課件群編條件概率與獨(dú)立性

1§1.3條件概率與事件的獨(dú)立性§1.3.1條件概率§1.3.2事件的獨(dú)立性引例110張抽獎(jiǎng)券中有一張有獎(jiǎng)，甲乙兩人先后從中隨機(jī)抽取一張。(1)乙中獎(jiǎng)的概率是多少？(2)甲先抽發(fā)現(xiàn)未中獎(jiǎng)，此時(shí)乙中獎(jiǎng)的概率是多少？§1.3.1條件概率解：(1)由古典概型可知，乙中獎(jiǎng)的概率為1/10.(2)由于已知甲先抽發(fā)現(xiàn)未中獎(jiǎng)，此時(shí)乙抽取的樣本空間中有9個(gè)樣本點(diǎn)，有利場合數(shù)仍為1，因此乙中獎(jiǎng)的概率為1/9.23在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要了解隨機(jī)事件A與B之間有無聯(lián)系、影響，如：當(dāng)B已經(jīng)發(fā)生后，A再發(fā)生的概率。這就是下面要介紹的“條件概率”P(A|B)

。條件概率引出的背景摸彩的例子：在摸彩活動(dòng)中，你摸到頭獎(jiǎng)(而別人都沒有)的概率是很小的，有概率頭腦的人大多不會(huì)對此熱衷。但是，當(dāng)活動(dòng)過半以后，大獎(jiǎng)仍舊未出時(shí)，稍有頭腦的人，積極性都將大增；一旦發(fā)現(xiàn)剩余的總獎(jiǎng)金超過了未售彩票總值，就可能有人會(huì)將其全買下！ΩOthersYou(Others)A(You)B4引例2試驗(yàn)E為擲一顆骰子，A=“擲出偶數(shù)點(diǎn)”，B=“擲出2點(diǎn)”。求P(A),P(AB),P(B|A)。解:因樣本空間故因在A發(fā)生的條件下，許多不確定因素已排除，故樣本空間從Ω變?yōu)锳，則條件概率的計(jì)算5定義：設(shè)兩個(gè)事件A、B，若P(A)>0,則稱為事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率。注1：當(dāng)A=Ω時(shí),條件概率P(B|Ω)就是無條件概率P(B).注2：

條件概率P(B|A)滿足概率公理化定義中的3個(gè)條件，因此條件概率P(B|A)也是概率，因此具備概率的一切性質(zhì)。例如：條件概率的定義6課堂練習(xí)試證：(1)(2)若則7課堂練習(xí)解答8例1

一批產(chǎn)品100件,有80件正品，20件次品，其中甲生產(chǎn)的為60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生產(chǎn)。現(xiàn)從該批產(chǎn)品中任取一件，記A=“正品”，B=“甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”試計(jì)算：解：(樣本空間為)(樣本空間為)例題與解答9例2

10個(gè)產(chǎn)品中有7個(gè)正品，3個(gè)次品，按不放回抽樣，抽取2個(gè)。如果已知第一次取到次品，計(jì)算第二次又取到次品的概率？解:設(shè){第個(gè)取到的是次品},需求出(注:也可用條件概率公式計(jì)算)例題與解答10直接壓縮樣本空間用條件概率公式總結(jié)：條件概率的計(jì)算方法11乘法公式：對于兩個(gè)事件A與B,

(1)若P(A)>0，則P(AB)=P(B|A)P(A)；

(2)若P(B)>0，則P(AB)=P(A|B)P(B)。推廣：

(1)當(dāng)P(AB)>0時(shí)，P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)(2)P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1)

（前提：作為條件的事件,其概率大于零。）證明：由于A

AB，故P(A)≥P(AB)>0

P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (注意條件)乘法公式12例3袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球。每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球。若從袋中連續(xù)取球4次，試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，i=1,…,4,則例題與解答13例4

設(shè)n張彩票中有一張中獎(jiǎng)票。(1)已知前k-1人沒中獎(jiǎng)，求第k人中獎(jiǎng)的概率？(2)求第k人中獎(jiǎng)的概率？解：另解：直接用古典概型中獎(jiǎng)概率與摸獎(jiǎng)順序無關(guān)例題與解答14引例一個(gè)袋子內(nèi)裝有10個(gè)球，其中紅球7個(gè)、黑球3個(gè)。每次從中任取一球，連續(xù)兩次。記A＝“第一次取到紅球”；B＝“第二次取到紅球”。求P(B)、P(B|A)和P(B|ā)。解：(1)有放回抽?。篜(B)＝0.7

＝P(B|A)＝P(B|ā)；

(2)無放回抽?。篜(B)＝0.7，而P(B|A)＝6/9＝2/3，P(B|ā)＝7/9§1.3.2事件的獨(dú)立性15由引例可見,在情形(1)下，P(B)=P(B|A)＝P(B|ā)，說明事件B發(fā)生的概率，不受事件A發(fā)生與否的影響；在情形(2)下，P(B)≠P(B|A),P(B)≠P(B|ā)，說明事件B發(fā)生的概率受到事件A發(fā)生與否的影響。兩個(gè)事件獨(dú)立性的直觀概念：

當(dāng)事件B發(fā)生的概率不受事件A發(fā)生的影響，即P(B)=P(B|A)，則事件B與A獨(dú)立。1.兩個(gè)事件的獨(dú)立性16兩個(gè)事件獨(dú)立性的定義當(dāng)事件B發(fā)生的概率，不受事件A發(fā)生與否的影響時(shí)，即P(B)=P(B|A)，乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A)可以改寫為P(AB)=P(A)P(B)。定義：若兩個(gè)事件A、B，滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和B相互獨(dú)立。(簡稱A和B獨(dú)立)用P(AB)=P(A)P(B)定義獨(dú)立性，比用P(A)=P(A|B)適用范圍更廣。理由：后者受P(B)>0限制，而前者不受該條件限制。17有關(guān)獨(dú)立性的推論1推論1：設(shè)A、B為兩個(gè)事件，P(B)>0，則A和B獨(dú)立的充要條件：P(A)=P(A|B)證明：(充分性)因?yàn)镻(A)=P(A|B)，所以

P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)。(必要性)由獨(dú)立性知,P(AB)=P(A)P(B),而由乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B),則P(A)=P(A|B)。P(A)P(B)=P(A|B)P(B),又因?yàn)镻(B)>0，所以18推論2：設(shè)為兩個(gè)事件，則下列四對事件中：

和，

和，

和，

和，只要有一對事件是獨(dú)立的，那么其余三對事件也是獨(dú)立的。僅證明若獨(dú)立，則和也獨(dú)立。證明：有關(guān)獨(dú)立性的推論2其余類似可證。有關(guān)獨(dú)立性的推論3兩個(gè)事件A和Ｂ獨(dú)立，不僅事件Ａ的發(fā)生與否不影響事件Ｂ的發(fā)生的概率；而且事件Ｂ的發(fā)生與否不影響事件Ａ的發(fā)生的概率.推論3：設(shè)0<P(A)<1，0<P(B)<1，則下面四個(gè)等式等價(jià)，即其中任何一個(gè)成立，另外三個(gè)也成立：1920例題與解答例5甲、乙二人分別向目標(biāo)射擊一次，設(shè)甲擊中的概率為0.7，乙擊中的概率為0.8，求甲、乙二人至少有一人擊中的概率.解一：記A=“甲擊中”，B=“乙擊中”，可以認(rèn)為A、B是獨(dú)立事件，A+B則表示至少有一人擊中。

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0.7+0.8－0.56=0.94解二:由A和B獨(dú)立可知:和也是獨(dú)立的,所以21例題與解答例6有一個(gè)均勻四面體，其中有三面分別漆成全紅、全黑、全白色，剩下的一面漆有紅、黑、白三色。隨機(jī)投擲一次，記事件A、B、C分別表示底面漆有紅色、黑色、白色。試判斷A與B的獨(dú)立性、A與C的獨(dú)立性、B與C的獨(dú)立性。解:由古典概型，P(A)=P(B)=P(C)=2/4=0.5 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4=0.25 P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，

P(AC)=P(A)P(C)?！?/p>

3個(gè)事件中任何2個(gè)事件都獨(dú)立，稱該3個(gè)事件兩兩獨(dú)立.222.多個(gè)事件的獨(dú)立性思考：上例中P(C|AB)=P(C)成立否?P(C|AB)≠P(C)表明事件C發(fā)生的概率受到其余兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的影響。因此， 在涉及兩個(gè)以上的多個(gè)事件的相互獨(dú)立時(shí)，還應(yīng)要求任何幾個(gè)事件發(fā)生與否都不影響其余事件的概率.上例中P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，因此A、B、C雖然兩兩獨(dú)立，但是不相互獨(dú)立。23多個(gè)事件相互獨(dú)立的定義定義：設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件，若對于正整數(shù)m(2≤m≤n)以及1≤i1<i2<…<im≤n,都有

P(Ai1Ai2…Aim)=P(Ai1)

P(A

i2)

…P(Aim),則稱事件A1,A2,…,An為相互獨(dú)立的。當(dāng)m=2時(shí)，稱事件A1,A2,…,An為兩兩獨(dú)立。n個(gè)事件相互獨(dú)立不同于n個(gè)事件兩兩獨(dú)立。 在例6中，3個(gè)事件兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。在很多實(shí)際應(yīng)用中，判斷一些事件的相互獨(dú)立性，不是利用定義計(jì)算，而是根據(jù)問題的實(shí)際意義分析確定。24多個(gè)事件相互獨(dú)立的直觀解釋直觀性定義：設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件，若它們中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率都不受其余某一個(gè)或某幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響，則稱事件A1,A2,…,An是相互獨(dú)立的。推論1：設(shè)n個(gè)事件A1,A2,…,An是相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)=P(A1)

P(A2)

…P(An)推論2：設(shè)n個(gè)事件A1,A2,…,An是相互獨(dú)立，則它們中的任意一部分換成各自事件的對立事件后，所得的n個(gè)事件也是相互獨(dú)立的。25例題與解答例7

甲、乙、丙三人在同一時(shí)間分別破譯某一個(gè)密碼，設(shè)甲譯出的概率為0.8，乙譯出的概率為0.7，丙譯出的概率為0.6，求密碼能譯出的概率？解:A=“甲譯出密碼”,B=“乙譯出密碼”,C=“丙譯出密碼”,D=“密碼被譯出”,顯然A、B、C相互獨(dú)立，D=A+B+C，26例題與解答例8

甲、乙、丙三部機(jī)床獨(dú)立工作，在同一段時(shí)間內(nèi)它們不需要工人照顧的概率分別為0.7，0.8，0.9，求在這段時(shí)間內(nèi)，最多只有一臺(tái)機(jī)床需要照管的概率？解：設(shè)A1,A2,A3分別表示在這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙、丙機(jī)床需要照管，Bi表示在這段時(shí)間內(nèi)，恰有i臺(tái)機(jī)床需要照管,i=0,1。顯然，A1,A2,A3相互獨(dú)立，B0與B1互不相容,

所以27課堂練習(xí)1.設(shè)A、B、C是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,且0<P(C)<1,則在下列給定的四對事件中不相互獨(dú)立的是()解:由于A、B、C是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,那么其中任意兩個(gè)事件或其對立事件的和、差、交與另一事件或者其對立事件是相互獨(dú)立的，根據(jù)這一性質(zhì)，只有B是不成立的。282.設(shè)A、B、C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，則A、B、C相互獨(dú)立的充分必要條件是()

A.A與BC獨(dú)立 B.AB與A+C獨(dú)立

C.AB與AC獨(dú)立 D.A+B與A+C獨(dú)立解:選項(xiàng)B、C、D的兩個(gè)事件中都出現(xiàn)事件A，因此都不可能獨(dú)立。因此考察選項(xiàng)A,如A與BC獨(dú)立，則P(ABC)=P(A)P(BC)但A、B、C兩兩獨(dú)立，因此P(BC)=P(B)P(C)因此P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，即A、B、C相互獨(dú)立，反之亦然。因此，應(yīng)填選項(xiàng)A。課堂練習(xí)293.試驗(yàn)的獨(dú)立性回顧隨機(jī)事件的獨(dú)立性試驗(yàn)的獨(dú)立性

直觀定義：若有n個(gè)試驗(yàn)E1,E2,…,En,每個(gè)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果都是一個(gè)事件。若E1的任一事件與E2的任一事件，…，與En的任一事件相互獨(dú)立，稱E1,E2,…,En相互獨(dú)立。若這n個(gè)試驗(yàn)還是相同的，則稱其為n重獨(dú)立重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。例如：n次有放回摸球是n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)；n次無放回摸球是n個(gè)相互不獨(dú)立且不重復(fù)的試驗(yàn)。30伯努利試驗(yàn)：若隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種對立的結(jié)果A和ā

，則稱E為伯努利試驗(yàn)。注：一般以A代表“成功”，ā代表“失敗”。給定P(A)=p,(0<p<1),則P(ā)=1-p,就給出了伯努利試驗(yàn)的所有事件的概率。n重伯努利試驗(yàn)：將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次,稱這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。伯努利概型：n重伯努利試驗(yàn)所對應(yīng)的概率模型稱為伯努利概型。4.伯努利（Bernoul