2022-2023學年河南省鄭州市高二下學期5月月考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年河南省鄭州市高二下學期5月月考數(shù)學試題

一、單選題

1.在某項測試中，測量結(jié)果&服從正態(tài)分布N(1,(√)(b>0),若尸(1<J<2)=0.3,則尸(J<0)=()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，利用其概率公式，可得答案.

【詳解】由題意可知，變量J所作的正態(tài)曲線關(guān)于直線X=I對稱，

則P(l<4<2)=P(0<J<l),P(J<O)=P(J>2),

故P[ξ<0)=l-2P(l；g<2)=02

故選：B.

2.已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S〃，4+α5+/=3,S11=-Il,則使S“取得最大值時〃的值為

()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】利用下標和性質(zhì)和前〃項和公式可判斷為，%的符號，然后可得.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為心

因為4+%+%=3%=3,所以%=1>0

又SU=II(4；4)=]4=71,所以%=-l<0

所以等差數(shù)列｛4｝的前5項為正數(shù)，從第6項開始為負數(shù),

所以當〃=5時，S“取得最大值.

故選：A

3.已知(x+g]("eN*)的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為256,則展開式中的常數(shù)項為()

A.-70B.-40C.40D.70

【答案】D

【分析】先由2"=256求得〃，再利用(x+gj的展開式的通項求解常數(shù)項.

【詳解】因為(舊

n∈N*)的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為256,

所以2"=256=2ii,解得”=8,

則1+g)的展開式的通項為7；M=G(Xyiτ(￡)=c^(xf^2r,

令8-2r=0,解得廠=4,

所以展開式中的常數(shù)項為C；=70,

故選：D.

4.函數(shù)f(x)=f?x的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-∞,-e)B.1-00,g]C?(°T]D?(°，e)

【答案】C

【分析】求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，再解關(guān)于導函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】函數(shù)/5)=-封1的定義域為(0,轉(zhuǎn))，

又/'(X)=-Inx-I,令/'(x)>0,gp-lnx-l>O,即InX<-1,所以0<x<1，

e

所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,

故選：C

5.某同學參加籃球測試，老師規(guī)定每個同學罰籃10次，每罰進一球記5分，不進記T分，已知該同

學的罰球命中率為60%,并且各次罰球互不影響，則該同學得分的數(shù)學期望為()

A.30B.36C.20D.26

【答案】D

【分析】根據(jù)二項分布數(shù)學期望公式可求得該同學罰球命中次數(shù)的數(shù)學期望，結(jié)合罰球得分的規(guī)則

可計算得到結(jié)果.

【詳解】記該同學罰球命中的次數(shù)為X,則X-8(10,0.6),.?.E(X)=10x0.6=6,

,該同學得分的數(shù)學期望為6x5+(10-6)χ(T)=30-4=26.

故選：D.

6.在數(shù)列｛4｝中，已知6=1且%+%=2〃，則其前29項和$29的值為()

A.56B.365C.421D.666

【答案】C

【分析】將§29展開，根據(jù)題中遞推公式進行分組求和，再利用等差數(shù)列前〃項和公式計算求解即可.

【詳解】S29=4+出+〃3+“4+…+〃27+〃28+。29

=4+(4+?)+(a4+?)÷???+(026+?7)÷(?8+?9)

=l+2x2+2x4+???+2x26+2x28

=1+2(2+4+6…+26+28)=421.

故選：C

7.若一個數(shù)列的第機項等于這個數(shù)列的前相項的乘積，則稱該數(shù)列為“加積數(shù)列”.若各項均為正數(shù)

的等比數(shù)列｛4｝是一個“2023積數(shù)列“，且0<q<l,則當其前〃項的乘積取最小值時〃的值為()

A.IOllB.1012C.2022D.2023

【答案】A

【分析】根據(jù)“，〃積數(shù)列”判斷出｛q｝的單調(diào)性，再根據(jù)具體數(shù)據(jù)找出滿足4,<1的最后一項，即可得

到選項.

【詳解】根據(jù)“2023積數(shù)列“性質(zhì)可知α∣X%X%X%*…X?2022×?23=?3，

BP4×a2×a3×a4×?-×a2022=1,

根據(jù)等比中項性質(zhì)可知：?,?2022=廿2021=%?)=…=。1臼012=1，

因為0<q<1,且q>0,

所以前1011項都是小于1的，從第1012項開始往后的都是大于1的，

即｛%｝為遞增的等比數(shù)列，且q°u<1,.2>1，

則當其前〃項的乘積取最小值時〃的值為1011.

故選：A.

1115

1

8.設(shè)α=—e?,b=-,c=In-,貝∣J()

544

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>h

【答案】A

【分析】利用作商法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.

1e11

【詳解】由題意可得：a4=5e=盤，?4=?=τ?,

56254256

,aA256256Crlll.∣.

由—=---e≈-----×2.7≈1.1>1,m貝∣J4>8；

?4625625

1???5

〃=一Ine=Ine3令丫_",y=—,

4Λ—c4

4?X

由—=;^eaLl>l,則y>%,即/?>c；

y625

綜上可得：a>b>c.

故選：A.

二、多選題

9.已知A8是兩個隨機事件，O<P(A)<1,下列命題正確的是()

A.若AB相互獨立，P(BM)=P(8)B.若事件AuB,則P(8∣A)=1

C.若AB是對立事件，則P(MA)=ID.若AB是互斥事件，則P(8∣A)=O

【答案】ABD

【分析】利用條件概率、相互獨立事件判斷A；利用條件概率的定義判斷B；利用條件概率及對立、

互斥事件的意義判斷C,D作答.

【詳解】對于A,隨機事件AB相互獨立，則P(A8)=P(A)P(B),P(8∣A)=萼R=P(B),A正確;

P(A)

P(ΛR?

對于B,事件A=8,P(AB)=P(A),P(B∣Λ)=——^=1,B正確；

P(A)

對于C,因AB是對立事件，則P(Ag)=0,P(BlA)=萼答=0,C不正確；

對于D,因A8是互斥事件，則P(A8)=0,P(BIA)=/詈=0,D正確.

故選：ABD

10.對任意實數(shù)X,有(2"-3『=4)+4(x-l)÷?(x-l)2+/(x-l)，+…+4(1一1)8.則下列結(jié)論成立

的是()

A.4=一1B.a2=-112

C.?+α1+a2+???+?=1D.%-％%-----^4=38

【答案】CD

【分析】求得。。的值判斷選項A；求得〃2的值判斷選項B；求得4+%+&+???+/的值判斷選項C；

求得4-4+〃2-〃3+…+1?的值判斷選項D.

[詳解】由(2x—3)=%+4(x—1)+&(x—])+%(X—1)-----F?(%—1)8,

可得(2x-3)ii=[-l+2(x-l)了,

s

當x=l時，(2-3)=α0,則%=1,A選項錯誤；

由二項式定理可得，?=C^(-1)8^222=112,B選項錯誤；

當％=2時，(4—3)=tzθ÷tz?+6t9+???+,

即％+q+〃2T-----1％=1，C選項正確；

8

當X=O時，(-3)=an-a↑+a2-ai-?-----Fq,

即g-q+%-4+…+%=3'，D選項正確.

故選：CD

11.現(xiàn)將8把椅子排成一排，4位同學隨機就座，則下列說法中正確的是()

A.4個空位全都相鄰的坐法有120種

B.4個空位中只有3個相鄰的坐法有240種

C.4個空位均不相鄰的坐法有120種

D.4個空位中至多有2個相鄰的坐法有840種

【答案】AC

【分析】對于A,利用捆綁法結(jié)合排列數(shù)；對于B,利用插空法結(jié)合排列數(shù)；對于C,利用插空法

結(jié)合排列組合；對于D,根據(jù)分類加法原理結(jié)合插空法，可得答案.

【詳解】對于A,將四個空位當成一個整體，全部的坐法：A；=120和空故A對；

對于B,先排4個學生A：,然后將三個相鄰的空位當成一個整體，和另一個空位插入由4個學生形

成的5個空檔中有A：種方法，所以一共有A：&=480種，故B錯；

對于C,先排4個學生A：,4個空位是一樣的，然后將4個空位插入由4個學生形成的5個空檔中

有C種,所以一共有A：C；=120種,故C對;

對于D,至多有2個相鄰即都不相鄰或者有兩個相鄰，由C可知都不相鄰的有120種，

空位兩個兩個相鄰的有A：C；=24(),空位只有兩個相鄰的有A：CiC：=72(),

所以一共有120+240+720=1080種，故D錯；

故選：AC.

12.甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球

傳給另外兩個人中的任何一人，下列說法正確的是()

?-2次傳球后球在丙手上的概率叼

B.3次傳球后球在乙手上的概率是:

C.3次傳球后球在甲手上的概率是!

D.〃次傳球后球在甲手上的概率是:

【答案】ACD

【分析】列舉出經(jīng)2次、3次傳球后的所有可能，再利用古典概率公式計算作答可判斷ABC,〃次

傳球后球在甲手上的事件即為A,,則有4M=44M+44…利用全概率公式可得p,加=g(i-p,,),

再構(gòu)造等比數(shù)列求解即可判斷D.

【詳解】第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4

個結(jié)果，它們等可能，2次傳球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1個結(jié)果，所以概率是!，故A

正確；

第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結(jié)果為:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙

甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個結(jié)果，它們等可能，3次傳球后球在乙手中的事件

有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個結(jié)果，所以概率為J,故B錯誤；

O

3次傳球后球在甲手上的事件為：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2個結(jié)果，所以概率為］=:，故C正確；

84

n次傳球后球在甲手上的事件記為A,,,則有Ae=A"A”+A4”，

一1

令P=P(A11)，則P(A,+l∣A,)=o,P(AtMl4)=耳,于是得

P(AM)=P(A,)P(A,+lIA,)+P(4)P(A,+1∣?)=PjO+g(i-化,)，

故以M=g(i-%),則P,用-g=-3p,,-g),而第一次由甲傳球后，球不可能在甲手中，即口=°，

則有p「g=Y，數(shù)列｛P,,-1｝是以一；為首項，一；為公比的等比數(shù)列，所以P.一；=一：(一；尸,即

P"=g1^c^ir'＞故D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.在等比數(shù)列｛%｝中，%,%是函數(shù)/(x)=gd+4χ2+4χ-l的極值點，則“5=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)極值點的必要條件，可得4，%是函數(shù)r(x)=Y+8x+4的零點，結(jié)合零點的定義以

及二次方程根的性質(zhì)，利用等比數(shù)列中等比中項的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】由函數(shù)f(x)=gd+4χ2+4x-l,則其導數(shù)/'(x)=d+8χ+4,

由內(nèi)，%是函數(shù)/(犬)=3^+4/+4犬-1的極值點，

則%，的是函數(shù)/'(x)=d+8x+4的零點，

即火,%是方程/+8χ+4=0的兩個解，故4%=4,%+%=-8

2

在等比數(shù)列｛q｝中，?5=aia1=4,且叼嗎，%同號，即。5＜。，故%=一2.

故答案為：-2?

14.接種流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某學校I■的學生接種了流感疫苗，已知在流感高

發(fā)時期，未接種疫苗的感染率為，，而接種了疫苗的感染率為1.現(xiàn)有一名學生確診了流感，則該名

410

學生未接種疫苗的概率為

【答案】?i

【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)事件A="感染流行感冒“，事件B="未接種疫苗”,

312119^)=i×r?

則尸(A)=wX——=

10100

故尸(BM)=瑞15

19-

故答案為：.

15.如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，

小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中,

每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為

1,2,3...........6,用X表示小球落入格子的號碼，則下面結(jié)論中正確的序號是.

①P(X=I)=P(X=6)=?7;

②P(X=2)=P(X=5)=點;

③P(X=3)=P(X=4)=3

④E(X)=∣?

【答案】②③

【分析】根據(jù)題意可知小球每次碰到小木釘后落下都是獨立重復實驗，根據(jù)獨立重復實驗概率計算

規(guī)則計算即可.

【詳解】由題意可知，X的所有取值為1,2,3,4,5,6,

則P(X=I)=??,由對稱性可知P(X=6)=P(X=I)='，

P(X=2)=P(X=5)=CX×-=

2J232

P(X=3)=P(X=4)=C；X

1557

所以E(X)=(I+6)x^+(2+5)x￡+(3+4)x=χ.

?3232I7o72

故答案為：②③

16.已知e是自然對數(shù)的底數(shù).若VXW(O,內(nèi))，ae""≥lnx成立，則實數(shù)力的最小值是.

【答案】-Ie-'

e

【分析】根據(jù)給定的不等式，兩邊同乘X,利用同構(gòu)的思想構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性求得恒成立的

不等式，再分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最大值作答.

【詳解】由nιemx≥InX得nιxena≥即ιπxe,nx≥e,n-v?Inx,

令/(X)=Xe,求導得r(x)=(x+l),>0,則/(x)在(0,+向上單調(diào)遞增,

顯然相>0,當0<x≤l時,恒有eeE>0,ehlFnx≤0,即MXew≥e'n"?lnx恒成立,

于是當x>l時，lnx>O,有f(mr)≥∕(InX),

從而ZnrNInX對VXe(I,+∞)恒成立，即m>皿對VXe(I,+∞)恒成立，

X

令g(x)=T),求導得g'(x)=l則當Xe(Le)時，g,(x)>O;當xe(e,+∞)時，g,(x)<O,

因此函數(shù)g(x)在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，g(x)nm=L則，"≥L

ee

所以實數(shù)，〃的最小值是L.

e

故答案為：-

e

【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，將不等式等價轉(zhuǎn)化，利用同構(gòu)思想，構(gòu)造新函數(shù),

借助函數(shù)的單調(diào)性分析求解.

四、解答題

17.彭老師要從10篇課文中隨機抽3篇不同的課文讓同學背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及

格.某同學只能背誦其中的7篇，求：

(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量X的分布列；

⑵他能及格的概率.

【答案】(1)分布列見解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件求出隨機變量的取值，求出對應(yīng)的概率，即可得出隨機變量的分布列;

(2)根據(jù)已知條件及隨機變量的分布列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,則

P(X=O)=等=看，

]01AU

P(X=I)=詈7

jo40

C；C；21

P(X=2)=Fr;而

P(x=3)餐35

jo120,

所以X的分布列為

XO123

172135

P

1204040T20

(2)該同學能及格，表示他能背誦2篇或3篇，

?1as49

由(1)知，該同學能及格的概率為p(χ≥2)=P(X=2)+P(X=3)=萬+忘=有.

<,v∕?/UUU

18.已知數(shù)列｛α,,｝是公差為2的等差數(shù)列，且滿足4,%，生成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛q｝的通項公式；

⑵求數(shù)列,」一|的前n項和Tn.

IaM,+J

【答案】(IM=2〃-1

(2)7=n

,l2n+1

【分析】(1)由《，g，生成等比數(shù)列得首項，從而得到通項公式;

(2)利用裂項相消求和可得答案.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

i

；at,a2,a5成等比數(shù)歹IJ,.?a^=ala5,

即(6+d)2=a1(q+4d),

222

/.ai+2ald+d=ΛI÷4aid,由題意d=2

故4；+4q+4=?！?8%,得q=l,.?all=1+2(∏-1)=2/7-1

即an=2〃-1.

?n

1---------

22〃+12n÷l

19.已知函數(shù)/(x)=InX-Or+KαeR).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

⑵若對任意的X>0,f(x)≤0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍;

【答案】(1)答案見解析

(2)a>l

【分析】(1)求導可得r(x)=g-α(x>O),分α≤0和a>0進行討論即可得解；

(2)根據(jù)題意參變分離可得沖?恒成立，令g(χ)=g±l,求出g(x)的最大值即可得解.

【詳解】(1)依題意，/'(x)=g-α(x>O),

當“40時，顯然用x)>0,所以〃x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當α>0時，令得0<x<:;令/'(x)<0,x>l;

即/(x)在(θ,J上單調(diào)遞增，在［,+∞)上單調(diào)遞減.

(2)由題意得/(x)=InX-雙+l≤0(x>0)恒成立，等價于“≥gtl(χ>0)恒成立，

令8⑴="：+I(X>0),即a≥g(x)max時成立.

則g，(X)=-竽當xe(0,l)時，g'(x)>(),當Xe(I,+8)時，g'(x)<O,

那么g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞增減，所以g(x)nra=g⑴=1，

所以“≥l.

20.已知等差數(shù)列｛叫的前”項和為S“，q=2,S4=26.正項等比數(shù)列也｝中，?,=2,h2+bi=l2.

⑴求｛叫與也｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛4%｝的前”項和

【答案】⑴4=3〃-1,bn=2"

(2)7；,=(3π-4)2n+,+8

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可求的通項公式.

(2)利用錯位相減法整理化簡即可求得前“項和，.

【詳解】(1)等差數(shù)列｛4｝的前“項和為S”，4=2,'=26,設(shè)公差為d

所以4x2+亍4=26,解得d=3

所以=?,+(rt-l)^=2+3(n-l)=3n-l

正項等比數(shù)列低｝中，瓦=2,b2+b3=12,設(shè)公比為4

所以2(q+∕)=12,所以q2+q-6=()

解得4=2,或q=-3(舍去)

所以2=2"

,

(2)由(1)知：??π=(3n-l)2,

所以Z,=2X2∣+5X22++(3H-1)2"

27；,=2×22+5×23+.(3n-4)2n+(3n-l)2"+'

兩式相減得：一Z,=2X2∣+3X22+3X23++3×2,'-(3π-l)2n+'

3×22×(l-2,'^1'),

=2×2l+------?——'--(3M-l)2n+'=(4-3tt)2,,+'-8

n+l

ηι=(3∏-4)2+8

21.第22屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行，這是我國繼北京后第二次舉辦

亞運會.為迎接這場體育盛會，浙江某市決定舉辦一次亞運會知識競賽，該市A社區(qū)舉辦了一場選

拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A社區(qū)參加市亞運知

識競賽.已知A社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為3、3、；，通過初

賽后再通過決賽的概率均為;，假設(shè)他們之間通過與否互不影響.

(1)求這3人中至多有2人通過初賽的概率；

(2)求這3人中至少有1人參加市知識競賽的概率；

(3)某品牌商贊助了A社區(qū)的這次知識競賽，給參加選拔賽的選手提供了兩種獎勵方案：

方案一：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎，每人抽獎1次，每次中獎的概率均為4,且每次抽獎互

不影響，中獎一次獎勵600元;

方案二：只參加了初賽的選手獎勵200元，參加了決賽的選手獎勵500元.

若品牌商希望給予選手更多的獎勵，試從三人獎金總額的數(shù)學期望的角度分析，品牌商選擇哪種方

案更好.

【答案】⑴蔡

竭

（3）方案二更好，理由見解析

【分析】（1）計算出3人全通過初賽的概率，再利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）計算出3人各自參加市知識競賽的概率，再利用獨立事件和對立事件的概率公式可求得所求事

件的概率；

（3）利用二項分布及期望的性質(zhì)求出方案一獎金總額的期望，對方案二，列出獎金總額為隨機變量

的所有可能取值，并求出對應(yīng)的概率，求出其期望，比較大小作答.

【詳解】（1）解：3人全通過初賽的概率為p?Yχ!=-L,

[2}312

所以，這3人中至多有2人通過初賽的概率為I-A=

（2）解：甲參加市知識競賽的概率為乙參加市知識競賽的概率為

236236

丙參加市知識競賽的概率為:χg=",

所以，這3人中至少有1人參加市知識競賽的概率為1-（l-?）×^1-1L∣1.

（3）解：方案一：設(shè)三人中獎人數(shù)為X,所獲獎金總額為y元，則y=6∞x,且X

所以/丫）=600￡：5）=600乂3*；=900元，

方案二：記甲、乙、丙三人獲得獎金之和為Z元，則Z的所有可能取值為600、900、1200、1500,

5

P(Z=900)=C^-+

V2

P(Z=I200)=

P(Z=1500)=Ir?

所以，E(Z)=6(X)χJ+900χW+1200χ,+1500χL=1000.

612312

所以，E(y)<E(Z),

所以從三人獎金總額