第07章 時變電磁場(1)

第七章時變電磁場主要內容位移電流，麥克斯韋方程，邊界條件，位函數，能流密度矢量，正弦電磁場，復能流密度矢量。7-1位移電流7-2麥克斯韋方程7-3時變電磁場的邊界條件7-4標量位與矢量位7-5位函數方程的求解7-6能量密度與能流密度矢量7-7唯一性定理7-8正弦電磁場7-9麥克斯韋方程的復數形式7-10位函數的復數形式7-11能流密度與能流密度矢量的復數形式習題7-4、7-8、7-9、7-12法拉第電磁感應定律說明：隨時間變化的磁場會激發(fā)產生電場。那么隨時間變化的電場是否也會激發(fā)產生磁場呢？麥克斯韋針對將安培環(huán)路定理直接應用到時變電磁場時出現的矛盾，提出了位移電流假說，對安培環(huán)路定理進行了修正，從而揭示了隨時間變化的電場也能激發(fā)產生磁場。

電磁感應定律

——揭示時變磁場產生電場

位移電流

——揭示時變電場產生磁場重要結論：

在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一的電磁場。在時變情況下，安培環(huán)路環(huán)路是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時間變化的磁場能產生電場，那么隨時間變化的電場是否會產生磁場？靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時發(fā)生了變化，即這不僅是方程形式的變化，而是一個本質的變化，其中包含了重要的物理事實，即時變磁場可以激發(fā)電場。（恒定磁場）

（時變場）

7-1位移電流1.全電流定律非時變情況下，電荷分布隨時間變化，由電流連續(xù)性方程有

解決辦法：對安培環(huán)路定理進行修正由而由發(fā)生矛盾在時變的情況下不適用將修正為：矛盾解決

時變電場會激發(fā)磁場全電流定律：——微分形式——積分形式

全電流定律揭示不僅傳導電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關系。2.位移電流密度電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質中，無傳導電流，但有位移電流；在理想導體中，無位移電流，但有傳導電流；在一般介質中，既有傳導電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導電流不同，它不產生熱效應。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關重要的一步，它揭示了時變電場產生磁場這一重要的物理概念。例1

已知海水的電導率為4S/m，相對介電常數為81，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導電流振幅的比值。解：設電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導電流的振幅值為故式中的k

為常數。試求：位移電流密度和電場強度。例

2

自由空間的磁場強度為

解

自由空間的傳導電流密度為0，故由式,得

例

3

銅的電導率、相對介電常數。設銅中的傳導電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內，銅中的位移電流與傳導電流相比是可以忽略的。通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴展到極高頻段（f=30GHz～300GHz），從上面的關系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為而傳導電流密度的振幅值為7-2麥克斯韋方程麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場的基本方程

7.2.1

麥克斯韋方程組的積分形式7.2.2

麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導電流和變化的電場都能產生磁場，是全電流定律麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產生電場，是電磁感應定律麥克斯韋第三方程表明磁場是無散場，磁力線總是閉合曲線，是磁通連續(xù)性原理麥克斯韋第四方程，表明電荷產生電場，是高斯定律時變電磁場是有旋有散場，在無源區(qū)則是有旋無散場。電場線和磁場線互相交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。從第一、二兩方程還看出，時變電場和磁場在空間是處處互相垂直的。7.2.3媒質的本構關系

代入麥克斯韋方程組中，有：限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質）為完整描述電磁場的特性，還必須要有反映媒質的本構關系的方程和電荷及電流關系的方程在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關聯，構成一個整體——電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個分量。在無源空間中，兩個旋度方程分別為可以看到兩個方程的右邊相差一個負號，而正是這個負號使得電場和磁場構成一個相互激勵又相互制約的關系。當磁場減小時，電場的漩渦源為正，電場將增大；而當電場增大時，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。小結：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現象電磁場(EM)麥克斯韋方程組時變場靜態(tài)場緩變場迅變場準靜電場(EQS)準靜磁場(MQS)靜磁場(MS)靜電場(ES)恒定電場(SS)

解：(1)

導線中的傳導電流為忽略邊緣效應時，間距為d的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1)

證明電容器兩極板間的位移電流與連接導線中的傳導電流相等；(2)求導線附近距離連接導線為r

處的磁場強度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接與閉合線鉸鏈的只有導線中的傳導電流，故得

(2)

以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為

解：

是電磁場的場矢量，應滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定

k

與ω

之間所滿足的關系，以及與

相應的其它場矢量。對時間

t

積分，得

例2

在無源的電介質中，若已知電場強度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數。試確定k與ω

之間所滿足的關系，并求出與相應的其它場矢量。由以上各個場矢量都應滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式

愛因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理學演變”一書中關于麥克斯韋方程的一段評述：“這個方程的提出是牛頓時代以來物理學上的一個重要事件，它是關于場的定量數學描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多。在簡單的形式下隱藏著深奧的內容，這些內容只有仔細的研究才能顯示出來，方程是表示場的結構的定律。它不像牛頓定律那樣，把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯系起來，而是把此處的現在的場只與最鄰近的剛過去的場發(fā)生聯系。假使我們已知此處的現在所發(fā)生的事件，藉助這些方程便可預測在空間稍為遠一些，在時間上稍為遲一些所發(fā)生的事件”。麥克斯韋方程除了對于科學技術的發(fā)展具有重大意義外，對于人類歷史的進程也起了重要作用。正如美國著名的物理學家弗曼在他所著的“弗曼物理學講義”中寫道“從人類歷史的漫長遠景來看──即使過一萬年之后回頭來看──毫無疑問，在十九世紀中發(fā)生的最有意義的事件將判定是麥克斯韋對于電磁定律的發(fā)現，與這一重大科學事件相比之下，同一個十年中發(fā)生的美國內戰(zhàn)（1861-1865）將會降低為一個地區(qū)性瑣事而黯然失色”。處于信息時代的今天，從嬰兒監(jiān)控器到各種遙控設備、從雷達到微波爐、從地面廣播電視到太空衛(wèi)星廣播電視、從地面移動通信到宇宙星際通信、從室外無線局域