2023年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（全國通用）：專題32 函數(shù)與幾何綜合問題（共10道）（解析版）

專題32函數(shù)與幾何綜合問題（10道）一、單選題1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標(biāo)為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2【答案】A【分析】如圖所示，延長到E，使得，連接，根據(jù)點A的坐標(biāo)為得到，再證明是的中位線，得到；解得到，進一步求出點C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運動，則當(dāng)點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，據(jù)此求出的最小值，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，延長到E，使得，連接，∵的一條直角邊在x軸上，點A的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∵點M為中點，點A為中點，∴是的中位線，∴；在中，，∴，∵將以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，∴點C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運動，∴當(dāng)點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，∵，∴的最小值為，∴的最小值為3，故選A．

【點睛】本題主要考查了一點到圓上一點的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖中，，為中點，若點為直線下方一點，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長為；④若，則當(dāng)時，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時，取得最大值，進而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時，．【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線，點是重心；如圖，四邊形是平行四邊形，是中點，點是重心；如圖，點不是中點，所以點不是重心；①正確

②當(dāng)，如圖時最大，，，，，，，②錯誤；

③如圖5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③錯誤；④如圖6，，∴，即，在中，，∴，∴，當(dāng)時，最大為5，∴④正確．故選：A．【點睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的圖像與x軸交于點、，與軸交于點，過點的直線將分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則的值為．【答案】或或【分析】先求得，，，直線解析式為，直線的解析式為，1）、當(dāng)分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線，則①如圖1，直線過中點，②如圖2，直線過中點，直線解析式為，中點坐標(biāo)為，待入直線求得；③如圖3，直線過中點，中點坐標(biāo)為，直線與軸平行，必不成立；2）當(dāng)分成三角形和梯形時，過點的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因為平分面積，所以相似比為．④如圖4，直線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；⑤如圖5，直線，⑥如圖6，直線，同理可得，進而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：由，令，解得：，令，解得：，∴，，，設(shè)直線解析式為，∴解得：∴直線解析式為，當(dāng)時，，則直線與y軸交于，∵，∴，∴點必在內(nèi)部．1）、當(dāng)分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線設(shè)直線的解析式為∴，解得：則直線的解析式為①如圖1，直線過中點，，中點坐標(biāo)為，代入直線求得，不成立；

②如圖2，直線過中點，直線解析式為，中點坐標(biāo)為，待入直線求得；③如圖3，直線過中點，中點坐標(biāo)為，直線與軸平行，必不成立；2）、當(dāng)分成三角形和梯形時，過點的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因為平分面積，所以相似比為．④如圖4，直線，∴∴，∴，解得；

⑤如圖5，直線，，則∴，又，∴，∵，∴不成立；⑥如圖6，直線，同理可得，∴，，，∴，解得；綜上所述，或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識，并分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題4．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象的頂點坐標(biāo)是，并且經(jīng)過點，直線與拋物線交于B，D兩點，以為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側(cè)的點，直線m上每一點的縱坐標(biāo)都等于1．(1)求拋物線的解析式；(2)證明：圓C與x軸相切；(3)過點B作，垂足為E，再過點D作，垂足為F，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】〔1〕可設(shè)拋物線的頂點式，再結(jié)合拋物線過點，可求得拋物線的解析式；〔2〕聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得、兩點的坐標(biāo)，那么可求得C點坐標(biāo)和線段的長，可求得圓的半徑，可證得結(jié)論；〔3〕過點C作于點H，連接，可求得，利用〔2〕中所求B、D的坐標(biāo)可求得，那么可求得和的長，可求得其比值．【詳解】（1）解：拋物線的圖象的頂點坐標(biāo)是，可設(shè)拋物線解析式為，拋物線經(jīng)過點，，解得，

拋物線解析式為；（2）解：聯(lián)立直線和拋物線解析式可得，解得或，，，為的中點，點的縱坐標(biāo)為，，圓的半徑為，點到軸的距離等于圓的半徑，圓與軸相切；（3）解：如圖，過點作，垂足為H，連接，由〔2〕可知，，在中，由勾股定理可求得，，，，．【點睛】此題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識．在〔1〕中注意利用拋物線的頂點式，在〔2〕中求得B、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在〔3〕中求得、的長是解題的關(guān)鍵．此題考查知識點較多，綜合性較強，計算量較大，難度較大．5．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁第5題后，進行變式、探究與思考：如圖1，的直徑垂直弦AB于點E，且，．

(1)復(fù)習(xí)回顧：求的長．(2)探究拓展：如圖2，連接，點G是上一動點，連接，延長交的延長線于點F．①當(dāng)點G是的中點時，求證：；②設(shè)，，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由；③如圖3，連接，當(dāng)為等腰三角形時，請計算的長．【答案】(1)(2)①見解析；②；③的長為或【分析】（1）先求得的直徑為10，再利用垂徑定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；（2）①連接，由點G是的中點，推出，根據(jù)等角的余角相等即可證明結(jié)論成立；②利用勾股定理求得，利用垂徑定理得到，推出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；③分兩種情況討論，當(dāng)和時，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）解：連接，

∵的直徑垂直弦AB于點E，且，，∴，，∴，，在中，，∴；（2）解：①連接，

∵點G是的中點，∴，∴，∵的直徑垂直弦AB于點E，∴，∴，∴；②∵，，，∴，

∵的直徑垂直弦AB于點E，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；③當(dāng)時，

在中，，∴，∵，∴，∴，即，∴；當(dāng)時，

在中，，在中，，∴，同理，∴，即，∴；綜上，的長為或．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點，的位置和函數(shù)、的圖像如圖所示．以為邊在x軸上方作正方形，邊與函數(shù)的圖像相交于點E，邊與函數(shù)、的圖像分別相交于點G、H，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點E、G，與y軸相交于點P，連接．

(1)，，求函數(shù)的表達式及的面積；(2)當(dāng)a、m在滿足的條件下任意變化時，的面積是否變化？請說明理由；(3)試判斷直線與邊的交點是否在函數(shù)的圖像上？并說明理由．【答案】(1)函數(shù)的表達式為，的面積為(2)不變，理由見解析(3)在，理由見解析【分析】（1）由，，可得，，，，則，當(dāng)，，則；當(dāng)，，解得，則；當(dāng)，，解得，則；待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式為，當(dāng)，，則，根據(jù)，計算求解即可；（2）求解過程同（1）；（3）設(shè)直線的解析式為，將，，代入得，，解得，即，當(dāng)，，則直線與邊的交點坐標(biāo)為，當(dāng)，，進而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴，，，，∴，當(dāng)，，則；當(dāng)，，解得，則；當(dāng)，，解得，則；設(shè)一次函數(shù)的解析式為，將，，代入得，，解得，∴，當(dāng)，，則，∴；∴函數(shù)的表達式為，的面積為；（2）解：的面積不變，理由如下：∵，，，，∴，當(dāng)，，則；當(dāng)，，解得，則；當(dāng)，，解得，則；設(shè)一次函數(shù)的解析式為，將，，代入得，，解得，∴，當(dāng)，，則，∴；∴的面積不變；（3）解：直線與邊的交點在函數(shù)的圖像上，理由如下：設(shè)直線的解析式為，將，，代入得，，解得，∴，當(dāng)，，∴直線與邊的交點坐標(biāo)為，當(dāng)，，∴直線與邊的交點在函數(shù)的圖像上．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，交點坐標(biāo)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．7．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點B，C在x軸上，D在y軸上，，的長是方程的兩個根（）．請解答下列問題：(1)求點B的坐標(biāo)；(2)若，直線分別交x軸、y軸、于點E，F(xiàn)，M，且M是的中點，直線交延長線于點N，求的值；(3)在（2）的條件下，點P在y軸上，在直線EF上是否存在點Q，使是腰長為5的等腰三角形？若存在，請直接寫出等腰三角形的個數(shù)和其中兩個點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，等腰三角形的個數(shù)是8個，，，，【分析】（1）解方程得到，的長，從而得到點B的坐標(biāo)；（2）由，，得．由，是中點，得到點M的坐標(biāo)，代入直線中，求得b的值，從而得到直線的解析式，進而求得點E，點F的坐標(biāo)，由坐標(biāo)特點可得．過點C作于H，過點N作于K．從而，，進而得到，易證，可得，因此，由可得，，，從而通過解直角三角形在中，得到，在中，，因此求得，最終可得結(jié)果；（3）分，，三大類求解，共有8種情況．【詳解】（1）解方程，得，．

，，．；（2），．四邊形是平行四邊形，，．是中點，．．將代入，得．．

，．．過點C作于H，過點N作于K．，．∴∵∴∴∴∴∵∴，，∴在中，在中，∴∴（3）解：由（2）知：直線解析式為，，設(shè)，，①當(dāng)時，，，解得或，或，∴，，，，如圖，、、、都是以5為腰的等腰三角形，；②當(dāng)時，由①知：，，∵，∴不可能等于5，如圖，，都是以5為腰的等腰三角形，；③當(dāng)時，由①知：，，當(dāng)時，，解得（舍去），，∴，如圖，當(dāng)時，，解得（舍去），，∴，如圖，綜上，等腰三角形的個數(shù)是8個，符合題意的Q坐標(biāo)為，，，【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)與平行四邊形，等腰三角形的綜合問題，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在上運動，滿足，延長至點D，使得，點E是弦上一動點（不與點A，C重合），過點E作弦的垂線，交于點F，交的延長線于點N，交于點M（點M在劣弧上）．

(1)是的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；(2)記的面積分別為，若，求的值；(3)若的半徑為1，設(shè)，，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)是的切線，證明見解析(2)(3)【分析】（1）依據(jù)題意，由勾股定理，首先求出，從而，然后根據(jù)，可以得解；（2）由題意，據(jù)得，再由，進而進行變形利用方程的思想可以得解；（3）依據(jù)題意，連接，分別在中，找出邊之間的關(guān)系，進而由，可以得解．【詳解】（1）解：是的切線．證明：如圖，在中，，∴．又點A，B，C在上，∴是的直徑．∵，∴．又，∴．∴．∴是的切線．（2）由題意得，．∵，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．又，∴．∴．∴．由題意，設(shè)，∴．∴．∴．∵，∴．∴．（3）設(shè)，∵，∴．如圖，連接．

∴在中，．∴，．∴在中，，．在中，．（∵，∴）．在中，，．∴．即．∵，∴最大值為F與O重合時，即為1．∴．綜上，．【點睛】本題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，切線的判定定理，求角的正切值，解題時要熟練掌握并靈活運用．9．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點在線段上移動時，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長交于點．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．【點睛】本題考查了菱形與折疊問題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線軸，交y軸的正半軸于點，且，點B是y軸右側(cè)直線l上的一動點，連接．

(1)請直接寫出點A的坐標(biāo)；(2)如圖2，若動點B滿足，點C為的中點，點為線段上一動點，連接．在平面內(nèi)，將沿翻折，點B的對應(yīng)點為點P，與相交于點Q，當(dāng)時，求線段的長；(3)如圖3，若動點B滿足，為的中位線，將繞點B在平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點O、E、F三點共線時，求直線EB與x軸交點的坐標(biāo)；(4)如圖4，平分交于點，于點，交于點，為的一條中線．設(shè)，，的周長分別為，，．試探究：在B點的運動過程中，當(dāng)時，請直接寫出點B的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或(4)【分析】（1）根據(jù)，點A位于y軸的正半軸即可得出答案；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)和特殊角解三角形，先求出，，再過點D作，得出，解三角形即可求出，從而求出，（3）將繞點B在平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點O、E、F三點共線時，有兩種情況，當(dāng)將繞點B在平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)，可得點、F恰好落在x軸，，從而可得直線與x軸交點的坐標(biāo)；當(dāng)將繞點B在平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)到上方時，可得，從而