2022-2023學(xué)年陜西省西安市高一年級(jí)下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年西安市高一（下）

期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

1.復(fù)數(shù)z=—!—（i為虛數(shù)單位），則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知α,b為兩條不重合的直線，a,一為兩個(gè)不重合的平面，其中正確的命題為（）

A.a//a,buana〃bB.a√a,b//a=>a//b

C.a<Za,bua,a//ha//aD.6uα,a//β//β

3.已知向量5=（x,l）,?=（2,-1）,若+L（I—2B）,則實(shí)數(shù)X=（）

12

A.2B.——C.-2或4D.4

2

4.如圖，正方形的邊長為1,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）

A.2+3√2B.8C.6D.2+2√3

5.復(fù)數(shù)Z滿足IZI=I,則∣zTT∣的最大值為（）

A.√2-1B.1

.已知中，（強(qiáng)+前）％=ABAC百，則此三角形為（）

64/8C?0,R+R

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

7.在《九章算術(shù)?商功》中將上、下底面均為正方形的正棱臺(tái)稱為方亭，在方亭Z8CQ-44G4中，

28

方亭的體積為《，則側(cè)面的面積為（）

AB=2A↑B}=4,

A.3√2B.√7C.2近D.3√ΓT

8.如圖：正方體ZBCZ）-GA的棱長為2,E為。2的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作正方體截面使其與平面4EG平

行，則該截面的面積為（）

A.2√3B.2√6C.4√6D,4√3

二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題3分，共12分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得1分，有選錯(cuò)的得O分.）

9.下列說法中正確的是（）

一一r13、

A.向量C]=（2,-3）,e1=不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

124J

B.非零向量4,b,滿足,卜W且α與B同向，則a＞坂

C.對(duì)于任意向量α,b.必有k+3?卜|+忖

D.對(duì)于任意向量G與B,不等式恒成立

10.下列命題中的真命題是（）

A.設(shè)Z],z2是復(fù)數(shù),若IZI-Z2∣=0,則Z]=Z2

B.設(shè)Z1,Z2是復(fù)數(shù)，若Z]=Z2,則Zl=Z2

C.若Z為復(fù)數(shù)，則T=Z?

D.已知"?，〃為實(shí)數(shù)，l—i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于X的方程χ2-mχ+,=0的一個(gè)根，則加+〃=4

IL在棱長為2的正方體/8C?！?RCQl中，AC與BD交于點(diǎn)O,貝IJ（）

A.AD1//平面BOC1

2

B.三棱錐C—8。G的體積為一

'3

c.三角形CoB是銳角三角形

D.三棱錐C1-ABC的四個(gè)面都是直角三角形

12.下列命題中正確的是（）

A.用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)

B.圓柱形容器底半徑為5cm,兩直徑為5cm的玻璃球都浸沒在容器的水中，若取出這兩個(gè)小球，則容器內(nèi)水

面下降的高度為^cm

3

c.已知圓錐的母線長為io,側(cè)面展開圖的圓心角為也，則該圓錐的體積為必叵乃

53

D.已知三棱錐Z-SCD的所有棱長均為2,若球。經(jīng)過三棱錐/-8Co各棱的中點(diǎn)，則到。的表面積為4萬

三、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分.）

13.已知平面向量G,B滿足同=2,同=1,且HG則￡與否的夾角為.

14.在銳角C中，角48所對(duì)的邊長分別為a、b,若2。SinB=阮，則角/等于.

15.設(shè)i為虛數(shù)單位，則l+i+i2+i3+???+4°=.

16.正四棱錐S-ZBCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為J5,點(diǎn)S、A.B、C、。都在同一個(gè)球面上，則該球的體

積為.

17.如圖所示，正方體［8CZ）-4AG2的棱長為2,E、尸分別為44,48的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是正方體表面上的

動(dòng)點(diǎn)，若GP〃平面CDEE,則點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡長度為.

18.在4/8C中，已知角4B,C所對(duì)的邊分別為a,h,c,若9〃+6bccos∕=11c?,則角8的最大值為

四、解答題：（本題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

19.（10分）（1）關(guān)于X的方程2/一（2i—l）x+α-i=0（i是虛數(shù)單位）有實(shí)根，求實(shí)數(shù)”的值.

（2）復(fù)數(shù)2=（m2_加_6）+（2/_5._31，若Z為純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），求實(shí)數(shù)m的值.

20.（10分）如圖：在正方體NBC。一4臺(tái)CQl中，M為的中點(diǎn).

(1)求證：BDl//平面AMC；

(2)在線段CG上是否存在一點(diǎn)M使得平面ZMC〃平面BNR,說明理由.

21.(10分)如圖，正三棱錐％-Z8C是某正方體的一部分，其所有頂點(diǎn)都是原正方體的頂點(diǎn)，已知

AB=BC=AC=2,MA=VB=VC=血，點(diǎn)、M,N分別為朋aBC的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)，沿

三棱錐P-Z8C表面爬行到點(diǎn)N,求：

(1)該三棱錐憶-/BC的體積;

(2)螞蚊爬行的最短路線長.

22.(10分)如圖，一塊三角形鐵片Z8C,AZBC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c

sin25+sin2c=sin?N-6sin5sinC.

(1)求N3/C大小.

(2)若ZB=4,^C=4√3,現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)￡>,且/0=1,/胡。=工.如果

6

過點(diǎn)。作一條直線分別交/8,/C于點(diǎn)E,F,并沿直線EF裁掉A4E產(chǎn)，求剩下的四邊形EFCB面積的最

大值.

參考答案

11.

1.因?yàn)閺?fù)數(shù)Z----------1

1+i(l+i)(l-i)222

則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限為第四象限，故選：D.

2.0,6為兩條不重合的直線，α,￡為兩個(gè)不重合的平面，

對(duì)于A,a//abuαnQ與b平行或異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,alla、6〃an。與人相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由線面平行的判定定理得：Qaa,bua,a〃bna〃a,故C正確;

對(duì)于D,bua,a//B=b//§或buB、故D錯(cuò)誤.故選：C.

3.:向量萬二(X,1),b=(2,-1),(5+B)J_(2—23)，

Λ(a+b?(a-2b^=a2-a-b-2b2=(x2+l)-(2x-l)-2×5=0,

則x=4或-2,故選：C.

4.B.

5.設(shè)z=a+bi,a,b∈R,

?.[z∣=1，

22

Λa+b=lf表示以(0,0)為圓心，1為半徑的圓,

∣z-l-i∣表示單位圓上的點(diǎn)與(1,1)距離之和的最大值，即原點(diǎn)與(1』)距離加半徑，

則∣z-1一i∣的最大值為√(1-O)2+(I-O)2+1=√Σ+1.故選：D.

6.設(shè)M為ZC中點(diǎn)，貝M或+沅)?就=2兩.就=0,

所以兩j.就，即aZ8C為等腰三角形，

ABAC

R+R=v?，

ABAC

H+R

2、2

ABAC

所以“B-2+2C°S（疵硝=3,

IMJ〔園J園園

所以cos（而,就）=；,可得Z=60。，

綜上可知三角形為等邊三角形.

故選：B.

28

7.設(shè)方亭的高為人因?yàn)??=244=4,方亭的體積為一，

3

所以憶=g（22+42+g7激7）x4=g,解得/7=1,如圖,

過4作4EL/8，垂足為￡，連接∕c,4G，過4作4尸?L∕c,垂足為R

易知四邊形ACCxAx為等腰梯形，且ZC=4√Σ,A1C1=2√2,AF=42,AE=\,

22

AAt=y∣AiF+A=√3,

2

因?yàn)閭?cè)面ABBlAl為等腰梯形，所以4E=y∣AA[-AE=√3≡T=√2,

所以側(cè)面的面積為3（力8+44>4石=3底.故選：A.

8.B.

一,、一（13、---—

9.對(duì)于A,因?yàn)橄蛄縬=（2,—3）,C2=一一，所以e∣=4e?,e∣、e2共線，不能作為一組基底，選項(xiàng)A

、24y

正確；

對(duì)于B,因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻模荒鼙容^大小，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,根據(jù)向量加法的幾何意義知，對(duì)于任意向量Z,必有歸+.4同+忖，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于C,根據(jù)平面向量的數(shù)量積Z?B=BMcosO,且CoSe≤1,所以對(duì)于任意向量Z,b,必有晨唱而

選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

10.對(duì)于A,B-Z2∣=0,則Z]=Z2,故A正確；

對(duì)于B,zx=Z2,

Zl與Z2互為共枕復(fù)數(shù)，即I=Z2,故B正確；

對(duì)于C,不妨設(shè)z=l+i,

則z=1-i,

Z2=2i,?=-2i,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于O,1-i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于X的方程Y-MX+〃=O的一個(gè)根，

則1+i也是關(guān)于X的方程Y-〃吠+〃=0的一個(gè)根，

1+i+1—i=加

解得m=n=2,

(l-i)(l+i)=π

故加+“=4,故D正確.故選：ABD.

11.ABD.

12.BC.

13.設(shè)。，6夾角為a,則由平面向量數(shù)量積的定義可得CoSa=告喜

H-W

因?yàn)橥?2,W=l,α?6=√3,

√3

所以CoSa=

T

因?yàn)?≤a<π,

所以α=工

6

14.利用正弦定理化簡已知等式得：2sinZsin8=Gsin8,

Vsinβ≠0,

???si"=g

2

`:A為銳角，

.?.4=60°.

15.l+i+i2+i3+???+i'°

=l+(i-l-i+l)+(i-l-i+l)+i-l=l+i-l

=i,

16.正四棱錐S-ZBCO的底面邊長和各側(cè)棱長都為√2,

點(diǎn)S、A.B、C、。都在同一個(gè)球面上，

4yr

則該球的球心恰好是底面ZBCO的中心，球的半徑是1,體積為——.

3

17.如圖所示，分別取44，6片的中點(diǎn)Λ/,N,連接G/，CiN,MN,MF,EN.

Y點(diǎn)下為線段的中點(diǎn)，.?.四邊形CpNC是平行四邊形，

：.C、M〃CF,而GΛ∕a平面CnEE,CFU平面CDIEF,

.?.C∣Λ∕〃平面CAE

同理可得CN〃平面CnEP,而C∣Λ∕Γ∣C∣N=G,

,

..平面C1NM//平面CDiEF,

.?.點(diǎn)尸在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為,

其長度=MyV+C∣N+GΛ∕=Jχ2√Σ+2x√?TF=0+26，

故答案為：＞∕2+2?[s.

18.由余弦定理COSA=6—一,代入9〃+6bccos4=11/,得9〃+3(〃+/—/)=ιk2,

2bcv)

整理得)?2=^(3α2+8c2),

31

—a2+-C2

則CosB=三三43

2ac2ac

當(dāng)僅當(dāng)9/=4（?時(shí)取“=”

由因?yàn)?∈（0,%）,所以B≤g,

π

所以角8的最大值為上.

3

TT

故答案為：一

3

19.(1)2x2-(2i-l)x+a-i=0,

則2/+χ+α+(-2x-l)i=O,

Y關(guān)于X的方程2χ2一⑵—I）》+。一i=0G是虛數(shù)單位）有實(shí)根,

2χ1+X+<7=O,,

，解τz得0α=0.

-2x-l=0

(2)2=加2一加一6）+（2加2_5加一3）i,Z為純虛數(shù),

m"-w-6=O“口C

則,解得m=-2,

2加~-5m-3≠0

故實(shí)數(shù)機(jī)的值為一2.

20.證明：（1）連結(jié)8。交ZC于。，連結(jié)M。,

?.?/8Cr>-4與￡2為正方體，底面CQ為正方形，

：.O為BD的中點(diǎn),

?.?"為的中點(diǎn)，在ADBDjHOM是4D82的中位線,

所以O(shè)M〃B',

又OΛ∕u平面NAlC,^。2平面力”。，

：.BDl//平面AMC；

解：（2）CG上的中點(diǎn)N即滿足平面ZMC〃平面BNDI，

:N為Ca的中點(diǎn)，M為Z）A的中點(diǎn)，.?.CN"Mp,且CN=MDI,

：.四邊形CNDiM為平行四邊形，.?.DiN//MC,

,/MCU平面AMC,D1N（2平面AMC,

Z）IN〃平面AMC；

由（1）知BD?∕/平面AMC,

又?：BDlCDIN=DI,

平面AMC//平面BND?.

21.（1）VAB=BC^ACVA=VB=VC=6,

：.VA2+VB2AB2,VB2+VC2=BC2,VA1+VC2AC2,

：.VAVVB,VBVVC,VAVVC,

?.?ΓzsnJZC=P，???"?L平面P8C，

.?.三棱錐的體積為Vv_ABC=小c=Sk以=3Jχ0χ√∑χ√Σ=卓

（2）情況一，如圖，連接MN,線段MN的長度即螞蟻爬行的最短路線長，

△MCN中，MC=-,CN=I,ZMCN=-,

24

由余弦定理得=MC2+cM-2MN?CN?cos工，

4

即MN?=2=l-2x辿XlX也，解得9=叵；

2222

情況二，如圖，連接Λ∕N,