高中數(shù)學(xué)選擇性課時(shí)評(píng)價(jià)2-3圓與圓的位置關(guān)系

十一圓與圓的位置關(guān)系(15分鐘30分)1．已知r>0，圓心O1：x2＋y2＝r2與圓心O2：(x－3)2＋(y－4)2＝(2r＋1)2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0，4)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4)) D．(4，＋∞)【解析】選C.由題意得，(2r＋1)－r<O1O2<r＋(2r＋1)，即r＋1<5<3r＋1，解得eq\f(4,3)<r<4.2．圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線和兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為()A．1B．2C．4D．8【解析】選B.兩圓的公共弦所在直線方程為x－y＋2＝0.與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(－2，0)，(0，2)，所得三角形的面積為eq\f(1,2)×2×2＝2.3．圓：x2＋y2－4x＋6y＝0和圓：x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0【解析】選C.AB的垂直平分線就是經(jīng)過兩圓圓心(2，－3)和(3，0)的直線3x－y－9＝0.4．兩圓交于點(diǎn)A(1，3)和B(m，1)，兩圓的圓心都在直線x－y＋4＝0上，則m＝________．【解析】直線AB與兩圓圓心所在直線垂直，所以eq\f(3－1,1－m)×1＝－1，解得m＝3.答案：35．點(diǎn)P在圓x2＋y2－8x－4y＋16＝0上，點(diǎn)Q在圓x2＋y2＋4x＋2y－11＝0上，求PQ的最大值．【解析】圓x2＋y2－8x－4y＋16＝0，圓心(4，2)，半徑為2；圓x2＋y2＋4x＋2y－11＝0的圓心(－2，－1)，半徑為4.PQ最大值為兩圓圓心距加兩圓半徑之和，即6＋3eq\r(5).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．已知圓C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－4))2＝1和兩點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－m，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m>0))，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7B．4C．5D．6【解析】選D.若∠APB＝90°，則點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，其方程為x2＋y2＝m2.由題意知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1與圓O：x2＋y2＝m2有公共點(diǎn)，所以|m－1|≤OC≤m＋1，易知OC＝5，所以4≤m≤6，故m的最大值為6.2．已知圓C：x2＋y2－8x＋15＝0，直線y＝kx＋2上至少存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P為圓心，半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最小值是()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(5,4)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(5,3)【解析】選A.圓心(4，0)，半徑1.圓心到直線的距離eq\f(|4k－0＋2|,\r(k2＋1))≤2，解得－eq\f(4,3)≤k≤0.所以k的最小值為－eq\f(4,3).3．兩圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0與x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公共切線有______條()A．1B．2C．3D．4【解析】選C.圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0的圓心(2，2)，半徑為1；圓x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圓心(－2，2)，半徑為3.圓心距eq\r(（2＋2）2＋（2－2）2)＝4＝1＋3，所以兩圓外切，公切線有3條．4．已知圓心O：x2＋y2＝4，點(diǎn)P(1，4)，從點(diǎn)P引圓心O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A．x＋4y－4＝0B．x－4y－4＝0C．x＋4y＋4＝0D．x＋4y－8＝0【解析】選A.連接OA，OB，OP(圖略)，由題意可得，OA⊥PA，OB⊥PB，則可得P，A，O，B四點(diǎn)共圓，且PO為該圓的直徑，故該圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋(y－2)2＝eq\f(17,4)與x2＋y2＝4相減，得x＋4y－4＝0，即直線AB的方程為x＋4y－4＝0.【誤區(qū)警示】根據(jù)P，A，O，B四點(diǎn)共圓，轉(zhuǎn)化為兩圓相交弦所在直線比較好．二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．已知圓O1的方程為x2＋y2＝4，圓O2的方程為(x－a)2＋y2＝1，如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值可能是()A．－2B．－1C．1D．3【解析】選BCD.由題意得兩圓內(nèi)切或外切，所以O(shè)1O2＝2＋1或O1O2＝2－1，所以|a|＝3或|a|＝1，所以a＝±3或a＝±1.6．已知圓C1：x2＋y2＝r2和圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列結(jié)論正確是()A．x1＋x2＝a，y1＋y2＝bB．2ax1＋2by1＋a2＋b2＝0C．2ax2＋2by2－a2－b2＝0D．a(chǎn)(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0【解析】選ACD.因?yàn)閳AC1：x2＋y2＝r2和圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的兩點(diǎn)A，B，所以兩圓方程相減可得直線AB的方程為a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by－a2－b2＝0，分別把點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入2ax＋2by－a2－b2＝0得：2ax1＋2by1－a2－b2＝0，2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以選項(xiàng)C正確，上面兩式相減得：2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以選項(xiàng)D正確，因?yàn)閮蓤A的半徑相等，所以由圓的性質(zhì)可知，線段AB與線段C1C2所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(0＋a,2)，eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(0＋b,2)，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以A正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為________．【解析】線段AB的中垂線就是兩圓圓心連線，所以方程為x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝08．已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得PA⊥PB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【解析】因?yàn)镻A⊥PB，所以O(shè)，A，P，B構(gòu)成正方形，OP＝eq\r(2).以O(shè)為圓心，eq\r(2)為半徑作圓，與圓M有交點(diǎn)，所以0≤eq\r(a2＋22)≤2eq\r(2)，解得a∈[－2，2].答案：[－2，2]四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相交于A，B兩點(diǎn)．(1)求直線AB的方程，并求出AB；(2)在直線AB上取點(diǎn)P，過P作圓C1的切線PQ(Q為切點(diǎn))，使得PQ＝eq\r(15)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】(1)兩圓方程相減得4x－8y＋16＝0即x－2y＋4＝0，此即為直線AB的方程，由題意知：圓C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，圓心到直線的距離是eq\r(5)，AB＝2eq\r(5).(2)設(shè)P(2y－4，y)，eq\r(15)＝PQ＝eq\r(PCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(（2y－4－1）2＋（y＋5）2－50)，整理得y2－2y－3＝0，解得y＝－1，y＝3，從而P(－6，－1)或(2，3).10．已知以C1為圓心的圓C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25及其上一點(diǎn)A(2，4).(1)設(shè)圓C2與x軸相切，與圓C1外切，且圓心C2在直線x＝6上，求圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓C1相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程．【解析】(1)因?yàn)閳A心C2在直線x＝6上，所以可設(shè)C2(6，n)，因?yàn)閳AC2與x軸相切，則圓C2為(x－6)2＋(y－n)2＝n2.又圓C2與圓C1外切，圓C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25.則|7－n|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n))＋5，解得n＝1.所以圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)因?yàn)橹本€l∥OA，所以直線l的斜率為eq\f(4－0,2－0)＝2.設(shè)直線l的方程為y＝2x＋b，則圓心C1到直線l的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(12－7＋b)),\r(22＋12))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5＋b)),\r(5)).則BC＝2eq\r(52－d2)＝2eq\r(25－\f(（5＋b）2,5))，又BC＝OA＝2eq\r(5)，所以2eq\r(25－\f(（5＋b）2,5))＝2eq\r(5)，解得b＝5或b＝－15，即直線l的方程為：2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.【創(chuàng)新遷移】已知圓C1：(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9，點(diǎn)M，N分別是圓C1、圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PN－PM的最大值是()A．2eq\r(5)＋4 B．9C．7 D．2eq\r(5)＋2【解析】選B.作圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝1.PN－PM≤(PC2＋3)－(PC1－1)＝PC2－PC1＋4＝PC2－PC3＋4≤C2C3當(dāng)點(diǎn)P為x軸與直線C2C3：4x－3y－1＝0的交點(diǎn)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))時(shí)取得等號(hào)．【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM＋PN的最小值為()A．6－2eq\r(2)B．5eq\r(2)－4C．eq\r(17)－1D．eq\r(17)【解析】選B.依題意可知C1(2，