

(多選)12.(5分)定義；在區(qū)間/上，若數(shù)y=∕(x)是減函數(shù)：且y=對'(X)是增函數(shù)，

則稱y=/(x)在區(qū)間/上是“弱減函數(shù)”，根據(jù)定義可得()

A./(X)=*在(0,+8)上是“弱減函數(shù)”

B.f(x)=會在(1,2)上是“弱減函數(shù)”

C.f(X)=等在(0,，上是“弱減函數(shù)”

D.若/(X)=竽在(機(jī)，+∞)上是''弱減函數(shù)"，則機(jī)》e

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,

4),(13,5),變量。與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,

2),(13,1).rι表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù)，底表示變量。與V之間的線性

相關(guān)系數(shù)，則小，2和0三者之間的大小關(guān)系是.(用符號連接)

14.(5分)任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以

2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1-4-2-1.這就是數(shù)學(xué)

史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.如取正整數(shù)，"=6,根據(jù)上述運算法則

得出6-3-10-5-16—-2—1,共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)

給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列｛?｝滿足：（機(jī)為正整數(shù)），an+1=

手’當(dāng)arι為偶數(shù)時,若“冰雹猜想”中“5=4,則G所有可能的取值的集合M

（3ɑn+l,當(dāng)k為奇數(shù)時

15.（5分）已知函數(shù)/（X）=x1+aln（2x+l）有兩個不同的極值點xι,%2,且xι<%2,則實

數(shù)?的取值范圍是.

16.（5分）已知（X—2）7（2x+1）=劭+%%++…+,則48=>

α1+2O2+3Q3+,?,+8^8=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知函數(shù)/0）=旨.

（1）求曲線y=∕（x）在點（0,f（0））處的切線方程；

（2）求函數(shù)fG）在口,3］上的最大值和最小值.

18.（12分）保護(hù)生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境，某地區(qū)從2016年開始

大力提倡新能源汽車，每年抽樣1000輛汽車調(diào)查，得到新能源汽車y輛與年份代碼X年

的數(shù)據(jù)如下表：

年份20162017201820192020

年份代碼第X12345

年

新能源汽車y305070100110

輛

（1）建立y關(guān)于X的線性回歸方程；

（2）假設(shè)該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，用樣本估計總體來預(yù)測該地區(qū)2022年有多

少輛新能源汽車.

參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計公式分別為誓寫，a=y~

∑∣L1x1-nx

bx.

19.（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列｛3｝的前〃項和為酣，m=l,且S2,S4,S8成等

比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛θn｝的通項公式;

(2)若bn=J—,求數(shù)列｛尻｝的前〃項和Tk

α∏ɑn+l

3

20.(12分)某同學(xué)參加籃球投籃測試，罰球位上定位投籃投中的概率為一，三分線外定位

4

投籃投中的概率為點測試時三分線外定位投籃投中得2分，罰球位上籃投中得1分，不

中得0分，每次投籃的結(jié)果相互獨立，該同學(xué)罰球位上定位投籃1次，三分線外定位投

籃2次.

(1)求“該同學(xué)罰球位定位投籃投中且三分線外定位投籃投中1次”的概率；

(2)求該同學(xué)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(12分)為了解我區(qū)高中學(xué)生閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了100位同學(xué)每月課外閱讀時間(小

時)，并將這100個數(shù)據(jù)按閱讀時間整理得到下表；

閱讀時間[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)

人數(shù)1012142024146

將每月課外閱讀時間40小時及以上者視為“閱讀達(dá)人”，40小時以下者視為“非閱謎達(dá)

人”.

(1)請根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為“閱讀達(dá)人”與

性別有關(guān)？

附表：X2獨立性檢驗臨界值

P(χ2)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa)

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

參考公式：.=m+M黑)7&o(b+d),其中"="+"c+"?

22.(12分)已知函數(shù)/(x)-2bυc-Or2-2(a-1)x+1(α∈R).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點Xi,也，求實數(shù)”的取值范圍.

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)函數(shù)F(X)在R上存在導(dǎo)函數(shù)/(x),/(x)的圖象在點M(1,/(D)處的

1

切線方程為y=2%+?么/(1)=()

11

A.2B.?C.-D.一

23

【解答】解：?.?∕(x)的圖象在點M(1,/(D)處的切線方程為y=2x+攝

.?.函數(shù)f(X)在x=l處的導(dǎo)數(shù)值為2,即/(1)=2.

故選：A.

2.(5分)2022年北京冬奧會期間，需從5名志愿者中選3人去為速度滑冰、花樣滑冰、冰

球一個競賽項目服務(wù)，每個項目必須有志愿者參加且每名志愿者只服務(wù)一個項目，不同

的安排方法種數(shù)為()

A.10B.27C.36D.60

【解答】解:依題意,從5名志愿者中選3人服務(wù)3個不同項目，不同的安排方法有AI=60

(種).

故選：D.

3.(5分)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記A=｛兩次的點數(shù)均為偶數(shù)｝,8=｛兩次的點數(shù)

之和為8｝,則P(B∣A)=()

1212

A.—B?一C.-D.一

12933

【解答】解：由題意事件記A=｛兩次的點數(shù)均為偶數(shù)｝,包含的基本事件數(shù)是(2,2),

(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共9個基本事

件，

在A發(fā)生的條件下，8=｛兩次的點數(shù)之和為8｝,

包含的基本事件數(shù)是｛2,6｝,｛4,4｝,｛6,2｝共3個基本事件，

31

：.P(B∣A)=I=?

故選：C.

4.(5分)已知函數(shù)y=∕(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則/(x)的圖象可能是

)

【解答】解：由己知圖象可得/(x)在(-8(?)>0,f(%)

遞增;

在(0,2)時?，/(x)<0,/(x)遞減,

所以選項C正確，其它均錯.

故選：C.

5.(5分)已知二項式(x-pn展開式的二項式系數(shù)和為64,則展開式中常數(shù)項為()

A.-120B.-20C.15D.20

【解答】解：由已知可得2"=64,則〃=6,

所以展開式的通項公式為Tkl=C^X6^r(-?r=CJ(-1)'χ6-2r,

令6-2r=0,解得r=3,

所以展開式的常數(shù)項為它(-1)3=-20,

故選：B.

6.(5分)已知隨機(jī)變量(12,p),且E(2ξ-3)=9,則。(ξ)=()

8

A.-B.12C.3D.24

3

【解答】解：由題意，隨機(jī)變量(12,p),可得E(f)=12p,

又由E(2L3)=2E(ξ)-3=24p-3=9,解得p=

111

即隨機(jī)變量m~B(l2,-),可得D(f)=12x^x(l-W)=3.

故選：C.

7.(5分)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛

積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐

項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為

“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列

的第8項為()

A.99B.131C.139D.141

【解答】解：由題意可知：1,5,11,21,37,61,95,…的差的數(shù)列為：4,6,10,

16,24,34,…

這個數(shù)列的差組成的數(shù)列為：2,4,6,8,10,12…是等差數(shù)列，

所以前7項分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列的第8項為：95+34+12=141.

故選：D.

8.(5分)對于三次函數(shù)/(x)=axi+hx1+cx+dCa≠0),現(xiàn)給出定義：設(shè)/(x)是函數(shù)/(x)

的導(dǎo)數(shù)，/'(%)是f(X)的導(dǎo)數(shù)，若方程/'(X)=0有實數(shù)解;《),則稱點(xo,?(?o))

為函數(shù)f(x)^axi+bx1+cx+d(a≠0)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次數(shù)都有

“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心、且“拐點”就是對稱中心、函數(shù)g(x)=?

-3/+2,則g(白)+g(看)+g(磊)…+g(瑞)=()

33

A.-?B.0C.1D.-

22

【解答】解：由g(X)=9-3/+2,得g'(X)=3∕-6x,

所以g(x)=6x-6,由g(Xo)=0,得6xo-6=0,解得M)=1,

而g(1)=0,即g(X)的對稱中心為(1,0),

所以g(X)+g(2-x)=0,

則g(??)+9(余)+g扁)+,,,+g瑞)

=I[g(j?)+g(撒+g儡)+g(揄+…+g(撒+=°=0?

故選：B.

二、本題4小題，每小題5分，共20分，在給出的四個選項中，有多項符合題意要求，全

部選對的得5分，有選錯的O分，部分分選對的得2分

(多選)9.(5分)甲，乙，丙，丁4個志愿者分別安排到學(xué)校圖書館，食堂，實驗室?guī)兔Γ?/p>

要求每個地方至少安排一個志愿者幫忙，則下列選項正確的是()

A.總共有36種安排方法

B.若甲安排在實驗室?guī)兔?，則有6種安排方法

C.若圖書館需要安排兩位志愿者幫忙，則有24種安排方法

D.若甲、乙安排在同一個地方幫忙，則有6種安排方法

【解答】解：對于A：安排方法為：CIA?=36,A正確.

對于8：若甲安排在實驗室?guī)兔Φ陌才欧椒椋篊μI+ClA1=12,B錯誤.

對于C若圖書館需要安排兩位志愿者幫忙的安排方法為：CjA鄉(xiāng)=12,C錯誤.

對于力：甲、乙安排在同一個地方幫忙的安排方法為：Cwi=6,力正確.

故選：AD.

(多選)10.(5分)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,o2),正態(tài)分布N(1,。2)的正

態(tài)密度線如圖所示.則下列選項中，可以表示圖中陰影部分面積的是()

111

C.-P(X≤2)--P(X<0)D.--p(l≤X≤2)

【解答】解：由正態(tài)分布N(1,。2)的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線χ=l對稱，

對A：由對稱性可得圖中陰影部分可表示為P(OWXWl)=P(XWI)-P(X≤0)=∣-P

(XWO),故選項A正確；

對8：由對稱性可得尸(XWo)=P(X22),所以圖中陰影部分可表示為「(OWXWI)

=AP(XWO)=i-P(X)2),故選項B正確；

對C：由對稱性可得P(OWXWI)=P(IWXW2),所以圖中陰影部分可表示為P(OW

XWI)=抑(X≤2)-P(X≤0)],故選項C正確；

對。：由對稱性可得工-P(1≤X≤2)=P(XWO)=P(X22),故選項。錯誤.

2

故選：ABC.

(多選)11.(5分)在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小

球，設(shè)取的4個小球中白球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=1)=I

B.隨機(jī)變量X服從二項分布

C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布

D.E(X)=I

【解答】解：由題意可知，X服從超兒何，故B錯誤，C正確，

P(X=I)=葷=捺，故A錯誤，

Clo

4H

E=,故。正確.

(X)=4×74T+675c

故選：CD.

(多選)12.(5分)定義；在區(qū)間/上，若數(shù)y=f(x)是減函數(shù)：且y=對,G)是增函數(shù)，

則稱y=∕(x)在區(qū)間/上是“弱減函數(shù)”，根據(jù)定義可得()

A.f(x)=[在(0,+8)上是“弱減函數(shù)”

B./(X)=/在(1,2)上是“弱減函數(shù)”

C./(X)=嬰在(0,芻上是“弱減函數(shù)”

D.若/(X)=竽在(m,+8)上是“弱減函數(shù)”，則成

【解答】解：對于A,f(%)=M是反比例函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞減，而y=χf

(X)=1不單調(diào)，故A錯誤；

對于B,/(x)=備其導(dǎo)數(shù)/(x)=錄，在(1，2)±,有/(X)<0,則/(x)

是減函數(shù)，

y=xf(x)其導(dǎo)數(shù)y'=與==爺2在(1,2)上是增函數(shù)，有<>0,則

y=χf(冗)是增函數(shù)，

故f(x)=會在(1,2)上是“弱減函數(shù)”，B正確;

a工「「/、sinx甘日拓n/、cosx?x-sinx

對于C,f(x)=^不，其導(dǎo)數(shù)/(x)=N,

TC

在區(qū)間(0,5)上，tanx>x恒成立，即COSX?χ-sinχV0恒成立，

Tl

則/(x)VO恒成立，/(x)在(0,-)上為減函數(shù)，

Tl

y=xf(x)=SinJV,在(0,-)上為增函數(shù)，

故/(X)=等在(°,|)上為“弱減函數(shù)”，C正確；

對于。，若/(X)=竽，在(相，+8)單調(diào)遞減，

則/'(X)=?■要竺VO在Cm,+o°)上恒成立，必有/〃膽21,解得，

而y=M√x)=∕nx在(0,+8)單調(diào)遞增，

故若/(X)=等在(m,+8)上是“弱減函數(shù)"，則,"2e,。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知變量X與丫相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,

4),(13,5),變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,

2),(13,1).rι表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù)，不表示變量U與V之間的線性

相關(guān)系數(shù)，則”、二和0三者之間的大小關(guān)系是∕2<0<rι.(用符號“<”連接)

【解答】解：根據(jù)題意，由已知中的數(shù)據(jù)可知：

第一組數(shù)據(jù)中變量KX之間成正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)rι>0,

第二組數(shù)據(jù)中變量V與U之間成負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)m<0,

即r2<0<n.

故答案為：Γ2<θ<rι.

14.(5分)任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以

2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1-4-2-1.這就是數(shù)學(xué)

史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)〃?=6,根據(jù)上述運算法則

得出6-3-10-5-16-8-4-2-1,共需經(jīng)過8個步驟變成1(簡稱為8步“雹程”).現(xiàn)

給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列｛z｝滿足：a?=mGn為正整數(shù))，αn+i=

崖'當(dāng)Qn為偶數(shù)時，若“冰雹猜想”中公=4,則m所有可能的取值的集合M

3an+1,當(dāng)arι為奇數(shù)時

=[1,8,10,64:.

【解答】解：???“冰雹猜想”中45=4,?,?若〃4為奇數(shù)，則304+1=4,則〃4=1；若。4

為偶數(shù),則拳=4,?4=8.

當(dāng)〃4=1時，

若。3為奇數(shù)，則343+1=1,無解；若〃3為偶數(shù)，則號=1，則03=2.

若。2為奇數(shù)，則3e+l=2,無解；若42為偶數(shù)，則￡=2,則42=4.

若m為奇數(shù)，則3m+l=4,則小=1；若m為偶數(shù)，則年?=4,則m=8.

當(dāng)《4=8時,

若。3為奇數(shù)，則3α3+l=8,無解；若。3為偶數(shù)，則寸=8,則〃3=16.

若。2為奇數(shù)，貝∣j342+l=16,則42=5；若。2為偶數(shù)，則彳■=16,則a2=32?

當(dāng)?2=5時，

若m為奇數(shù)，則3m+l=5,無解；若m為偶數(shù)，則]~=5,則m=10?

當(dāng)及=32時，

若m為奇數(shù)，則3m+l=32,無解；若m為偶數(shù)，則多■=32,則aι=64?

綜上，m所有可能的取值的集合M={1,8,10,64）.

故答案為：{1,8,10,64）.

15.（5分）已知函數(shù)/（x）=x2,+aln（2x+l）有兩個不同的極值點xι,X2,且XlVX2,則實

數(shù)a的取值范圍是（0,3.

【解答】解：由函數(shù)的解析式可得f/（X）=2x+磊=色淺并電，

注意到函數(shù)的定義域為（一+8）,

故4∕+2x+24=0在（一：，+8）上有兩個不同的實數(shù)根，

據(jù)此可得函數(shù)y=α與函數(shù)y=-2/-X在（_；,+8）上有兩個不同的交點,

繪制函數(shù)y=-*-X在（-々，+8）上的圖像如圖所示，

結(jié)合函數(shù)圖像可得實數(shù)”的取值范圍是(O,?).

m+2Q2+3Q3+,??+8〃8=19.

【解答】解：因為(X-2)7展開式的通項公式為TrH=GX7-r(_2)r,

所以(Λ-2)7展開式中父的系數(shù)為1,

所以“8=2,

28

由(X-2)7(2X+1)=α0+α1x+a2x4-----1-a8x,得

7(X-2)6(2x+l)+2(X-2)7=?ι+2a2x+3a3x2+???+8<ZSΛ7,

令X=1,HJaι+2a2x+3a3x2+???+8a8=7X(-1)6×3+2×(-1)7=19,

故答案為：2；19.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知函數(shù)/(X)=袋.

(1)求曲線y=∕(x)在點(O,/(O))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)在［1,3］上的最大值和最小值.

【解答】解：(1)/(X)=營，

所以/(O)=-1,/(O)=2,

故曲線y=∕(x)在點(O,/(O))處的切線方程為y+l=2r,即2χ-y-l=0;

(2)由(1)得，當(dāng)x>2時，f(X)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x<2時，f'(X)>0,

函數(shù)單調(diào)遞增，

故函數(shù)/(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，在(2,3］上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=2時，函數(shù)取得唯一極大值，也是最大值/(2)=也，

?

因為/(1)=0,/(3)=￡,

所以函數(shù)的最小值為0,最大值為二，

ez

18.(12分)保護(hù)生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境，某地區(qū)從2016年開始

大力提倡新能源汽車，每年抽樣IoOo輛汽車調(diào)查，得到新能源汽車y輛與年份代碼X年

的數(shù)據(jù)如下表：

年份20162017201820192020

年份代碼第X12345

年

新能源汽車y305070100110

輛

(1)建立y關(guān)于X的線性回歸方程；

(2)假設(shè)該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，用樣本估計總體來預(yù)測該地區(qū)2022年有多

少輛新能源汽車.

參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=垢嗎廠零,=y-

Σ陶xf-nxα

bx.

rAAΛ?Azx-?-30+50÷70+100+110??,

【解2答】1解2：(1)X=3,y=-------------?-------------=72,b=

1x30+2x50+3x70+4x100+5x110-5x3x72

ll2+22+32+42+52-5×32-,

因為α=^-ba所以α=72-21X3=9,所以y=21x+9.

(2)預(yù)測該地區(qū)2022年抽樣IOOo汽車調(diào)查中新能源汽車數(shù)，

當(dāng)x=7時，y=21X7+9=156,該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車.

所以新能源汽車N=300000x點東=46800.

19.(12分)已知公差不為零的等差數(shù)列｛“”｝的前〃項和為S”41=1,且S2,S4,S8成等

比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛z｝的通項公式:

(2)若brt=二—，求數(shù)列｛為｝的前幾項和Tk

【解答】解：(1)已知公差不為零的等差數(shù)列｛加｝的前附項和為S”,αι=l,且S2,S4,

58成等比數(shù)列，

設(shè)公差為d,則d>0,

乂S《2=$2$8，

則(6d+4)2=(d+2)(28d+8),

2

即d-d=09

即￠/=2,

即數(shù)列｛即｝的通項公式為〃〃=2〃-1；

11111

(2)由(1)可得：bn=即%+]=(2-1)(2/+1)=2(市廠笳6

則%=京1_3+&_3+…+(七—磊)]=女1-焉)=品.

20.(12分)某同學(xué)參加籃球投籃測試，罰球位上定位投籃投中的概率為三，三分線外定位

4

1

投籃投中的概率為測試時三分線外定位投籃投中得2分，罰球位上籃投中得1分，不

中得0分，每次投籃的結(jié)果相互獨立，該同學(xué)罰球位上定位投籃1次，三分線外定位投

籃2次.

(1)求“該同學(xué)罰球位定位投籃投中且三分線外定位投籃投中1次”的概率；

(2)求該同學(xué)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)設(shè)該同學(xué)“罰球位上定位投籃投中”為事件A,“三分線外定位投籃投

中”為事件3,“該同學(xué)罰球位定位投籃投中且三分線外定位投籃投中1次”為事件C,

21

則P(A)=IP(B)=4，

4?

所以p(O=T-Ci?∣?l=?>

4z?33

(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,5,

31Il

P(X=O)=(1—4)X(1—?)X(1—可)=g，

n/V一、3221

P(X—1)=?V×O?×,5,=Q,,

4333

1121

P(X=2)=Vc2×?×5=?*

Q1?1

P(X=3)=≡??×i×^=∣,

P(X=4)=^τ?C?x5x5=QZ

4/3336

P(X=5)=4XWXW='j?,

故X的分布列為：

X0I2345

111111

rP——————

93933612

故該同學(xué)的總得分X的期望E(X)=OX扛IX寺+2乂扛3X扛4X磊+5X白=卷

21.(12分)為了解我區(qū)高中學(xué)生閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了IOO位同學(xué)每月課外閱讀時間(小

時)，并將這100個數(shù)據(jù)按閱讀時間整理得到下表；

閱讀時間[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)

人數(shù)1012142024146

將每月課外閱讀時間40小時及以上者視為“閱讀達(dá)人”，40小時以下者視為“非閱謎達(dá)

人”.

(1)請根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為“閱讀達(dá)人”與

性別有關(guān)？

非閱讀達(dá)人閱讀達(dá)人合計

男生

女生1240

合計

(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率.現(xiàn)從全區(qū)高中學(xué)生中隨機(jī)抽取19人，則抽到

“閱讀達(dá)人“最有可能的人數(shù)是多少？

附表：X2獨立性檢驗臨界值

P(X2)0.150.1