2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市永年區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市永年區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知函數(shù)/(X)在X=X。處的導(dǎo)數(shù)為3,則lim"%+Ax)T5)=()

…。3ΔΛ

A.3B.1C.2D.I

【答案】B

［分析］根據(jù)已知條件及函數(shù)在X=%導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在X=用處的導(dǎo)數(shù)為3,

所以r(/)=媽,(/+弋TG)=3,

所以Iim〃玉＞+.)-"%)=I.Iim/(XO+AY)-"%)=1x3=1.

δx→03?x3δx→0ΔΛ3

故選：B.

2.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪

船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為()

A.l+l+l=3B.3+4+2=9

C.3×4×2=24D.以上都不對(duì)

【答案】B

【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可求.

【詳解】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為3+4+2=9利L

故選：B.

3.已知函數(shù)"x)=d-2x-41nx+3,則/(x)的極小值為()

A.2B.2-31n2C.ln2-3D.3-41n2

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟及函數(shù)的極小值的定義即可求解.

【詳解】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

因?yàn)?(x)=χ2-2x-4InX+3

所以r(力=2一_；2口+1卜一2),

令f'(x)=O,則2(x+l)(x-2)=0,解得χ=2或x=—l(舍)，

X

X（0,2）2(2,+∞)

?f(x)—0+

/(?)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

由此表可知，當(dāng)x=2時(shí)?，/（x）的取得極小值為/（2）=4—4—41n2+3=3-41n2.

故選：D.

體重（單位：kg）

4.目前,國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMl=來(lái)衡量成人人體胖瘦程度以及是否健

身高2（單位：π?）

康.某公司對(duì)員工的BMZ值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為（；女員工中，肥胖者的占

比為已知該公司男、女員工的人數(shù)比例為3:2,為了解員工肥胖原因，現(xiàn)從該公司中任選一名

肥胖的員工，則該員工為男性的概率為（）

3c3〃4C9

A.-B.-C.-D.—

45510

【答案】A

【分析】記事件A為“選到的員工為肥胖者”，事件8為“選到的員工為男性“，求出P（AB）、P（A）的

值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】記事件A為“選到的員工為肥胖者”，事件B為“選到的員工為男性”.

31331?14

則P(A8)=3χ±=3,P(A)=三x2+*χL=:,

v75525—5551025

則鶴小需VXu

故選：A.

5.某人用字母各1個(gè)和2個(gè)字母e拼寫英語(yǔ)單詞“左eer”,那么他寫錯(cuò)這個(gè)英語(yǔ)單詞的概率為（）

59C9〃19-119

A.—B.—C.—D.------

601020120

【答案】A

【分析】利用排列組合知識(shí)得出英語(yǔ)單詞的不同寫法的總數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橛米帜干蟫/各1個(gè)和2個(gè)字母e拼寫一個(gè)英語(yǔ)單詞，共有C；A；=60（種）不同的寫法,

而寫對(duì)的可能只有F種，故所求概率為P=*59.

故選：A.

6.已知函數(shù)/(x)=αr+sin2x+cosx在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是()

「33、

A.(2,+∞)B.(→o,l]C.[3,-κo)D.-γ∣,+∞I

【答案】C

【分析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，則/'(x)≥0對(duì)x∈R恒成立，分離參數(shù)通過(guò)求解函數(shù)最值

即可得出結(jié)果.

【詳解】由/'(X)=4+2cos2x-sinx,

若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，則α+28s2x-SinXNO對(duì)XeR恒成立.

有a+20-2SilrX)—sinx20,可得α24sin,x+sinx—2,

又由4sin2x+sinx-2=(2sinx+"-77≤3,可得4N3.

I4j%

故選：C

7.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒(méi)有平局(必須分出

22

勝負(fù))，且每一局甲贏的概率都是。，隨機(jī)變量X表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若X的數(shù)學(xué)期望為κ,則

P=()

A.5B.IC.?D.;或W

【答案】D

【分析】由三局兩勝的比賽制度可得隨機(jī)變量X可能的取值為2和3,分別求出概率，列出分布列,

利用離散型隨機(jī)變量的期望公式計(jì)算求得。的值.

【詳解】隨機(jī)變量X可能的取值為2,3.

P(X=2)=dC;(I-P)2=2∕-2p+l,

P(X=3)=C；Ml-P)P+C；P(I-P)(I-P)=2p-2",

故X的分布列為：

X23

P2p~—2∕?÷12p-2p2

故E(X)=2x(2p2_2p+l)+3x(2p_2/)=_2p2+2p+2,

77ι?

由一2∕+2p+2=彳，解得A=：或

，??

故選：D.

8.已知log2Q=￡(。≠2),log3?=^(?≠3),log4c=^-(c≠4),貝!]()

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

■八4T,A?A?j→r-τr"UkIlnQln2InZ?In3Incln4「/`Inx_LX0/口乂、.

【分析】先對(duì)等式變形得到一=—,—=—,—=—,構(gòu)造/(X)=—,求導(dǎo)得到其單調(diào)

a2h3c4X

性，結(jié)合等=竽，a≠2,c≠4,得到a=4,c=2,由9>8推出與>華，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出

2<b<e,從而比較出大小.

__-,a?naaIn。In2ln?In3Incln4

【詳a解t3】由1M=5=蔽=5="=T^'同理h=亍,T=V'

令"x)=(,/(X)=WΞ,

當(dāng)x>e時(shí)，∕,(x)=l^^<0,當(dāng)O<χ<e時(shí)，∕,(x)=≥^>0,

可得函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(e,+8),遞增區(qū)間為(0,e),而2<e<3<4,

ln4In2C)_,C

又由---=---,Λ≠2,c≠4,可rz得w。=4,c=2,

42

9>8n21n3>31n2=>->—,

32

又由e<3,b≠3及〃x)的單調(diào)性，可知2<6<e,

故CVbV4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),

通過(guò)導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中，變形得到如=學(xué)，

a2

半=耳，呵=學(xué)，從而構(gòu)造“χ)=g,達(dá)到比較大小的目的.

Z?3C4X

二、多選題

9.若直線/為曲線G：y=Y與曲線c∕y=r'的公切線，則直線/的斜率為()

【答案】AD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】曲線G：y=Y,貝∣Jy'=2x,曲線G：y=V,則y'=3∕,

設(shè)直線/與曲線Cl的切點(diǎn)坐標(biāo)為(〃,儲(chǔ))，則切線方程為y=2"-/,

設(shè)直線/與曲線G的切點(diǎn)坐標(biāo)為(肛加)，則切線方程為y=3"*-2〉,

8

22

.?.2a=3mya=2Λ∏3,.?.ZW=O或機(jī)=-,

???直線/的斜率為0或6"4.

故選：AD.

10.設(shè)(l+2x)K)=q+平+49++即3°,則下列說(shuō)法正確的是()

A.%=10B.cιl+Ci2++α∣o=3'°-1

C.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)D.a2=9at

【答案】BD

【分析】對(duì)于A,令X=0,從而即可判斷；對(duì)于B,令x=l,結(jié)合A的結(jié)論，即可判斷；對(duì)于C,

由二次項(xiàng)的展開(kāi)式中系數(shù)的特征即可判斷；對(duì)于D,利用二次項(xiàng)的展開(kāi)式公式求出如出即可判斷.

【詳解】解：對(duì)于A,令X=O得%=1,故A不正確；

對(duì)于B,令X=I得%+4+牝++4O=3'°,

0

而由A知：?=1,因此4+/++α10=3'-l,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)?l+2x)K)的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，故C不正確；

K)rr

對(duì)于D,因?yàn)?1+2X)的展開(kāi)式中，Tr+i=2C{0x,

222

所以n=2C：οx(chóng)=20x,T3=2C10X=180x,

因此4=20,4=180,所以外=9α∣,故D正確.

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(x)=x2∣nx,下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>0;當(dāng)O<x<l時(shí)，/(x)<0

B.函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(θ,G),增區(qū)間為(G+∞)

C.函數(shù)/(x)的值域-：，+8)

D./(x)2x-l恒成立

【答案】ACD

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接判斷A,利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值判斷BC,D選項(xiàng)中，不

等式變形為InX-L+1≥0,然后引入函數(shù)g(x)=InX-L+二，由導(dǎo)數(shù)求得最小值判斷D.

XXXX

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)OVXVl時(shí)，In%<O；當(dāng)x>l時(shí)，lnx>O,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,/,x)=2xlnx+x=x(21nx+l),令∕<x)>0可得21nx+l>0,有X>},可知函數(shù)F(X)

的減區(qū)間為(0,9),增區(qū)間為(9，—],故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,由上可知"xL=/1%[=]111%=-',X→R時(shí)，/(x)→+<x>,故選項(xiàng)C正確:

對(duì)于選項(xiàng)D,f(x?≥x-?<=>x2lnx-x+l≥0<≠>l∏Λ-i+->0,令g(x)=lnx--+?,有

Xx^XX

g，(X)=■!+[二/+12=(1胃+2),令/(無(wú))>()可得χ>l,故函數(shù)g(x)的增區(qū)間為

XX-XXX

(M),減區(qū)間為(0,1),可得g(x)πta=g(l)=O,故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

12.“新高考”后，普通高考考試科目構(gòu)成實(shí)“3+2+1”模式.“2”就是考生在思想政治、地理、化學(xué)、

生物這4門科目中選擇2門作為再選科目.甲、乙兩名同學(xué)各自從這4門科目中任意挑選兩門科目

學(xué)習(xí)，設(shè)4表示事件“甲乙兩人所選科目恰有一門相同”，B表示事件“甲乙兩人所選科目完全不同”,

C表示事件“甲乙兩人所選科目完全相同”，。表示事件“甲乙兩人均選擇生物“，則()

A.A與B為對(duì)立事件B.8與。為互斥事件

C.C與。相互獨(dú)立D.A與。相互獨(dú)立

【答案】BD

【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念即可判斷A,B,再利用概率的計(jì)算公式求出

P(A),P(B),P(C),P(D)即可判斷C,D.

【詳解】甲、乙兩名同學(xué)所選科目共有''所選科目完全不同”，”所選科目恰有一門相同“所選科目

完全相同”這三種情況，即A與B為互斥事件但不對(duì)立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

8與D為互斥事件，選項(xiàng)B正確；

易知P(A)=^=P(B)=梟=*，P(C)=I-P(A)-P(B)=I,

「⑵=器T"S)=品WW(C)P⑷，

P(Ao)=5?=!=P(A)?P(O)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D正確.

C4C4O

故選：BD.

三、填空題

13.已知某隨機(jī)變量4的概率分布列如表，其中x>0,y>0,則隨機(jī)變量J的數(shù)學(xué)期望Eq)=

Xi123

P(DXyX

【答案】2

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)以及期望的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】由題意，*+y+x=1,即2x+y=l

E(?)=x+2y+3x=4x+2y=2(2x+y)=2

故答案為：2

14.設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%、35%、20%,甲、乙車間生產(chǎn)的

產(chǎn)品的次品率分別為2%和3%.現(xiàn)從中任取一件，若取到的是次品的概率為2.95%,則推測(cè)丙車間的

次品率為■

【答案】5%

【分析】令A(yù)表示“取到的是一件次品"，Bl,B2,Bi分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生

產(chǎn)的，設(shè)P(AlBJ=相，由全概率公式即可求解.

【詳解】解：令A(yù)表示“取到的是一件次品“，Bl,B3分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車

間生產(chǎn)的，顯然4,4也是樣本空間S的一個(gè)劃分，且有P(4)=0.45,P(B2)=0.35,P(BJ=().2.

由于P(HBJ=O.02,P(A∣B2)=0.03,設(shè)P(A同)=加，

由全概率公式得：

P(A)=P(A∣Bl)P(Bl)+P(A∣β2)P(B2)+P(A∣B,)P(β,)=0.02×0.45+0.03×0.35+m×0.2,

而P(A)=2.95%,故m=5%.

故答案為：5%.

15.如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在

提供4種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色

方法種數(shù)為.

【答案】72

【分析】根據(jù)題意，分4步依次分析區(qū)域A、B、C、D、E的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)

算答案.

【詳解】分4步進(jìn)行分析：

①，對(duì)于區(qū)域A,有4種顏色可選；

②，對(duì)于區(qū)域B,與A區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；

③，對(duì)于區(qū)域C,與A、B區(qū)域相鄰，有2種顏色可選；

④，對(duì)于區(qū)域。、E,若。與B顏色相同，E區(qū)域有2種顏色可選,

若。與8顏色不相同，O區(qū)域有1種顏色可選，E區(qū)域有1種顏色可選,

則區(qū)域。、E有2+lxl=3種選擇,

則不同的涂色方案有4x3x2x3=72種;

故答案為：72

16.已知函數(shù)/(x)=∕+(C-I)χ+其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，經(jīng)研究：“在平面直角

坐標(biāo)系中，X軸是函數(shù)g(x)的圖象的漸近線若方程)(g(χ))=o有六個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，則。的

取值范圍為

【答案】(θ,3-2√Σ)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的性質(zhì)，作出g(x)的大致圖象,設(shè)g(x)=f，則〃。=0,設(shè)/(f)=o

的兩根為4名，可知4/e(0,4),且4聲芍，列式求解即可.

【詳解】g<x)=≥^,令g'(x)=O,解得X=O或x=2,

e

當(dāng)x<0或x>2時(shí)，g,(x)<0；當(dāng)OCX<2時(shí)，g,(x)>O,

則g(x)在(e,0)和(2,+8)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取極小值g(0)=0;當(dāng)χ=2時(shí)，g(x)取極大值g(2)=4,

當(dāng)x<0或x>0時(shí)，g(x)>0.

作出g(x)的大致圖象，如圖，

設(shè)g(x)=t,則”f)=Q,設(shè)〃。=0的兩根為乙，%可知4名?0,4),Rtl≠t2,

Δ=(c-l)2-4c>0,

x1+x2=1-c>0,

xx=c>0,

有，l2

0<--^^<4,

2

/(4)=16÷4(c-l)+c>0,

得0<c<3-2√∑,即C的取值范圍為(0,3-2點(diǎn)).

故答案為：(θ,3-2√2).

四、解答題

17.已知卜V+4](n∈N*).

(1)若其展開(kāi)式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求”；

(2)若展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，求〃的最小值.

【答案】(1)9

(2)5

【分析】（I）由題意C：=c：,由組合數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；

（2）展開(kāi)式通項(xiàng)為4M=C：2”"3，川，令3〃_5廠=0,即可求得答案.

【詳解】（1）由題意C：=C：，;.〃=9；

（2）展開(kāi)式通項(xiàng)為2I=α（2χ3）'f（｝）=C,r,2"-rx3"-5r,

令3"-5r=0,可得"=?∣r,

.?.r=3時(shí)，”有最小正整數(shù)值5.

18.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是J2和：3，假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之

34

間沒(méi)有影響.（結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答）.

（1）求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；

（2）求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.

191

【答案】⑴葺⑵2

【解析】（1）事件A（甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)）與事件8（甲射擊3次都擊中目標(biāo)）為

對(duì)立事件，計(jì)算得到答案.

（2）甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率尸=《由，計(jì)算得到答案.

23

【詳解】（1）設(shè)甲、乙擊中目標(biāo)的概率分別是為P∣,Pz,則口=；，。2=:，

事件A（甲射擊?3次至少有1次未擊中目標(biāo)）與事件B（甲射擊3次都擊中目標(biāo)）為對(duì)立事件，所

（2）甲射擊2次恰好擊中目標(biāo)2次的概率為G=GlJJ=1，

313

乙射擊2次恰好擊中目標(biāo)1次的概率為R=GXTXT=三，二事件相互獨(dú)立，

448

431

所以甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)I次的概率尸=A七=5、京=了

【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

19.已知函數(shù)〃X）=渥-勿√+A（αHθ）在區(qū)間上的最小值為一2,最大值為1.

（1）求實(shí)數(shù)a，6的值；

（2）若函數(shù)g（x）=∕（x）-〃?有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(I)C:或L?;(2)當(dāng)4=6=1時(shí)，［-?,lI；當(dāng)α=-l,b=-2時(shí)，f-2,-∣∣I.

【分析】(1)求出f(X),對(duì)。的取值進(jìn)行分類討論，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由最值列出

方程組，求解即可；

(2)利用(1)中的結(jié)論，討論兩種情況，得到函數(shù)F(X)的最值與極值情況，然后由零點(diǎn)的定義求

解即可.

【詳解】(1)由/'(耳=3辦2—4Or=OV(3x-4)

①當(dāng)”>0時(shí)，令/”)>0,可得x>g或x<0,此時(shí)函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(一8,0),(*+8)，減

區(qū)間為(Og)

、(4、643232

由f(0)=b,f(-?)=-a-2a+b=b-3a,/I?J=—^+?=?--,/(2)=8α-8a+b=)

?=1

有,可得

b-3a=-2

②當(dāng)加0時(shí)，令力")>0,可得O<x<g,此時(shí)函數(shù)〃力的減區(qū)間為(-e,0),(*+8)增區(qū)間為

由/(O)=Z?,f^-l)=-a-2a+b=b-3a,f(2)=8a-8a+b=b

b=-2a=-↑

有,可得

b-3a=lb=-2

二;或

由上知

b=-2

/、(4?325

⑵當(dāng)α=A=l時(shí)，/(0)=l,==-—

若函數(shù)g(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

,4、3222

當(dāng)α=T,匕=一2時(shí)，/(0)=-2,/^-J=-2+-=-—

若函數(shù)g(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為12,一||

20.某學(xué)習(xí)小組有3個(gè)男生和4個(gè)女生共7人.

(1)將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？

(2)將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？

(3)從中選出2名男生和2名女生分別承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有多少種選派方法？

【答案】⑴144

（2）3720

（3）432

【分析】（1）按照插空法，先排男生，再排女生，即可求解；

（2）分男生甲在最右邊和男生甲不站最左邊也不在最右邊兩種情況，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解；

（3）按照先選再排的方法，結(jié)合組合數(shù)和排列數(shù)公式，即可求解.

【詳解】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①，將3個(gè)男生全排列，有A：種排法，排好后有4個(gè)空位，

②，將4名女生全排列，安排到4個(gè)空位中，有A：種排法，

則一共有A；A：=144種排法；

（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：

①，男生甲在最右邊，有A：=720,

②，男生甲不站最左邊也不在最右邊，有A；A；A；=3000,

則有720+3000=3720種排法;

（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①，在3名男生中選取2名男生，4名女生中選取2名女生，有C；C；種選取方法，

②，將選出的4人全排列，承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有A：種情況，

則有C；C；A：=432種不同的安排方法

21.我國(guó)脫貧攻堅(jiān)經(jīng)過(guò)8年奮斗，取得了重大勝利.為鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，某項(xiàng)目組對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品的

質(zhì)量情況進(jìn)行持續(xù)跟蹤，隨機(jī)抽取了10件產(chǎn)品，檢測(cè)結(jié)果均為合格，且質(zhì)量指標(biāo)分值如下：38,70,

50,45,48,54,49,57,60,69,已知質(zhì)量指標(biāo)不低于60分的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.

（1）從這io件農(nóng)產(chǎn)品中任意抽取兩件農(nóng)產(chǎn)品，記這兩件農(nóng)產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為y,求y的分布列和

數(shù)學(xué)期望

（2）根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N（〃,4）,其中〃近似為樣本質(zhì)量

指標(biāo)平均數(shù)，/近似為方差，生產(chǎn)合同中規(guī)定，所有農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品的占比不得低于15%.那么這種農(nóng)

產(chǎn)品是否滿足生產(chǎn)合同的要求？請(qǐng)說(shuō)明理由.

附:若則p(〃-2σ?<X<〃+2b)=0.9545,P(ju-σ<X<ju+σ)=0,6827,√94≈9.7.

【答案】(1)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：I3

⑵這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)求出y的取值和對(duì)應(yīng)的概率可得分布列及期望；

(2)求出這10件農(nóng)產(chǎn)品的平均數(shù)和方差，可得〃=54,σ=9.7,記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分值為X,

可知X~Λ<(54,9.72),再根據(jù)P(44.3<X<63.7)=P(χ∕-σ<X<∕∕+σ),

有尸(乂》60)>尸(乂》63.7)可得答案

【詳解】(1)因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)分值不低于60分的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，所以優(yōu)質(zhì)品有3件，

則S*高

11

p(y=l)=尊CC=，7

I)GV15

P(Y=I)=

C.015

所以y的分布列如下:

Y012

771

P

151515

7713

?E(r)=o×-÷1×-+2×-=-

1515155

(2)這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求，理由如下:

這10件農(nóng)產(chǎn)品的平均數(shù)為?x(38+70+50+45+48+54+49+57+60+69)=54,

這10件農(nóng)產(chǎn)品的方差為

木x[(38-54『+(70-54)2+(50-54),(45-54)2+(48-54)。+(54-54)2+(49-54),(57-54):

(60-54)，(69-54)[=94,

由√^≈?9.7,可令M=54,σ=9.7,

這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求，理由如下:

記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分值為X,由題意可知，X~yV(54,9.72),

可得P(44.3<X<63.7)=Pwb<X<μ+σ)=0.6827,

有P(xe60)>P(X263.7)=ta^^=0.15865>15%

所以有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求.

22.已知函數(shù)/(X)=X(Inx-a)+l有且