預(yù)習(xí)05數(shù)量積的坐標(biāo)表示（六大考點(diǎn)）

預(yù)習(xí)05數(shù)量積的坐標(biāo)表示一、平面向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)向量,（1）數(shù)量積:兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和,即（2）向量垂直:二、平面向量的模與夾角的坐標(biāo)表示（1）向量的模:設(shè),則（2）兩點(diǎn)間的距離公式:若,則（3）向量的夾角公式:設(shè)兩非零向量,a與b的夾角為θ,則考點(diǎn)01數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算的兩條途徑:（1）先將各向量用坐標(biāo)表示,直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算;（2）先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開,再依據(jù)已知計(jì)算.【例1】已知向量滿足，則（

）A． B．0 C．5 D．7【答案】C【分析】先求出，進(jìn)而利用向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：C【例2】在等腰直角中，，，是邊上一點(diǎn)，且，則.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求得.【詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由于，所以，由于，所以，，所以.故答案為：【變式11】若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，則．【答案】4【分析】首先得出是函數(shù)圖象的對稱中心，所以，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以是函?shù)圖象的對稱中心，則為線段的中點(diǎn)，可得，則．故答案為：4.【變式12】已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算公式將原問題轉(zhuǎn)化為的一個充分不必要條件進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，解得，所以使成立的一個充分不必要條件是.故答案為：（答案不唯一）【變式13】已知為內(nèi)一點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用平面向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，設(shè)，則.故答案為：考點(diǎn)02向量模的坐標(biāo)表示【方法點(diǎn)撥】若,則,于是有【例3】在平面向量，中，已知，，如果，那么；如果，那么.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及向量模的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，即，解得；，，由，得，解得：.故答案為：；.【例4】已知向量滿足.(1)求；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）因?yàn)槠叫星蟪?，再根?jù)向量的數(shù)量積求出模長，最后應(yīng)用二次函數(shù)的最值求出模長最值.【詳解】（1）由，得，同相減得，，代入中，得.所以，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)時，取最小值.【變式21】（多選）已知向量，若，則等于（

）A．0 B．－1 C．1 D．－2【答案】CD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出，，由，求出的值，判斷選項(xiàng).【詳解】，，，，又，，解得或.故選：CD【變式22】已知向量，．(1)求的坐標(biāo)及；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)1或【分析】（1）由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算以及模的坐標(biāo)公式即可得解.（2）由向量平行的充要條件列出方程即可得解.【詳解】（1）由題意，，所以，所以.（2）由題意與平行，所以當(dāng)且僅當(dāng)，化簡得，解得，即實(shí)數(shù)的值為1或1.【變式23】在直角坐標(biāo)系中，已知，，若，恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，恒成立，將該不等式兩邊平方可得到恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的最值，即可得，從而可得答案.【詳解】由題意可得，，，若，恒成立，則，恒成立，即恒成立，即恒成立，而，時等號成立，故，即，故選：D考點(diǎn)03向量垂直的坐標(biāo)表示【方法點(diǎn)撥】【例5】已知向量，，若，則.【答案】/2.5【分析】由題可得，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】向量，，，又，則，解得.故答案為：【例6】已知為矩形，點(diǎn)在線段上，且滿足，則滿足條件的點(diǎn)有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．4個【答案】C【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，算出坐標(biāo)，由得到，構(gòu)建方程求解即可.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得,因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以可設(shè)，所以,又，所以，可得，解得；，即滿足條件的點(diǎn)P有2個.故選：C.【變式31】已知向量，，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】確定，，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】，，，解得.故選：A.【變式32】（多選）已知為直角三角形，且，則實(shí)數(shù)的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分、和三種情況，根據(jù)向量垂直時數(shù)量積為0，列方程求解即可.【詳解】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，無實(shí)解，綜上可得，或1.故選：AC.【變式33】設(shè)A、B、C、D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，，．(1)若．求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)k的值為.【分析】（1）求出向量坐標(biāo)，再利用相等向量列出方程組，求解作答.（2）求出的坐標(biāo)，再利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，及向量垂直的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，，，，于是，整理得，即有，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，（2）因?yàn)?，所以，，因?yàn)橄蛄颗c垂足，因此，解得，所以實(shí)數(shù)k的值為.考點(diǎn)04向量夾角的坐標(biāo)表示【方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求兩向量夾角的步驟：（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式求出這兩個向量的數(shù)量積；（2）利用計(jì)算出這兩個向量的模；（3）由公式直接求出的值；（4）在內(nèi),由的值求角【例7】設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，得出，從而可得出，再利用向量數(shù)量積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，又，所以，得到，所以，得到，所以，故選：B.【例8】已知點(diǎn)，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)向量夾角為銳角利用數(shù)量積求解.【詳解】因?yàn)?，，與成銳角，所以，解得，當(dāng)與同向時，，即，解得，此時滿足，但與所成角為0，不滿足題意，綜上，與成銳角時，y的取值范圍為.故答案為：【變式41】已知向量，若實(shí)數(shù)滿足，則與的夾角為．【答案】/【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到的坐標(biāo)，從而計(jì)算兩向量的數(shù)量積，由兩向量的數(shù)量積為0得結(jié)果．【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，又，所以，故與的夾角為．故答案為：．【變式42】已知向量，，若非零向量滿足，則取最小值時，的坐標(biāo)為.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)已知列出關(guān)系式，代入坐標(biāo)整理得出.表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最值，求出答案.【詳解】設(shè)，則由，得，所以，所以，即，化得.又，所以.當(dāng)時，取得最小值，此時，即.故答案為：.【變式43】已知向量，向量．(1)若，求與的夾角；(2)若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到與的夾角；（2）根據(jù)與的夾角為鈍角得到且不反向共線，然后求即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，與的夾角為.（2）因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，解得，當(dāng)與反向共線，即時，，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)05投影向量的坐標(biāo)表示【方法點(diǎn)撥】將已知量代入在方向上的投影向量公式(是與方向相同的單位向量,且)中計(jì)算即可【例9】已知向量，，且，若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程求得參數(shù)，結(jié)合投影的定義，可得答案.【詳解】，故，解得，所以，則在方向上的投影向量為.故選：A.【例10】設(shè)向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的知識列式，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，，向量在向量上的投影向量：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A【變式51】已知非零向量，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)已知求出.結(jié)合已知推得，求出，然后即可根據(jù)投影向量得出答案.【詳解】由已知可得，.因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以，，所以，向量在向量方向上的投影向量為，坐?biāo)為.故答案為：.【變式52】向量，，那么向量在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、投影向量的計(jì)算公式即可求解．【詳解】因?yàn)?，，所以，則在上的投影向量的模為，則在上的投影向量為.故選：A．【變式53】已知，，為，的夾角，且，則在上的投影向量的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由投影向量的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，則，解得，則．考點(diǎn)06數(shù)量積的坐標(biāo)表示與三角函數(shù)的結(jié)合【例11】已知向量，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、夾角公式求解.【詳解】，，，，，.故選：A【例12】已知向量，，若，則（

）A． B．1 C．或1 D．【答案】C【分析】結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和的平方關(guān)系和切化弦即可求解.【詳解】，則，即，當(dāng)時，即，則，結(jié)合，解得或者，結(jié)合檢驗(yàn)得；當(dāng)時，滿足題意.故選：C【變式61】已知點(diǎn)，若，則.【答案】【分析】由向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，即，所以，即，所?故答案為：.【變式62】（多選）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．不存在，使得 B．當(dāng)時，C．對任意，都有 D．當(dāng)時，在方向上的投影向量的模為【答案】ABD【分析】根據(jù)向量間運(yùn)算與三角恒等變換逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，若，則有不存在，故A正確；對于B，若，則，故B正確；若，存在，故C不正確；其中所以，，故D正確；故選：ABD【變式63】（多選）已知向量，，以下結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】BD【分析】由向量垂直、平行、數(shù)量積、模長的坐標(biāo)表示列方程或不等式，結(jié)合三角恒等變換及正余弦型函數(shù)的性質(zhì)求值或范圍，判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】A：若，則，，則，所以，錯；B：若，則，而，對；C：若，則，故，，則或，所以或，錯；D：若，則，可得，，所以，故，對；故選：BD一、單選題1．已知向量滿足，，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出的值，再結(jié)合，即可求得答案.【詳解】由題意知向量滿足，，故，則，故選：A2．設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C．10 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，列出方程求得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由向量，，因?yàn)?，可得，解得，所以，所?故選：D.3．已知向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的定義運(yùn)算求解.【詳解】，又，所以在向量上的投影向量為.故選：A.4．已知是的邊上的高，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，表達(dá)出，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出，進(jìn)而得到答案.【詳解】設(shè)，則，由得，解得，故故選：B5．在等腰直角三角形ABC中，，面積為1，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積及模的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，，，所以，如圖，以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，，，所以，，，，，所以，所以選項(xiàng)ABD正確，C錯誤.故選：C6．在三角形中，，若為邊上的一個動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，建立合適的直角坐標(biāo)系，從而利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因?yàn)槿切沃校?，所以是邊長為2的等邊三角形，則以為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，則，設(shè)，則，故，顯然當(dāng)時，取得最小值，故選：B.二、多選題7．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用坐標(biāo)計(jì)算可判斷A；利用坐標(biāo)計(jì)算是否得0可判斷B；由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；利用向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D.【詳解】對于A，，所以，故A錯誤；對于B，，所以，所以，故B正確；對于C，，可得，故C錯誤；對于D，，所以，故D正確.故選：BD.8．已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．若，則的值為B．若，則的值為C．若，則與的夾角為銳角D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量共線和垂直的的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積和向量的模的坐標(biāo)表示及向量夾角的坐標(biāo)表示一一判斷即可．【詳解】對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，故B正確；對于C：當(dāng)時，與同向，此時與的夾角為，故C錯誤；對于D：若，則，即，即，解得，當(dāng)時，，，，，顯然，當(dāng)時，，，，，此時，故D錯誤．故選：AB．9．已知向量，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】由平行向量的坐標(biāo)表示可判斷A；由投影向量的計(jì)算公式可判斷B，C；由向量的模長公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，若，則，則，所以A錯誤；對于B，在方向上的投影向量為，故B正確；對于C，，所以在方向上投影向量的模為：，當(dāng)時，，所以存在，使得在方向上投影向量的模為1，故C正確；對于D，向量，所以，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題10．已知向量，，若，則.【答案】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再利用模的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.【詳解】向量，，由，得，解得，即，，所以.故答案為：11．向量，且，則．【答案】/0.8【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解夾角的余弦作答.【詳解】由，得，即，而，則，即，以的方向分別為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，于是，有，所以.故答案為：12．如圖，在平面四邊