2023年高考數(shù)學(xué)真題及解析合集

2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合〃={-2,-l,0,1,2},7√={X∣X2-X-6>0},則MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

1-i_

2.已知Z=則Z-Z=()

2+21

A.一iB.iC.0D.1

3.已知向量Z=(Ll)I=(L-I),若(￡+4)?Lg+〃5)，則()

A.λ+μ=?B.4+〃=-1

C.4〃=1D.λμ=-?

4.設(shè)函數(shù)/(x)=2#句在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-8,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+∞)

22

5.設(shè)橢圓G：A+y2=l(a>l)，G：二+/=1的離心率分別為q,e2.若02=J?,則α=

a4

()

?/7

A.?B.√2C.√3D.√6

3

6.過點(diǎn)(0,-2)與圓/+y2-4.丫_1=0相切的兩條直線的夾角為α,則Sina=()

A.1B.巫C.—D.—

444

7.記，為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛叫為等差數(shù)列；乙：｛義4為等差數(shù)列，則()

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.已知Sin(α-夕)=Lcosαsin夕=,，貝IJCOS(2α+2∕)=().

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.有一組樣本數(shù)據(jù)占戶2,…，/，其中為是最小值，%是最大值，則()

A.x2,x3,x4,X5的平均數(shù)等于X∣,X2,…，X6的平均數(shù)

B.%，匕，匕，%的中位數(shù)等于士，*2/、匕的中位數(shù)

C.X2,X3,X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x∣,*2,…，%的標(biāo)準(zhǔn)差

x

D.X2,X3,X4,X5的極差不大于玉,工2,…，?6的極差

10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級

4=20χlg',其中常數(shù)Po(P(I>0)是聽覺下限閾值，P是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源

Po

的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級∕dB

燃油汽車1060-90

混合動力汽車1()50-60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車IOm處測得實(shí)際聲壓分別為P∣,P2,P3,

則().

A.pl≥p2B.p2>IOp3

C.P3=lOOpoD.p∣≤IOOp2

11.已知函數(shù)/(χ)的定義域?yàn)镽,f(χy)=y2f(χ)+χ2f(y),則().

A./(0)=0B./(1)=0

C./(X)是偶函數(shù)D?X=O為/(X)的極小值點(diǎn)

12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽

略不計(jì))內(nèi)的有()

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為L8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0。Im的圓柱體

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

13.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2

門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種(用數(shù)

字作答).

14.在正四棱臺/8CD中，∕8=2,44=I,∕4=√Σ,則該棱臺的體積為

15.已知函數(shù)/(x)=CoSOX-1(。>0)在區(qū)間[0,2可有且僅有3個零點(diǎn)，則。的取值范圍

是.

22

16.已知雙曲線u[-2=l(α>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為4,E.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在

a~D

y軸上，F(xiàn)?A±F?B,F?A=-^B,則C的離心率為.

四、解答題

17.已知在ΔJ8C中，l+B=3C,2sin(∕-C)=Sin8.

⑴求SirL4；

(2)設(shè)為8=5,求NB邊上的高.

18.如圖，在正四棱柱/8CQ-40CQl中，45=2,44=4.點(diǎn)4,打(2,3分別在棱

(1)證明：B2C2ZZA2D2；

(2)點(diǎn)P在棱8。上，當(dāng)二面角尸一知心一。?為150。時，求BF.

19.已知函數(shù)/(x)=α(e"+α)-x.

試卷第3頁，共4頁

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)α>0時，/(x)>21na+^.

2

L

20.設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為d,且d>l.令bl,=g，記S,二分別為數(shù)列｛αj,｛4｝

的前〃項(xiàng)和.

⑴若3%=3%+的應(yīng)+7；=21,求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若也｝為等差數(shù)列，且%-7=99,求d.

21.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末

命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次

投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概

率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且P(X=I)=I-P(X,=O)=%,i=1,2,…,〃，則

￡|Σ^??！芧?記前〃次(即從第i次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為y,求E(y)?

Ij=IJ/=1

22.在直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)P到X軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(o,g)的距離，記動點(diǎn)P的

軌跡為此.

⑴求WZ的方程；

(2)已知矩形NBCO有三個頂點(diǎn)在力上，證明：矩形HBC。的周長大于3石.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出.

方法二：將集合〃中的元素逐個代入不等式驗(yàn)證，即可解出.

【詳解】方法一：因?yàn)镹={XN-X-6≥0}=(-8,-2卜［3,+s),而M={-2,-1,0,1,2},

所以歷CN={-2}.

故選：C.

方法二：因?yàn)镸={-2,T(M,2},將-2,Toj2代入不等式χ2-χ-6≥0,只有—2使不等式

成立，所以Λ∕cN={-2}.

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,再由共規(guī)復(fù)數(shù)的概念得到口從而解出.

【詳解】因?yàn)閆=G=Myr丁=一”所以Z弓‘即"

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出Z+∕l5,%+品,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳解】因?yàn)棣?(1,1),B=(1,T),所以a+；IB=(I+4/-4),〃+〃辦+一〃)，

由(α+/lB)J.(α+"B)可得，+4可?(〃+〃B)=O,

即(1+可(1+〃)+(1_外(1_4)=0,整理得：λμ=-?,

故選：D.

4.D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)y=2，在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/(x)=2Mr)在區(qū)間((U)上單調(diào)遞減，

則有函數(shù)y=x(x-q)=(x-3)2-土在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此^≥1,解得α≥2,

242

所以。的取值范圍是［2,+8).

答案第1頁，共22頁

故選：D

5.A

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.

【詳解】由02=岳廠得W=3q2,因此*=3xg,而α>l,所以°=乎.

故選：A

6.B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解：方法二：根據(jù)切線的

性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得

上2+8左+1=0,利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：因?yàn)閒+∕-4x-l=0,BP(X-2)2+∕=5,可得圓心C(2,0),半徑/=石，

過點(diǎn)尸(0,-2)作圓C的切線，切點(diǎn)為4,8,

因?yàn)镮Pq=￠2+H)=26,則IPH=JIPef一∕=jj,

可得sinNMC=含乎,cosZAPC=孺邛,

則sinN∕PB=sin2NZPC=2sinN/PCcosNA尸C=2X×亞—

444

√101

cosZAPB=cos2ZAPC=co?AAPC-sir?Z.APC--一<∣,

4J44

即N/P8為鈍角,

所以Sina=sin(π-N∕P8)=SinNAPB=返

4

法二：圓W+/-4x-l=0的圓心C(2,0),半徑r=6,

過點(diǎn)尸(0,-2)作圓C的切線，切點(diǎn)為48,連接/3,

可得IPq=+(-2『=26,則IPH=IP'=JIPeff2=g^,

因?yàn)??PB[-2?PA?-ψB∣cosZ4P5=P4j+愕]-2￠/|普ZACB

且Z.ACB=π-Z.APB,則3+3-6cos∕∕P3=5+5-10CoS(π-∕∕PB),

BP3-cosZ.APB=5÷5cosNAPB,解得cosNAPB=-??<0,

4

答案第2頁，共22頁

即/4P8為鈍角，則COSa=Ce)S(兀一/4P3)=—cos∕ZP3=?,

且。為銳角，所以Sina=后京二叵;

4

方法三：圓/-4x-l=0的圓心C(2,0),半徑r=6

若切線斜率不存在，則切線方程為V=O,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為N=丘-2,即日-y-2=0,

則=亞,整理得公+8%+1=0，且A=64-4=60>0

設(shè)兩切線斜率分別為匕,4，則&+k2=-S,klk2=1,

2

可得4-k2?=y∣(kl+A2)-?l?2=2屈，

所以tanα=!I而即旦L4=1有，可得CoSa=與？，

1+A1K2cosa√15

.∣.22.2Sin2a.

則mSlna+cosa=sιna+-----=1，

15

且αe(θ,])sina>0,解得Sina=巫.

故選：B.

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前〃項(xiàng)和與第“

項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答

【詳解】方法1,甲：｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為q,公差為d,

答案第3頁，共22頁

.Cn(n-?)SMn-?.ddS

則mS"=g+k"'Tf=α∣+丁=丁+4——,?n-

'2n-An2

V

因此｛2｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件;

n

反之，乙：｛1｝為等差數(shù)列，即鼠?_&='-'+|母=崇奈為常數(shù)'設(shè)為

n∕7÷1nn(n+1)

即與奇"則S=Ff心+】)，有Sl=("gτ?"(f,"≥2,

a

兩式相減得：?=〃%+i1)?！?2",即an+1-an=2t,對〃=1也成立,

因此｛〃〃｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)4,公差為d,即S.=叼+若Dd,

則2=q+券2d=g"+q-g,因此｛2｝為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222n

Vcc?

反之，乙：｛、｝為等差數(shù)列，即》-j=。d=S∣+("7)Z),

nw+1nn

即

S“=nSl+n(n-?)D,Sn.,=(n-l)Sl+(?-!)(?-2)0,

當(dāng)“≥2時,上兩式相減得:-S,,.,=S1+2(n-1)0,當(dāng)”=1時,上式成立，

于是%=%+2(n-l)D,又an+l-αn=α1+2nD-[at+2(〃-1)0=2。為常數(shù)，

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

8.B

【分析[根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+∕7),再利用二倍角的余弦

公式計(jì)算作答.

【詳解】因?yàn)閟in(α-∕7)=SinaCOs∕?-CoSaSin尸=一，而COSaSin夕=1,因此SinaCoS尸=2,

362

2

則sin(α+/?)=sinacosβ+cosasin/=§,

所以cos(2a+2夕)=cos2(a+/?)=1-2sin2(a+/?)=1-2×(-∣)2=?.

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法

答案第4頁，共22頁

(I)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角

總有一定關(guān)系.解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函

數(shù).

(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變

角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.

(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式

子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍.

9.BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：設(shè)3，演，匕，匕的平均數(shù)為利，%，々，…，%的平均數(shù)為〃，

則“=X∣+X?+X3+%+Xs+%x2+X3+X4+X5=2(x∣+XJYX5+X?+XJ+匕)

、n~m~64,12—

因?yàn)闆]有確定2(國+苫6)，/+￡+毛+匕的大小關(guān)系，所以無法判斷也”的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得nι="=3.5;

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得m=2,〃=U；故A錯誤；

對于選項(xiàng)B：不妨設(shè)X]≤%2≤%3≤%4≤%5≤%6，

可知Z,X3,X4,X5的中位數(shù)等于演/2,…戶6的中位數(shù)均為Wt，故B正確；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)榭词亲钚≈?，乙是最大值?/p>

則》2戶3，%工5的波動性不大于3，％，一/6的波動性，即％，工3戶4戶5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于演，工2，…，/

的標(biāo)準(zhǔn)差，

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)"=1(2+4+6+8+10+12)=7,

標(biāo)準(zhǔn)差Sl=^∣[(2-7)2+(4-7)2+(6-7/+^-7J+￠0-7)+(2-75]=??,

4,6,8,10,則平均數(shù)機(jī)=:(4+6+8+10)=7,

標(biāo)準(zhǔn)差S?=已[(4—7)2+(6_7『^8-7)2XIO-T(2]√5,

顯然亞Z>5,即s∣>S2;故C錯誤；

3

答案第5頁，共22頁

對于選項(xiàng)D：不妨設(shè)x∣≤J?≤J?≤x,4Rs≤X6，

則工6-王*X5-X2，當(dāng)且僅當(dāng)玉=超，毛=工6時，等號成立，故D正確；

故選：BD.

10.ACD

【分析】根據(jù)題意可知人?60,90],%u[50,60],4=40,結(jié)合對數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可知:Lpιe[60,90],Lpj∈[50,60],Lpj=40,

對于選項(xiàng)A：可得4,-4，=20*也圖-20、尼&=20乂也包，

PoP0Pi

因?yàn)?≥%,則4-%=20xlg∕?0,即lgj≥O,

所以，-21且P/>0,可得pep?,故A正確：

對于選項(xiàng)B：可得4,-乙八=20x∣g??-20xIg8?=20×1g—,

POPOPi

因?yàn)?-4=L%-40210,則20xlgR≥10,即

P3P3幺

所以??≥五且P2,p3〉0，可得P2≥V?3,

P3

當(dāng)且僅當(dāng)42=50時，等號成立，故B錯誤；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)?,=20x1g立=40,即lgH=2,

PoP0

可得隹=100,即P3=lθθp°,故C正確；

Po

對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：L-L=20×lg^,

Pl

且4-%≤90-50=40,則20Xlg邑≤40,

Pi

即lgg?≤2,可得以≤100,且百,P2>0,所以P∣≤IOOP2,故D正確；

PiPi

故選：ACD.

11.ABC

【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC,舉反例/(χ)=0

即可排除選項(xiàng)D.

方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)"x)=HInl'x≠°進(jìn)行

10,x=0

答案第6頁，共22頁

判斷即可.

【詳解】方法一：

因?yàn)?(Xy)=y2f(χ)+χ2f(y)，

對于A,令x=y=O,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令X=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(-1)=0,

令y=-l,∕(r)=/(x)+//(-I)=/(x),

又函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,所以/(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令/(x)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時/(x)無極值，故D錯誤.

方法二：

因?yàn)?(初)=∕∕(x)+χ2∕O0,

對于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,"1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(1)≈/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(-1)=0,

令y=TJ(-χ)=/(χ)+χ2f(-?)=f(χ),

又函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,所以/(X)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,當(dāng)/VRo時，對/(Λy)=y2∕(χ)+χ2∕(y)兩邊同時除以χ2y2,得到

f(xy)/(?),Λy)

x2y2X2y2'

故可以設(shè)△?=InklQ≠0),則/*)=,：ln∣,x*O,

X21[0,x=0

當(dāng)x>0肘，f(x)=X2In%,則/'(x)=2xlnx+χ2.J?=χ(21nx+l),

令/。)<0,得o<χ<ej令/'(')>°，得

故/(X)在(θ,eT)上單調(diào)遞減，在e*,+8)上單調(diào)遞增，

(」、(

因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，所以/(X)在-e2,0上單調(diào)遞增，在-OO,e2上單調(diào)遞減,

答案第7頁，共22頁

顯然，此時X=O是/(X)的極大值，故D錯誤.

故選：ABC.

12.ABD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對角線長為鬲，且JΣ>1.4,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對角線長為鬲，且石<1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；

對于選項(xiàng)D：因?yàn)檎襟w的體對角線長為百m,且百?1.2,

設(shè)正方體N8C。-48CQ的中心為。，以ZG為軸對稱放置圓柱，設(shè)圓柱的底面圓心。到

正方體的表面的最近的距離為,

如圖，結(jié)合對稱性可知：OG=gcj=y-,C1O1=OC1-OOi=?-0,6?

則3=即"5"一"6,解得〃=；-竿>0?34>0.01'

λλ?54?-Z√3

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

故選：ABD.

答案第8頁，共22頁

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于C、D：以正方體的體對角線為圓柱的軸，結(jié)合正方體以及圓柱的

性質(zhì)分析判斷.

13.64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)

運(yùn)算求解.

【詳解】(1)當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有=16種；

(2)當(dāng)從8門課中選修3門，

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C：C；=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

14.巫IL瓜

66

【分析】結(jié)合圖像，依次求得4Q,∕o,從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過4作垂足為易知4〃為四棱臺/3CD—44CA的高,

因?yàn)?5=2,44=VAAλ=√2,

則AO=-AC=→√24fi=與Ao=UlC=U

11itl1?jlAB=V∑，

答案第9頁，共22頁

?AM=-?(JC-∕41Cl)=?-,則/Al=Jz/-/A/?=-?=-?,

所以所求體積為P=JX(4+1+J?TT)X負(fù)=它.

326

故答案為：巫.

6

15.[2,3)

【分析】令/(x)=0,得COSOx=I有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)?WxW2τr,所以O(shè)W0xW2ftw,

令/(x)=cos<yχ-l=O,則COSs=I有3個根，

令f=0x,則COSf=I有3個根,其中f∈[0,2oπ],

結(jié)合余弦函數(shù)y=cos∕的圖像性質(zhì)可得4τt≤2on<6π,故24<υv3,

【分析】方法一:利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到I盟|,I明∣,∣%∣,MW關(guān)于

的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得。=機(jī)，進(jìn)而利用余弦定理得到α,c的齊次方程，從

而得解.

方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得x0=；5c2,產(chǎn)=4。2,將點(diǎn)

A代入雙曲線C得到關(guān)于α,Ac的齊次方程，從而得解：

【詳解】方法一：

依題意,設(shè)I典∣=2m,則忸周=3機(jī)=忸用劇=2α+2m,

在RtA∕8與中，9∕H2+(2a+2m)2=25m2,則(α+3機(jī))(α-m)=0,故“=機(jī)或α=-3，"(舍去)，

所以|/用=4α,.%=2α,忸周=忸用=3α,則MM=5α,

AF4a4

故cos"兆=海t=4F

16α+4a4c22

所以在ΛAF1F2中，cosZξ∕g≈~=-,整理得5c=9a,

2×4a×2a5

答案第10頁，共22頁

依題意,得月(-c,0),乙(c?,0),令Z(XO,%),8(0,f),

___2___252

因?yàn)橛昧?一§鳥8,所以(XO-Gyo)=-W(-。,，)，則XO=§。,歹0二—丁，

又即_L而，所以即?瓶=(IC(Jf)=+2_52=0,則r=叱，

”O(jiān)Sr24/2?5r216r2

又點(diǎn)A在。上，則99［，整理得與一式τ=1,則與一普=1，

-2------江=19a29b29a29b2

ab

所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25,(c2-a2)-?6a2c2=9a2(c2-a1),

整理得25c-50/+9/=0,則(5/一9叫(5/一叫=0,解得5/=9/或方=6?,

又e〉l,所以e=46或e=(舍去)，故e=二叵.

555

故答案為：—.

5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股

定理與余弦定理得到關(guān)于α,4c的齊次方程，從而得解.

17.(l)^?θ

10

(2)6

【分析】(1)根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；

(2)利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求SinB,再由正弦定理求出6,

根據(jù)等面積法求解即可.

【詳解】(1)?.?A+B≈3C,

答案第11頁，共22頁

TT

.λτι-C=3C即。=—,

f4

又2sin(Z-C)=SinB=Sin(Z+C),

/.2sinAcosC-2cosJsinC=sinAcosC+cosJsinC,

.?.sinAcosC=3cosJsinC,

.,.sinA=3cosJ,

即tan4=3,所以0<4<],

33√W

,

..sinA=√ιo^-io-

1√io

(2)由(1)知，cosA=

√io-io

由SinB=Sin(N÷C)=SinAcosC+cosZSinC二

?2√5

5×------

b

由正弦定理,>可得b=J—=2>∕Γθ,

sinCsinB√2

^2^

/.?AB.h=LAB?AC?sinA,

22

.?.h=b?sin/=2Λ∕1F×???ɑ=6.

10

18.(1)證明見解析;

(2)1

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；

(2)設(shè)尸(0,2")(0≤2≤4),利用向量法求二面角，建立方程求出4即可得解.

【詳解】(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，S,C8,cq所在直線為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

答案第12頁，共22頁

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),J2(2,2,1),

.?.=(0,-2,1),ΛA=(0,-2,1),

.?B^∕∕TD[,

又與G，43不在同一條直線上，

,

..B2C7//A2D2,

(2)設(shè)P(0,2M)(0≤%≤4),

則/=(-2,-2,2),砥=(0,-2,3-4Λ^(-2,0,l)，

設(shè)平面P4G的法向量】=(χ,y,z)，

n?AC=-2x-2y+2z=0

則＜22

n?PQ=-2y+(3-λ)z=O

令z=2,得歹=3-√l,x=義一1,

=(/1—1,3—Λ,2),

設(shè)平面A2C2D2的法向量加=(a,b9c),

m.JC=-2a~2?+2c=0

則22

in?D2C2=-Zz+c=0

令a=l,得b=l,c=2,

/.m=(1,1,2),

答案第13頁，共22頁

???H阿卜翡二廚4+(U+(3T)f4,

化簡可得，Λ2-4λ+3=0,

解得4=1或4=3,

??，(0,2,1)或2(0,2,3),

.?.B2P=?.

19.(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先求導(dǎo)，再分類討論α≤0與α>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即

可得解；

(2)方法一：結(jié)合(1)中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為/-g-lnα>O的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)

g(α)=α2-∣-lna(α>0),利用導(dǎo)數(shù)證得g(4)>0即可.

方法二：構(gòu)造函數(shù)MX)=e*-x-l,證得e'≥x+l,從而得到/(x)≥x+In。+1+?-x,進(jìn)

而將問題轉(zhuǎn)化為/-∣-lna>0的恒成立問題，由此得證.

【詳解】(1)因?yàn)?x)=α(e'+α)-x,定義域?yàn)镽,所以/'(x)="e'-1,

當(dāng)時，由于e、>0,貝∣Jαe"≤O,故/'@)=。^-1<0恒成立，

所以/(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)“>0時，令/'(x)=αe*-l=0,解得X=-In4,

當(dāng)x<-lna時，/'(x)<0,則/(x)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>-lnq時，/'(x)>0,則/(x)在(-ln0,+8)上單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)tz≤O時，在R上單調(diào)遞減：

當(dāng)“>0時，/(x)在(-∞,-lnα)上單調(diào)遞減，〃x)在(-ln4,+s)上單調(diào)遞增.

(2)方法一：

xlno2

由(1)得，/()min=/(-ln?)=a(e^+a)+ln<7=l+α+?nɑ,

答案第14頁，共22頁

331

要證∕?(x)>2In4+萬，即證1+/+lnα>Zlno+j,即證/一3-InQ>O恒成立,

令g(α)=Q2―1—?dú)v“〃>0),則g，(Q)=2^_,=20T,

2aa

令gp)<O,則o<α<也；令gp)>O,則α>";

22

所以g(α)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

所以g(%=g隹J=(用-2^'n^^"M岳°

則g(α)>O恒成立,

3

所以當(dāng)Q>0時，/(x)>21nQ+］恒成立，證畢.

方法二:

令人(X)=e，一%-1,則/(x)=e'-l,

由于>=e'在R上單調(diào)遞增，所以"(力=廿-1在R上單調(diào)遞增,

又“(0)=e°-l=0,

所以當(dāng)x<0時，Λz(x)<O;當(dāng)χ>0時，”(x)〉0；

所以MX)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

故MX)NMo)=0,則e'≥x+l,當(dāng)且僅當(dāng)"=0時,等號成立,

2γ+lnt,22

因?yàn)?(x)=α(e'+Q)-x=〃e'÷tz-x=e+a-x≥x+Ina+l-^-a-xf

當(dāng)且僅當(dāng)x+lnα=0,即X=-In。時，等號成立,

331

所以要證/(x)>2inα+5,即證x+lnα+l+c∕-%>21n4+5,即證T一3一Ina>0,

☆g(a)=a2_2_］na(a〉0),則D=2α―工=即:?,

2aa

令g'(α)<0,則0<α<①；令g'(α)>O,則α>也;

22

所以g(α)在［。,號］上單調(diào)遞減，在,+②］上單調(diào)遞增，

所以g(α)"=gj*=j9-l-ln^=ln√2>0,則g(α)>O恒成立,

答案第15頁，共22頁

3

所以當(dāng)〃>0時，/(x)>2InQ+e恒成立，證畢.

20.(1)4=3"

⑵〃埸

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；

(2)由也｝為等差數(shù)列得出［=d或q=Z/,再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得/o-4o=l,分類

討論即可得解.

,

【詳解】(1).*3α2=301+a3,:.3d=α1+2d,解得q=d,

/.S3~3%=3(q+d)=6d,

DTL7126129

又τ3=a+b2+b3=N+/互=Z'

9

.2+4=6"二=21,

d

即2∕-7d+3=0,解得d=3或d=!(舍去)，

2

.,.Q〃=%+(〃-?)?d=3n.

(2)?.?｛"｝為等差數(shù)列，

…，12212

2h2=?1+?3,即—=--1----,

a2%a3

???e(?-?)=-^-=—,即如-3°“+2/=0,解得q=d或α=Z∕,

a2a3a2a3ax?

?.?J>1,%>0,

又$99-^=99,由等差數(shù)列性質(zhì)知，9‰50-99?50=99,即/°—砥=1,

??々50=1，即磕_。50_2550=0,解得〃50=51或々50=—50(舍去)

。50

當(dāng)q=Z∕時，a50=al+49J=5U=51,解得d=l,與d>l矛盾，無解；

當(dāng)α∣="時，?)=q+49d=50d=51,解得d=∣^.

綜上一M

21.(1)0.6

答案第16頁，共22頁

吟目

⑶n

E(Y)=2+—

1oYJ3

【分析】(1)根據(jù)全概率公式即可求出；

(2)設(shè)尸(4)=p,,由題意可得∕?=0?4p,+0.2,根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出:

(3)先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出.

【詳解】(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件4,“第i次投籃的人是乙”為事件及，

所以，P(Bj=P(A1B2)+P(qBJ=R4)R囚力+KB)Rβ2∣勾

=0.5×(l-0.6)+0.5×0.8=0.6.

(2)設(shè)P(4)=p,,依題可知,P(Bj=I-P,,則

P(4+J=P(44+J+尸(耳4M)=P(4yAM14%PSP‰⑸)，

即P"I=0?6p,+(1-0.8)χ(l-pj=OApi+0.2,

構(gòu)造等比數(shù)列{p,?+2},

設(shè)PHl+4=?∣(P,+2),解得義=-；,貝IIPHl-；=1■(Pi-；)，

??????Z

又p∣=!，"-!=!，所以.,-U是首項(xiàng)為公比為芻的等比數(shù)列，

236I?j6?

(3)因?yàn)镻j=?x(?∣)+；,;=1,2,???√7,

5

所以當(dāng)〃∈N*時,

18

【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式,

答案第17頁，共22頁

然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解.

2?

22.(?)y=χ+-

(2)見解析

【分析】(1)設(shè)P(χ,y),根據(jù)題意列出方程一+卜一；)=/,化簡即可；

(2)法一：設(shè)矩形的三個頂點(diǎn)//,。2+、,《6,從+?,。卜，。2+3,S,a<b<c,分別令

kAB=a+b=m<0,kβc=b+c=n>O,且加〃=-1,利用放縮法得gc≥(a+:卜1+/,設(shè)

函數(shù)/(x)=(x+gj(l+χ2),利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得C的最小值，再排除邊界值即可.

法二：設(shè)直線N8的方程為N=儀x-a)+〃+!，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式

4

和放縮法得同I3力bJ。+Fr利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長最值，再排除邊界值即

可.

法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可

證明.

【詳解】(1)設(shè)P(XJ),則M=JX2+(y-gj,兩邊同平方化簡得y=/+；,

故WZ?y^χ2+~.

4

(2)法一：設(shè)矩形的三個頂點(diǎn)/(“,。2+￡|,8(帥2+；),《吩2+3在%上,且"6<<；,

易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0,

答案第18頁，共22頁

則腦,演C=T,α+b<6+c,令

=a+b=m<O

同理令魘(?=b+c="〉O,且加〃二一1,則〃7=-~1,

n

設(shè)矩形周長為c,由對稱性不妨設(shè)Im∣≥ι∏ι.怎C-G=C-q=〃-"?=〃+?，

n

222

則;C=|/81+1SCI=(b-α)√l+∕n+(c-?)√l+w>(c-α)√l+w=(〃+，卜1+/.w>o,易

知(〃+,)&+"2>0

則令/(x)=(x+B)(1+X2),X>0,∕'(X)=2^X+^

令/'(X)=O,解得X=也,

2

(??

當(dāng)Xeθ,?-時，/(x)<0,此時/(χ)單調(diào)遞減，

隹+8，∕,(x)>0,此時/U)單調(diào)遞增,

當(dāng)x∈

=(?-α)√l+n2，即切=〃時等號成立，矛盾,

故C>3√i,

得證.

法二：不妨設(shè)4民。在沙上，且8/J.D4,

DA的斜率均存在且不為0,

答案第19頁，共22頁

則設(shè)民4,D4的斜率分別為a和W，由對稱性，不妨設(shè)k∣≤ι,

K

直線Z