2022-2023學年上海市控江中學高二年級上冊學期期中考數學試卷含詳解

控江中學2022學年第一學期高二年級數學期中

2022.11

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.

1.某醫(yī)療機構有4名新冠疫情防控志愿者，現要從這4人中選3個人去3個不同的社區(qū)進行志愿服務、則不同的

選擇辦法共有種.

2.若平面α截球。所得圓的半徑為2cm,球的半徑為癡cm,則球心O到平面α的距離為cm.

3.在棱長為1的正四面體ABC。中，點A到平面BC。的距離為.

4.設ABCO是一個正方形，平面ABC。，PA=AB,則二面角P-BC-A的大小為.

5.若圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則此圓錐的底面半徑為.

6.已知球的表面積是16萬，則該球的體積為.

7.若正四棱臺的上底邊長為2,下底邊長為8,高為4,則它的側面積為.

8.棱柱ABCZ)-AACQ的底面ABCo是邊長為1的正方形，且NAAD=NAAB=60。，AA=2,則此棱柱的體積

為.

9.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該正四棱錐的高為邊長的一個正

方形面積與該正四棱錐一個側面三角形的面積相等，則此正四棱錐側面與底面所成的二面角的余弦值為.

10.對于任意正整數”，定義“〃的雙階乘〃!!"如下：對于"是偶數時，”!!="("-2)5—4)X…x6x4x2;對于"是

奇數時，〃!!=〃5-2)(〃-4)*~、5乂3、1.現有如下四個命題：①(2021!!)?(2022!!)=2022!;②2022!!=2κm?1011!；

③2022!!的個位數是0；④2023!!的個位數是5.正確的命題序號為.

11.在直三棱柱ABC-AB∣G中，ABYBC,AB=BC=CG=2,點尸在棱BC上運動，則過點尸且與AC垂直的平

面α截該三棱柱所得的截面面積的最大值為.

12.空間給定不共面的A,B,C,。四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質的平面a：A,B,

C,D中有三個點到的距離相同，另一個點到心的距離是前三個點到a的距離的2倍，這樣的平面”的個數是

個

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙

的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.在三棱錐4—8Co中，若ADJ.BC,ADJ.BD,那么必有（）

A.平面4）C，平面BQDB.平面ABC工平面88

C.平面ABf）J_平面AZ）CD.平面ABf），平面A8C

14.下列命題中，正確的是（）

A.一條直線和兩條平行直線中的一條相交，必和另一條也相交

B.一條直線和兩條平行直線中的一條確定一個平面，必和另一條也確定一個平面

C.一條直線和兩條平行直線中的任何一條都無公共點，當它和其中一條是異面直線時，它和另一條也必是異面直

線

D.一條直線和兩條平行直線中的任何一條都無公共點，則這三條直線平行

15.正方體ABa）-AAG。的棱長為1,點P在正方體內部及表面上運動，下列結論錯誤的是（）

A.若點尸在線段CC上運動，則A尸與A8所成角的范圍為■!微

πIT

B.若點P在矩形BZ）Rq內部及邊界上運動，則AP與平面8。。片所成角的取值范圍是

C.若點P在4A4C內部及邊界上運動，則AP的最小值為友

3

D.若點P滿足AP=I,則點P軌跡的面積為5

16.空間中到正方體A8C0-A4G。棱A"，AB,CG所在的直線距離相等的點有（）

A.0個B.2個C.3個D.無數個

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

17.如圖，梯形ABCD滿足AB〃CD,NABC=90,AB=2√5,BC=1,NBAO=30,現將梯形ABCD繞AB所在直線旋

轉一周，所得幾何體記敘C

⑴求Ω的體積V

⑵求Ω的表面積S

18.已知ABC。-ABIGA是底面邊長為1的正四棱柱，高AA=2.求:

⑴異面直線3。與所成的角的大小(結果用反三角函數表示)；

⑵四面體ABaC的體積.

19.如圖，在長方體ABCO-A/BQD中，AΛ∕=1,AB=AD^2,E、尸分別是A3、BC的中點.

(1)證明：A/、CAF、E四點共面；

(2)求直線Ca與平面A/C/FE所成的角的大小.

20.如圖，AB是圓。的直徑，點C是圓0上異于A,8的點，Po垂直于圓0所在的平面，且Po=OB=1,

P

(1)若。為線段AC的中點，求證：ACJ_平面P。。；

(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值；

(3)若BC=拒，點E在線段PB上，求CE+0E的最小值.

21.如圖在四面體ABC。中，AABC是邊長為2的等邊三角形，△08C為直角三角形，其中。為直角頂點,

ZZ)CB=60o.E、RG、，分別是線段AB、AC、CD、08上的動點，且四邊形EFGH為平行四邊形.

(1)求證：BC〃平面EFGH

(2)試探究當二面角A-BC-D從0。增加到90。的過程中，線段OA在平面BCO上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積;

4/71

(3)設且AACC是以CD為底的等腰三角形，當2為何值時，多面體ADEFG”的體積恰好為了？

AB4

1.24

【分析】根據題意分兩步，第一步先從4人中選出3人，第二步再安排到3個不同的社區(qū)，

根據分步計數原理即可得到結果.

【詳解】由題意可分兩步，第一步先從4名新冠疫情防控志愿者選出3人，共有C：種方法；

第二步選出的3人去3個不同的社區(qū)，共有A；種方法，根據分步計數原理可知，

不同的選擇辦法共有C：A：=4x6=24種，

故答案為：24

2.√2

【分析】根據球的截面圓性質計算.

【詳解】R=?/e>r=2.

由題意球心到截面的距離為d=TF=7=√(√6)2-22=√2.

故答案為：√2.

3.巫##1后

33

【分析】過點B、C分別作CFLBD,垂足分別為E、F,且BECCF=O,連接A0、AE.AF,先

證明AOL平面8CO,則A到平面Bco的距離為Ao的長度，在結合勾股定理求解即可.

【詳解】過點8、C分別作BEJ_CD,CFlBD,垂足分別為E、F,且BECb=。，

連接A0、AE.AF,

在正四面體ABCD中，ABCD為等邊三角形,

所以E、尸分別為CO、3。的中點，

所以AELC3,AFlBD,

又AElBE=E,AE,BEU面ABE；AFCCF=F,AF,CFU平面ACF,

所以CE>_L平面ΛBE,平面ACF,

又AoU平面ABE,AOU平面ACF,

所以COLAO,BDLAO,

又C￡>IBD=D,CD、8。U平面BCr>,

所以AOJ_平面BCD,即A到平面BCD的距離為AO的長度，

由于BC=CD=I,所以BE=NBC?-CE)=B,同理AE=且，

22

則OE=LBE=@，

36

所以在RtZ?A0E中，AO=yJAE2-OE2=—.

3

【分析】連接PB,證明NPBA為二面角P-BC-A的平面角，根據P4=AB求出NPBA即可.

【詳解】解：連接尸8,因為PA_L平面A8CD,BCABCD,所以上4L8C,又在正方形45CO中，ABlBC,

PAYAB=A,所以BC人平面R4S,

PBU平面R48,則BC/PB,所以NPSA為二面角P-BC-A的平面角.

在直角三角形Q48中，PA=AB,所以NP8A=45°.

故答案為：45

【分析】利用圓錐的側面展開圖，求出圓錐的底面周長，然后求出底面半徑.

【詳解】圓錐的側面展開恰為一個半徑為2的半圓，所以圓錐的底面周長為半圓的弧長：∕=2π,設底面圓半徑為L

則有2πr=2兀,所以底面半徑為：1.

故答案為：1

,32〃

6.---

3

【解析】設球的半徑為后代入表面積公式，可解得丁=2,代入體積公式，即可得答案.

【詳解】設球的半徑為心則表面積S=4∕=i6萬，

解得r=2,

44X)π

所以體積V乃x23=彳，

333

故答案為：岸32?

【點睛】本題考查已知球的表面積求體積，關鍵是求出半徑，再進行求解，考查基礎知識掌握程度，屬基礎題.

7.100

【分析】根據正四棱臺的結構特征，借助其高、斜高、兩底面對應邊心距構成的直角梯形求出斜高即可計算得解.

【詳解】因正四棱臺的上底邊長為2,下底邊長為8,高為4,則該正四棱臺上底、下底面邊心距分別為1,4,

而正四棱臺的高、斜高、兩底面對應邊心距構成直角梯形，于是得斜高”=λ∕42+(4-l)2=5,

O_i_Q

因此，側面積S=4x-y^x5=100,

所以所求的側面積為100.

故答案為：100

8.√2

【分析】設AC和8。交于點O,在AA1AB中，求出AB；在AAQB中，求出人。；在；4①。中，求出NAA。；過

A作AEL底面ABa),垂足E在對角線AC上，在MAAE中，求出棱柱的高43,利用棱柱的體積公式求解即

可.

【詳解】設AC和8。交于點O,

△AA8中，AA1=2,AB=I,NAAB=60。，則AB=JA??+癡-2Λ4,χ4BxcosNAAB=J4+1-2x2xlx；=6

同理A。=^

中，48=40=6，BD=垃,則AO=J3-；=萼

_,,,??

AA。中，A4=2,AO=—,A.O=—,則COSZAAO=AJ+二丁-=-?=^,即NAAO=45°

l1I

2"22x4AXAO2χ2χ√22

Xxτ

「ZΛlAC=ZAlAB,.?.過A作AlEjL底面ABC￡),垂足E在對角線AC上，

在RJAAE中，AA=2,ZA1AO=45°,則Λ1E=0

此棱柱的體積為丫=5Λ=12×√2=√2

故答案為：√2

β

/B

9.鋁

【分析】如圖在正四棱錐P-ABC。中，ACQBD=O,M為BC邊上的中點，則NoMP即為側面PBC與底面ABeE)

所成角的平面角，再設正四棱錐P-ABcZ)的高為一，底面邊長為“，側面三角形底邊上的高為〃，根據題意求出。，/?

的關系，從而可得出答案.

【詳解】如圖在正四棱錐P-ASCD中，ACBD=O,M為BC邊上的中點,

則OP為正四棱錐P-ABa）的高，PMBC,OM^BC,

則ZOMP即為側面PBC與底面ABCO所成角的平面角，

設正四棱錐P-ABCD的高為d,底面邊長為“，側面三角形底邊上的高為力，

根據題意得，該四棱錐的高為邊長的正方形面積Sl=屋,

該四棱錐一個側面三角形的面積昆=JM,

又因號=邑，JiA2=J2+-,所以"2-V='M,即??-1?4-L=0,

442a22a4

因此些=避±1,

a4

√5-l,

cosZOMP=-

MP2

即此正四棱錐側面與底面所成的二面角的余弦值為足?.

故答案為：--

2

10.①②③④

【分析】根據"的雙階乘的定義可直接驗證知①正確；將2022!!展開式各項提出2之后，即可知②正確；由2022!!展

開式中含因數因數10可知③正確；結合2019!!的個位數可推導得④正確.

【詳解】對于①，(2021!!)?(2022!!)=(2021×2019×2017×???×3×l)×(2022×2020×2018×???

×4×2)=2022×2021×2020×???×3×2×l=2022!,①正確;

對于②，2O22!!=2O22×2O2O×2O18×-×6×4×2=2IO"×(1O11×1O1O×1OO9×???×3×2X1)=2IO"?IO11!,②正確;

對于③，2022!!的展開式中含因數10,.?.其個位數為0,③正確；

對于④，2019!!=2019×2017×2015×???×9×7×5×3×l,

2019!!的個位數與與3x5x7x9的個位數相同,個位數為5；

又2023!!=2023x2021x2019!!,.?.2023!!的個位數與3x1x5相同，個位數為5,④正確.

故答案為：①②③④.

l?.2√2

【分析】根據線線垂直，證明線面垂直，找到與AC垂直的平面MNB",從而平面ɑ//平面MNq8,由此能求出

過點P且與AC垂直的平面α截該三棱柱所得的截面面積的最大值.

取中點為中點為連接

ACM,AGN,BM,B1N,MN,

則有_LAC,且MN/∕BB∣,

因為三棱柱ABC-是直三棱柱，故BB∣_L平面A8C,

所以MTVJ"平面A8C,即MN,AC,BMMN=M,所以ACJ_平面MN8∣B,

???平面0〃平面仞7818,

因為點P在棱BC上運動，；.當點P運動到點B時，此時截面最大，進而面積最大，

此時夜

BM=；AC=近,MN=2,SZJMNil=MB?Λ∕N=χ2=2√∑.

故答案為：2√∑.

12.32

【分析】按照四個點的位置不同分類討論，即可求解

【詳解】首先取3個點相等，不相等的那個點由4種取法；

然后分3分個點到平面ɑ的距離相等，有以下兩種可能性：

(1)全同側，這樣的平面有2個；

(2)不同側，必然2個點在一側，另一個點在一側，

1個點的取法有3種，并且平面過三角形兩個點邊上的中位線，

考慮不相等的點與單側點是否同側有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個平面，

故共有6個，

所有這兩種情況共有8個，綜上滿足條件的這樣的平面共有4x8=32個，

故答案為：32

13.A

【解析】由已知條件推導出AO_L平面BcD,結合面面垂直的判定定理可判斷A選項的正誤；利用面面垂直的性質

定理可判斷BCD選項的正誤.

【詳解】ADLBC,ADJ.BD,且BC平面8CO.

對于A選項，AOu平面Ar>C,所以，平面A￡>C_L平面88,A選項正確；

對于B選項，若平面ABC上平面88,過點A在平面HBC內作AELBC,如下圖所示:

由于平面ABC上平面Be。，平面ABCC平面3CZ)=3C,AEj.BC,AEU平面ABC,

.?.AE_L平面BCD,

又A￡>_L平面BeD,過點A作平面BC。的直線有且只有一條，假設不成立，B選項錯誤；

對于C選項,若平面MO,平面ADC,平面ABr)C平面ADC=A￡),AD∕3f),BQU平面Aβf>,二加)J_平面ADC,

8(=平面4￡>6,則即_18,而50與C￡>是否垂直未知，C選項錯誤；

對于D選項，過點。在平面ABD內作。FJ.AB,垂足為點尸，

若平面_L平面ABC,平面ABDc平面ABC=A8,DFYAB,/)尸U平面ABr),

所以，Z)Fl平面ABC,

BCu平面A5C,.-.BCLDF,

BClAD,DFoAD=D,BC_1_平面A8/),

(^8￡)(=平面4如，,8。_18。，但BC與5。是否垂直未知，D選項錯誤.

故選：A.

【點睛】方法點睛：證明面面垂直常用的方法：

(1)面面垂直的定義；

(2)面面垂直的判定定理.

在證明面面垂直時，一般假設面面垂直成立，然后利用面面垂直轉化為線面垂直，即為所證的線面垂直，組織論據

證明即可.

14.C

【分析】由空間中直線與直線的位置關系，結合異面直線的定義逐一分析四個選項得答案.

【詳解】一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則和另一條相交或異面，A錯誤：

一條直線和兩條平行直線中的一條確定一個平面，設?！?/與4確定一個平面，則/與α平行或相交，如下圖/

與。相交的情況，/與b異面，B錯誤；

b

一條直線和兩條平行直線中的任何一條都無公共點，當它和其中一條是異面直線時，它和另一條如果不是異面直線,

即與另一條平行，由平行公理知：三條直線互相平行，與題設有矛盾，C正確；

一條直線和兩條平行直線中的任何一條都無公共點，則這三條直線平行或直線與兩平行直線都異面，D錯誤.

故選：C

15.B

【分析】根據線線角的定義可知：當點P與C,R重合時最小，點P在。C的中點7時最大即可確定范圍.當垂直時,

線面角最大，當尸與重合時,線面角最??；當AP工平面ABC時，此時AP最小;根據點P的運動軌跡為球面的

一部分即可求解.

【詳解】連接AA,AC,RC,則CA為等邊三角形，當點尸與C,R重合時,AP與AB所成角最小為W，當點尸在。C

的中點T時，AP與AB所成角最大為，，故A對.

連接AC交8￡)于。,故AC1BD,AC1BB1,8Z)CBg=3,則AO±平面BoQ6,故當P與。重合時，AP與平面

BCnA所成角最大為當尸與。,瓦重合時,此時AP長度最大，此時AP與平面4所成角最小，最小角為

乙屹0=5,故AP與平面皿)4所成角的取值范圍是［沿］,故B錯誤.

oLb2

AC=AD=AG=4〃=BC=CR=亞四面體A-CBQi是正四面體，棱長為0,等邊ARBC的中線長為

與0=逅，故四面體的高為卜?_以幻=當API平面WC時，此時AP的最小值為馬叵.故C

22，(32J33

對.點尸滿足”=1時，此時P在以A為球心，半徑為1的球面上，又因為點尸在正方體內部及表面上運動，故點P

11-JT

在5的球面上運動，故面積為qx4πχl2=g,故D對.

o82

故選:B

16.D

【分析】建立空間直角坐標系，設該正方體的棱長為1.連接B、D,并在BQ上任取一點P,設P(a,a,a),其中O≤α≤l,

作PE，平面4。，垂足為E,再作42,垂足為尸，即可得到點尸到直線AR的距離，同理得到點P到直線

AB、CG的距離，即可判斷.

【詳解】在正方體ABC。-A4GA上建立如圖所示空間直角坐標系，

并設該正方體的棱長為1,連接BQ,并在BQ上任取一點尸,

因為。4=(1,1,1),所以設P(α,α,α),其中O≤α≤l.

作尸E_L平面A。，垂足為E,再作EFLA2,垂足為F，

22

則尸產是點P到直線AR的距離，所以PF=y∣a+(?-a)；

同理點P到直線A艮CG的距離也是擊2+(]_幻2.

所以4。上任一點與正方體ABCD-AsCQl的三條棱A3、CG、AR所在直線的距離都相等,

所以與正方體ABCD-ASGR的三條棱A8、CCP42所在直線的距離相等的點有無數個.

故選：D.

17.(1)—π(2)3π+2√3π

【詳解】試卷分析：（1）旋轉體為一個圓錐與一個圓柱，根據圓柱與圓錐體積公式求體積，最后求和得Ω的體積V

（2）表面積為圓錐側面積與圓柱側面積以及一個底面圓的面積之和，代入對應公式可得結果

試卷解析：

<1)過DttDE"BC幺dBjE

由己知ED=BC=I?AE=EB=4.

Γ?V=??∕r?t:?VJ÷??I:?y/y=~V5∕r-

<2)S=Λ,?1?2÷Λ,?!J÷2∕r?V3≡3<÷2?∕3zr.

18.(1)areeos?^?^

10

⑵I

【詳解】解：⑴連BC,AB∣,BQ,AR,?.?BD//BtDt,ABt=AD1,

，異面直線BD與AB1所成角為ZAB1D1,記NABB=8,

222

AB1+B1D1-AD1√10

cos0=-

2Aβl×BlDi-?

異面直線30與ABl所成角為arccos叵.

10

⑵連AC,Cq,CR,則所求四面體的體積

Vv4v24

=AβCD-Atβ,ClDl-×C-βlClD,=-×l=l?

19.⑴證明見解析

（2）ares?n叵

^15

【分析】（1）連接AC,利用三角形中位線和直線平行傳遞性可證;

（2）建立空間直角坐標系，由向量法直接計算可得.

【詳解】（1）連接AC,

VE,尸分別為A3、BC的中點，

.,.EF//AC,

又：AA/〃CG,

四邊形ACC1A1為平行四邊形,

.?AlC∣∕∕AC,

：.AlCi//EF,

所以A/,Ci,F、E四點共面；

(2)如圖，以￡＞為坐標原點建立空間直角坐標系，

可得有關點的坐標為4(2,0,1),E(2,1,0),F(1,2,0),C(0,2,0),Di(0,0,1),

則EF=(TI,0),AE=(0,1,T),CR=(0,-2,1),

設平面A/GFE的法向量為"=(x,y,z),

n?EF=-%+y=0/、

故(,取X=LW/2=(1,1,1),

,

77?AIE=J-Z=O

記直線CQ/與平面A/C/FE所成的角為仇

則謂二心=普’

20.(1)證明見解析

^√2+√6

【分析】(1)由題意可證AC，。。，XPOLAC,即可證明ACL平面「。。.

(2)當COJ_AB時，C到AB的距離最大且最大值為1,又AB=2,即可求△ABC面積的最大值，又三棱錐P-4BC

的高PO=I,即可求得三棱錐P-ABC體積的最大值.

(3)可求PB=戶于=0=PC，即有PB=PC=BC,由OP=OB,CP=CB,可證E為PB中點，從而可求

OC=OE+EC,從而得解.

【詳解】(1)在AAOC中，因為OA=OC,。為AC的中點，所以AC_Lo。，又Po垂直于圓。所在的平面，所以

POLAC,

因為。OnPo=。，QO,POu平面尸DO,所以ACJ_平面尸。O.

（2）因為點C在圓。上，所以當C。，AB時，C到AB的距離最大，且最大值為1,又AB=2,

所以△ABC面積的最大值為:x2xl=l,又因為三棱錐P-ABC的高PO=I,

故三棱錐P-ABC體積的最大值為：∣×1×1=∣.

（3）在APOB中，PO=OB=I,ZPOB=Wo,所以尸B=&，

同理PC=及，所以PB=PC=BC,在三棱錐P-ABC中，將側面8CP繞PB旋轉至平面BCT5,使之與平面ABP

共面，

如圖所示，當0,E,C共線時，CE+0E取得最小值，

又因為OP=O8,CP=CB,所以OC垂直平分PB,即E為尸8中點.

從而OC=0E+EC=->.亦即CE+OE的最小值為：走上色.

⑵乎

⑶T

【分析】（1）利用線面平行的性質和判