課件群編條件概率與獨立性

1§1.3條件概率與事件的獨立性§1.3.1條件概率§1.3.2事件的獨立性引例110張抽獎券中有一張有獎，甲乙兩人先后從中隨機抽取一張。(1)乙中獎的概率是多少？(2)甲先抽發(fā)現(xiàn)未中獎，此時乙中獎的概率是多少？§1.3.1條件概率解：(1)由古典概型可知，乙中獎的概率為1/10.(2)由于已知甲先抽發(fā)現(xiàn)未中獎，此時乙抽取的樣本空間中有9個樣本點，有利場合數(shù)仍為1，因此乙中獎的概率為1/9.23在實際應用中，經常需要了解隨機事件A與B之間有無聯(lián)系、影響，如：當B已經發(fā)生后，A再發(fā)生的概率。這就是下面要介紹的“條件概率”P(A|B)

。條件概率引出的背景摸彩的例子：在摸彩活動中，你摸到頭獎(而別人都沒有)的概率是很小的，有概率頭腦的人大多不會對此熱衷。但是，當活動過半以后，大獎仍舊未出時，稍有頭腦的人，積極性都將大增；一旦發(fā)現(xiàn)剩余的總獎金超過了未售彩票總值，就可能有人會將其全買下！ΩOthersYou(Others)A(You)B4引例2試驗E為擲一顆骰子，A=“擲出偶數(shù)點”，B=“擲出2點”。求P(A),P(AB),P(B|A)。解:因樣本空間故因在A發(fā)生的條件下，許多不確定因素已排除，故樣本空間從Ω變?yōu)锳，則條件概率的計算5定義：設兩個事件A、B，若P(A)>0,則稱為事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率。注1：當A=Ω時,條件概率P(B|Ω)就是無條件概率P(B).注2：

條件概率P(B|A)滿足概率公理化定義中的3個條件，因此條件概率P(B|A)也是概率，因此具備概率的一切性質。例如：條件概率的定義6課堂練習試證：(1)(2)若則7課堂練習解答8例1

一批產品100件,有80件正品，20件次品，其中甲生產的為60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生產?，F(xiàn)從該批產品中任取一件，記A=“正品”，B=“甲生產的產品”試計算：解：(樣本空間為)(樣本空間為)例題與解答9例2

10個產品中有7個正品，3個次品，按不放回抽樣，抽取2個。如果已知第一次取到次品，計算第二次又取到次品的概率？解:設{第個取到的是次品},需求出(注:也可用條件概率公式計算)例題與解答10直接壓縮樣本空間用條件概率公式總結：條件概率的計算方法11乘法公式：對于兩個事件A與B,

(1)若P(A)>0，則P(AB)=P(B|A)P(A)；

(2)若P(B)>0，則P(AB)=P(A|B)P(B)。推廣：

(1)當P(AB)>0時，P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)(2)P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1)

（前提：作為條件的事件,其概率大于零。）證明：由于A

AB，故P(A)≥P(AB)>0

P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (注意條件)乘法公式12例3袋中有3個紅球，2個白球。每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球。若從袋中連續(xù)取球4次，試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設Ai為第i次取球時取到白球，i=1,…,4,則例題與解答13例4

設n張彩票中有一張中獎票。(1)已知前k-1人沒中獎，求第k人中獎的概率？(2)求第k人中獎的概率？解：另解：直接用古典概型中獎概率與摸獎順序無關例題與解答14引例一個袋子內裝有10個球，其中紅球7個、黑球3個。每次從中任取一球，連續(xù)兩次。記A＝“第一次取到紅球”；B＝“第二次取到紅球”。求P(B)、P(B|A)和P(B|ā)。解：(1)有放回抽?。篜(B)＝0.7

＝P(B|A)＝P(B|ā)；

(2)無放回抽取：P(B)＝0.7，而P(B|A)＝6/9＝2/3，P(B|ā)＝7/9§1.3.2事件的獨立性15由引例可見,在情形(1)下，P(B)=P(B|A)＝P(B|ā)，說明事件B發(fā)生的概率，不受事件A發(fā)生與否的影響；在情形(2)下，P(B)≠P(B|A),P(B)≠P(B|ā)，說明事件B發(fā)生的概率受到事件A發(fā)生與否的影響。兩個事件獨立性的直觀概念：

當事件B發(fā)生的概率不受事件A發(fā)生的影響，即P(B)=P(B|A)，則事件B與A獨立。1.兩個事件的獨立性16兩個事件獨立性的定義當事件B發(fā)生的概率，不受事件A發(fā)生與否的影響時，即P(B)=P(B|A)，乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A)可以改寫為P(AB)=P(A)P(B)。定義：若兩個事件A、B，滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和B相互獨立。(簡稱A和B獨立)用P(AB)=P(A)P(B)定義獨立性，比用P(A)=P(A|B)適用范圍更廣。理由：后者受P(B)>0限制，而前者不受該條件限制。17有關獨立性的推論1推論1：設A、B為兩個事件，P(B)>0，則A和B獨立的充要條件：P(A)=P(A|B)證明：(充分性)因為P(A)=P(A|B)，所以

P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)。(必要性)由獨立性知,P(AB)=P(A)P(B),而由乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B),則P(A)=P(A|B)。P(A)P(B)=P(A|B)P(B),又因為P(B)>0，所以18推論2：設為兩個事件，則下列四對事件中：

和，

和，

和，

和，只要有一對事件是獨立的，那么其余三對事件也是獨立的。僅證明若獨立，則和也獨立。證明：有關獨立性的推論2其余類似可證。有關獨立性的推論3兩個事件A和Ｂ獨立，不僅事件Ａ的發(fā)生與否不影響事件Ｂ的發(fā)生的概率；而且事件Ｂ的發(fā)生與否不影響事件Ａ的發(fā)生的概率.推論3：設0<P(A)<1，0<P(B)<1，則下面四個等式等價，即其中任何一個成立，另外三個也成立：1920例題與解答例5甲、乙二人分別向目標射擊一次，設甲擊中的概率為0.7，乙擊中的概率為0.8，求甲、乙二人至少有一人擊中的概率.解一：記A=“甲擊中”，B=“乙擊中”，可以認為A、B是獨立事件，A+B則表示至少有一人擊中。

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0.7+0.8－0.56=0.94解二:由A和B獨立可知:和也是獨立的,所以21例題與解答例6有一個均勻四面體，其中有三面分別漆成全紅、全黑、全白色，剩下的一面漆有紅、黑、白三色。隨機投擲一次，記事件A、B、C分別表示底面漆有紅色、黑色、白色。試判斷A與B的獨立性、A與C的獨立性、B與C的獨立性。解:由古典概型，P(A)=P(B)=P(C)=2/4=0.5 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4=0.25 P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，

P(AC)=P(A)P(C)。★

3個事件中任何2個事件都獨立，稱該3個事件兩兩獨立.222.多個事件的獨立性思考：上例中P(C|AB)=P(C)成立否?P(C|AB)≠P(C)表明事件C發(fā)生的概率受到其余兩個事件同時發(fā)生的影響。因此， 在涉及兩個以上的多個事件的相互獨立時，還應要求任何幾個事件發(fā)生與否都不影響其余事件的概率.上例中P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，因此A、B、C雖然兩兩獨立，但是不相互獨立。23多個事件相互獨立的定義定義：設A1,A2,…,An為n個事件，若對于正整數(shù)m(2≤m≤n)以及1≤i1<i2<…<im≤n,都有

P(Ai1Ai2…Aim)=P(Ai1)

P(A

i2)

…P(Aim),則稱事件A1,A2,…,An為相互獨立的。當m=2時，稱事件A1,A2,…,An為兩兩獨立。n個事件相互獨立不同于n個事件兩兩獨立。 在例6中，3個事件兩兩獨立，但不相互獨立。在很多實際應用中，判斷一些事件的相互獨立性，不是利用定義計算，而是根據(jù)問題的實際意義分析確定。24多個事件相互獨立的直觀解釋直觀性定義：設A1,A2,…,An為n個事件，若它們中任何一個事件發(fā)生的概率都不受其余某一個或某幾個事件發(fā)生與否的影響，則稱事件A1,A2,…,An是相互獨立的。推論1：設n個事件A1,A2,…,An是相互獨立，則P(A1A2…An)=P(A1)

P(A2)

…P(An)推論2：設n個事件A1,A2,…,An是相互獨立，則它們中的任意一部分換成各自事件的對立事件后，所得的n個事件也是相互獨立的。25例題與解答例7

甲、乙、丙三人在同一時間分別破譯某一個密碼，設甲譯出的概率為0.8，乙譯出的概率為0.7，丙譯出的概率為0.6，求密碼能譯出的概率？解:A=“甲譯出密碼”,B=“乙譯出密碼”,C=“丙譯出密碼”,D=“密碼被譯出”,顯然A、B、C相互獨立，D=A+B+C，26例題與解答例8

甲、乙、丙三部機床獨立工作，在同一段時間內它們不需要工人照顧的概率分別為0.7，0.8，0.9，求在這段時間內，最多只有一臺機床需要照管的概率？解：設A1,A2,A3分別表示在這段時間內，甲、乙、丙機床需要照管，Bi表示在這段時間內，恰有i臺機床需要照管,i=0,1。顯然，A1,A2,A3相互獨立，B0與B1互不相容,

所以27課堂練習1.設A、B、C是三個相互獨立的隨機事件,且0<P(C)<1,則在下列給定的四對事件中不相互獨立的是()解:由于A、B、C是三個相互獨立的隨機事件,那么其中任意兩個事件或其對立事件的和、差、交與另一事件或者其對立事件是相互獨立的，根據(jù)這一性質，只有B是不成立的。282.設A、B、C三個事件兩兩獨立，則A、B、C相互獨立的充分必要條件是()

A.A與BC獨立 B.AB與A+C獨立

C.AB與AC獨立 D.A+B與A+C獨立解:選項B、C、D的兩個事件中都出現(xiàn)事件A，因此都不可能獨立。因此考察選項A,如A與BC獨立，則P(ABC)=P(A)P(BC)但A、B、C兩兩獨立，因此P(BC)=P(B)P(C)因此P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，即A、B、C相互獨立，反之亦然。因此，應填選項A。課堂練習293.試驗的獨立性回顧隨機事件的獨立性試驗的獨立性

直觀定義：若有n個試驗E1,E2,…,En,每個試驗的每個結果都是一個事件。若E1的任一事件與E2的任一事件，…，與En的任一事件相互獨立，稱E1,E2,…,En相互獨立。若這n個試驗還是相同的，則稱其為n重獨立重復獨立試驗。例如：n次有放回摸球是n次重復獨立試驗；n次無放回摸球是n個相互不獨立且不重復的試驗。30伯努利試驗：若隨機試驗E只有兩種對立的結果A和ā

，則稱E為伯努利試驗。注：一般以A代表“成功”，ā代表“失敗”。給定P(A)=p,(0<p<1),則P(ā)=1-p,就給出了伯努利試驗的所有事件的概率。n重伯努利試驗：將伯努利試驗獨立地重復n次,稱這n次試驗為n重伯努利試驗。伯努利概型：n重伯努利試驗所對應的概率模型稱為伯努利概型。4.伯努利（Bernoul