高一數(shù)學北師大版必修1教學教案第四章2-3函數(shù)建模案例

§4.2.3《函數(shù)建模案例》教學設計一、教材分析課題：北京師范大學出版社數(shù)學必修1第四章《函數(shù)應用》第二節(jié)《實際問題的函數(shù)建?！返谌n《函數(shù)建模案例》教學內(nèi)容：數(shù)學建模是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，是數(shù)學學習的本質(zhì)，掌握數(shù)學建模能促使學生用數(shù)學知識表達世界，改造世界。本節(jié)課是在學生掌握了實際問題的函數(shù)刻畫和用函數(shù)模型解決實際問題的基礎(chǔ)上，進一步學習函數(shù)建模案例。本課通過創(chuàng)設問題情境，對問題進行分析、數(shù)學實驗、函數(shù)模型建立與求解、模型的檢驗、練習鞏固、總結(jié)提升，使學生理解和把握函數(shù)建模的一般過程。在解決問題的過程中,使學生領(lǐng)會科學運用信息技術(shù)處理數(shù)據(jù)（例如畫散點圖、解方程組等），將數(shù)學與信息技術(shù)進行整合。二、學情分析學生已經(jīng)掌握了函數(shù)的概念，掌握了二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐步建立應用函數(shù)知識的能力。本課是解決與實際生活密切相關(guān)的數(shù)學問題，學生表現(xiàn)出濃厚的學習興趣，同學們的積極性和主動性都很高。學生良好的學習興趣是培育數(shù)學建模能力的重要基礎(chǔ)。但限于學生們對數(shù)學知識掌握的局限性，且綜合應用意識、應用能力比較弱。函數(shù)建模案例體現(xiàn)的是數(shù)學知識的實際應用，是函數(shù)學習的重要內(nèi)容，而這又是大多數(shù)學生的數(shù)學學習的難點。數(shù)學建模需要正確運用數(shù)學知識解決實際問題，通過數(shù)學建模的學習不斷提高學生的分析問題能力、抽象概括能力，較好的全局運籌能力和局部處理能力，這些要求對學生的學習造成了一定的困難。因此在教學中要循序漸進，同時學生還要掌握基本的信息技術(shù)知識，能利用信息技術(shù)處理一些簡單的數(shù)學問題。三、設計思想課程標準提出高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)其中數(shù)學建模是其重要內(nèi)容，因此課程設置要提供實際背景，反映數(shù)學的應用價值，開展“數(shù)學建?！钡膶W習活動，設立體現(xiàn)數(shù)學某些重要應用的專題課程，使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活的聯(lián)系，促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學應用意識，提高實踐能力。教學過程中要堅持以學生為主體和教師為主導，引導學生積極主動、勇于探索的學習方式。在教學過程中科學利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)相應的教學內(nèi)容，同時鼓勵學生恰當運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)，以達到信息技術(shù)與數(shù)學課程的有機整合。本課是通過做實驗收集數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行分析、處理，進而建立數(shù)學模型，進行問題解決的，所以應采用“實驗—建?！钡慕虒W方式。四、三維目標根據(jù)新課程標準并結(jié)合學生實際，確定本節(jié)課的三維目標如下：1.知識和技能（1）學會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，能夠建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型并利用已知函數(shù)性質(zhì)使問題得以求解，學會對函數(shù)模型的評價分析，掌握數(shù)學建模的一般過程。（2）通過把實際問題抽象為數(shù)學問題，逐步把數(shù)學知識應用到生產(chǎn)生活的實際中去，形成應用數(shù)學的意識，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。2.過程和方法（1）將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決，學生自主經(jīng)歷和體驗函數(shù)建模的的過程。（2）通過運用信息技術(shù)畫散點圖、解方程組等，使學生認識到信息技術(shù)在解決數(shù)學問題過程中所起到的作用。3.情感態(tài)度和價值觀（1）體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，體驗函數(shù)與世界的密切聯(lián)系，體驗函數(shù)在刻畫現(xiàn)實問題中的作用。（2）通過實際問題的解決，培養(yǎng)學生科學的態(tài)度、合作的意識和實事求是的精神。五、教學的重點和難點重點：把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型并求解。難點：是如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，恰當?shù)剡x擇數(shù)學模型，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言。六、教學過程教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖教師活動學生活動課題引入敘述：現(xiàn)在很多家庭都以燃氣作為燒水炒菜的燃料,節(jié)約用氣是非?，F(xiàn)實的問題。學生相互間討論家庭生活用氣情況。提出實際情境，引出問題提出問題提出問題：以燒開一壺水為例，怎樣燒最省燃氣？答：燒開一壺水所用燃氣最省，就是使用燃氣最少。而燒開一壺水所用燃氣量應該與燃氣灶上控制燃氣流量的旋鈕的位置有關(guān)。提出問題，培養(yǎng)學生分析問題的能力。敘述：同學們分析的有道理。我們現(xiàn)在要研究的問題是旋鈕在什么位置時燒開一壺水所用的燃氣量最少？提問：那么燒開一壺水所用燃氣量與旋鈕位置能建立起什么關(guān)系呢？答：燒開一壺水所用燃氣量與旋鈕位置應該能建立起函數(shù)關(guān)系。問：那么旋鈕位置這個量用什么數(shù)學知識來描述比較恰當？答：可用旋鈕轉(zhuǎn)角的大小來表示。分析問題分析推理：設想，當旋鈕轉(zhuǎn)角非常小時，燃氣流量也非常小，甚至點火后的熱量不足以將一壺水燒開，如果一直燒下去，燃氣量將無止境；隨著旋鈕轉(zhuǎn)角增大，即燃氣流量增大，燒開一壺水所用燃氣量會有所在減??；當旋鈕轉(zhuǎn)角很大時，燃氣流量會很大，但燃氣不一定充分燃燒，過分的熱量不能充分作用于水壺，會產(chǎn)生浪費，燒開一壺水所用的燃氣量也會比較大。思考中了解燃氣灶的特性，為后面的試驗作理論上的鋪墊。問：燃氣灶上旋鈕位置與火力的關(guān)系嗎？答：燃氣灶上旋鈕轉(zhuǎn)角越大火力越大，當旋鈕轉(zhuǎn)角為90°時火力最大。敘述：在做試驗時旋鈕轉(zhuǎn)角不妨選擇為18°、36°、54°、72°、90°。觀察投影、思考中數(shù)學實驗數(shù)據(jù)敘述：我們做試驗時記錄相關(guān)數(shù)據(jù)如下位置燃氣量（m3）18°0.13036°0.12254°0.13972°0.14990°0.172問：觀察以上數(shù)據(jù)，你能得出旋鈕轉(zhuǎn)角為多少時燒開一壺水所用燃氣最小嗎？答：僅以上述數(shù)據(jù)還不能，因為旋鈕在其它位置時燒開一壺水所用的燃氣量不知道，即最小值不一定出現(xiàn)在已知數(shù)據(jù)中。培育學生實際操作能力和數(shù)據(jù)處理能力。問：那么你能不能根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出任意位置與燃氣量的關(guān)系嗎？答：可以假設以位置為橫坐標，相應燃氣量為縱坐標的點均在某個函數(shù)圖像上，進而求這個函數(shù)的解析，即得到位置與燃氣量的函數(shù)關(guān)系。問：如何選擇這個函數(shù)呢？答：通過畫散點圖，觀察散點的分布特點恰當選擇函數(shù)模型。模型建立與求解作出散點圖如下：問：觀察散點的分布特點，選擇那一種函數(shù)模型比較合理？答：從圖像可以看出二次函數(shù)的圖像與之最接近，可以用二次函數(shù)近似地表示這種變化。滲透數(shù)形結(jié)合的思想，曲線擬合的方法，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納的能力，理解利用函數(shù)模型解決實際問題增強學習數(shù)學的動力。提問：設二次函數(shù)式為，如何求出表達式中的系數(shù)？答：隨機取三對數(shù)據(jù)代入表達式，利用待定系數(shù)法列出方程組即可求得系數(shù)。演示：不妨取(18,0.130)、(36,0.122)、(90,0.172)，得到方程組解得0.00002，0.00147，0.15033所以函數(shù)的解析式為y=0.00002x20.00147x+0.15033理解利用函數(shù)模型解決實際問題，學運用信息技術(shù)解方程組。敘述：由二次函數(shù)性質(zhì)知當時，函數(shù)有最小值（m3），即當旋鈕轉(zhuǎn)角大約為39°時燒開一壺水所用的燃氣量最小。理解利用函數(shù)模型的性質(zhì)解決實際問題模型評價檢驗問：這個函數(shù)模型能反映旋鈕在任何位置時燒開一壺水所用的燃氣量嗎？答：不能。我們知道當旋鈕轉(zhuǎn)角非常小時，其火力不能將一壺水燒開，長時間燃燒的燃氣量卻非常大，這說明貼近縱軸的點的位置就會很高，不在這個二次函數(shù)的圖像上。培養(yǎng)學生通過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，學會檢驗評價的能力。問：那該如何優(yōu)化這個函數(shù)模型？答：我們的試驗是在旋鈕轉(zhuǎn)角18°至90°這個范圍內(nèi)進行的，因此函數(shù)模型只適用旋鈕轉(zhuǎn)角在18°至90°這個范圍，盡可能的多試驗。敘述：同等條件下再做一次試驗，取旋鈕轉(zhuǎn)角為39°位置燒開一壺水，測量實際燃氣用量是否是0.1218m3，如果基本吻合，就可以依此作結(jié)論了。如果相差較大，特別是燃氣用量大于0.122m3時（實驗數(shù)據(jù)中的最小值），說明數(shù)據(jù)選取得不好，可以換另外的數(shù)據(jù)重新計算，然后再檢驗，直至結(jié)果與實際比較接近就可以了。理性思考中培養(yǎng)學生理性的科學的態(tài)度和求真務實的科學精神。練習鞏固練習：某地區(qū)未成年男性體重若超過相同身高未成年男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦。那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？(給出實驗數(shù)據(jù)：經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表)身高（cm）體重（kg）606.13707.90809.999012.110015.0211017.5012017.5013017.5014017.5015017.5016017.5017017.50學生借助信息技術(shù)動手計算進行對比，實際操作懂得函數(shù)建模的過程和