2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，4名大學(xué)生將參加冬奧會志愿者服務(wù)，他們被隨機(jī)

安排到3個場館工作，每人只能去一個場館，每個場館至少一人，則不同的安排方案有（）

A.16種B.36種C.48種D.60種

【答案】B

【分析】將4人分成3組，再分配到3個場館，進(jìn)而求得答案.

C；xC；xC；

【詳解】先將4人分成3組，然后再分配到3個場館，一共有XA：=36種不同的方案.

AΓ^

故選：B.

2.將6個人（含甲乙兩人）平均分成3組，則甲乙不在同一組的概率為（）

1ClC4C14

A.—B.-C.-D.—

155515

【答案】C

【分析】由組合數(shù)求出6人任意分組、甲乙在同一組的分法，應(yīng)用古典概率的求法求概率即可.

【詳解】由題意，6人任意分組共有岑二?種分法，其中甲乙在同一組的情況有宇種，

A；A；

所以甲乙在同一組的概率為梟，?々=:，故甲乙不在同一組的概率為I-：==

C；C；C；A；555

故選：C

3.甲、乙兩個箱子里各裝有5個大小形狀都相同的球，其中甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中

有2個紅球和3個白球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則取出的

球是紅球的概率為（）

1C13-17r13

A.-B.—C.—D.—

5303025

【答案】B

【分析】根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)事件A表示從甲箱中隨機(jī)取出一紅球放入乙箱中，事件8表示從甲箱中隨機(jī)取出一白球

放入乙箱中，設(shè)事件C表示：從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則取

出的球是紅球，

331221

則有：P(A)=÷,P(C∣A)=^=-,P(B)=-,P(C∣A)=-=-,

5o2563

312113

所以P(C)=P(A)P(C∣A)+P(B)P(C∣B)=→-+-×-=—,

∕/‰-**HZ

故選：B

4.將3本不同的畫冊和2本相同的圖冊分給甲、乙、丙三人，要求每人至少1本畫冊或圖冊，則不

同的分法共有()

A.90種B.93種

C.96種D.99種

【答案】B

【分析】先分組后分配，可分為3,?,1或2,2,1,然后分配即得.

【詳解】由題可知把5本書先分組后分配，可分為3,1,1或2,2,1兩種情況，然后分配給甲、

乙、丙三人，

分為3,1,1時，當(dāng)兩個1都是圖冊時，不同的分法共有C；=3種；當(dāng)兩個1都是畫冊時，不同的

分法共有仁&=18種；當(dāng)兩個1為一本圖冊一本畫冊時，不同的分法共有C；A；=18種；

分為2,2,1時，當(dāng)兩個2中有一個2為2本圖冊時，不同的分法共有=18利，；當(dāng)兩個2中各

有一本圖冊時，不同的分法共有C；A；=18種；當(dāng)單獨(dú)的1是一本圖冊時，不同的分法共有C；&=18

種.

所以，將3本不同的畫冊和2本相同的圖冊分給甲、乙、丙三人，要求每人至少1本畫冊或圖冊，

不同的分法共有3+5x18=93種.

故選：B.

5.已知α=lnL21,?=0.21,c=e02-1,則()

A.a>b>cB.c>a>h

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得到α<b;再構(gòu)造函數(shù)

g(x)=et-lχ2-x-l,Λ∈[0,l],進(jìn)而得到c>"由此得解.

【詳解】令/(x)=In(I+x)-x,X∈[0,-KΛ),

則r(X)=一一—ι=F2≤o,故/(x)在[0,+8)上單調(diào)遞減，

所以.”0.21)</(O)=O,,即In(1.21)-0.21<0,即In(L21)<0.21,故a<b；

令P(X)=e'-x—l,則/(x)=e'-l,所以P(X)在(一匕0)上單調(diào)遞減，在(0,+功上單調(diào)遞增，所以

p(x)≥p(0)=0,

4?g(?)=e'-→2-Λ-l,xG[0,l],g(0)=0,

所以F(X)=e，-x-lNO,所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,

g(0.2)=eα2-0.02-0.2-1>^(0)=0,

所以c=e°2-l>0.22>0.21,所以6<c；

綜上：c>b>a.

故選：C.

【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：

一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的

應(yīng)用；

二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

6.立德中學(xué)舉行“學(xué)習(xí)黨代會，奮進(jìn)新征程”交流會，共有6位老師、4位學(xué)生進(jìn)行發(fā)言.現(xiàn)用抽簽

的方式?jīng)Q定發(fā)言順序，事件4(l≤%≤10次€N)表示“第z位發(fā)言的是學(xué)生"，貝IJ()

A.∕3(A)=∣B.P(AΛ)=-

d

c?P(A(JA)W?P(A+&)=：

【答案】c

【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算，結(jié)合古典概型的概率計算公式即可根據(jù)選項逐一求解.

C1?9O

【詳解】因為尸(Az)=??=(,所以A錯誤.

Alo3

A2A8O

因為P(AA)=M=77,所以B錯誤.

?io13

A書

因為P(Aj4)=夕竄=孚=：所以C正確?

5

因為P(A+4)=1—P(而)=1一禁?=：,所以D錯誤.

AIe3

故選：C

7.綠水青山就是金山銀山，浙江省對“五水共治”工作落實很到位，效果非常好.現(xiàn)從含有甲的5位

志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個省市宣傳，每個省市至少一個志愿者.若甲不去安徽，

其余志愿者沒有條件限制，共有多少種不同的安排方法()

A.228B.132C.180D.96

【答案】B

【分析】本題分抽取的4人中含甲和不含甲兩大類討論，采取捆綁法分析情況，再利用加法和乘法

原理得到所有情況即可.

【詳解】4人去3個省份，且每個省至少一個人則必會有兩人去同一省份，

若抽取的4人中不含甲，在這四人中任意取兩人進(jìn)行捆綁，則共有CjA；=36種，

②若4人中含有甲，則在剩余的4人中抽取3人，共有C：=4利b接下來若甲和另1人去同一省份,

則共有C"；.A；=12種，若甲單獨(dú)一人去一個省份，則共有C；(C；+A；)=12種，根據(jù)加法和乘法原

理可得共有，此類情況共有4x(12+12)=96種

綜上共有36+96=132種.

故選：B.

8.若存在X?1,+8),使得關(guān)于X的不等式(1+gJ”≥e成立，

則實數(shù)。的最小值為()

D.-!--1

A.2B.C.1∏2-1

ln2m2

【答案】D

【分析】由(l+gj"≥e兩邊取對數(shù)可得(％+〃)In(l+g)≥l,令1+1=f,則不等式可轉(zhuǎn)化為

X

['γ+α]lnr≥l,即α≥J故根據(jù)題意可得求J-

二的最小值即可，令

V-I)In/t-?Inrt-1

g(x)=J——!-,x∈(l,2],通過求導(dǎo)可得g(x)的最小值即可

InxX-I

【詳解】由11+Jj“ze兩邊取對數(shù)可得(x+a)ln(l+l)≥l①

令l+g=r,貝!Jx=*,因為XwI,y)，所以r∈(l,2],

則①可轉(zhuǎn)化得(￡+'lndl,

.,>J___L

因為Ln∕>O,0

Inrz-1

因為存在XW［1,+8),使得關(guān)于X的不等式(1+ij,+a≥e成立,

所以存在≥------二成立，故求----?的最小值即可,

In/t-?Inrt-?

令g*)=7^-------^?,x∈(l,2]

InxX-I

]+]_X(InN)?一(丁-1)2(Inx)2--~~—(?nx)2-x--+2

「?g'(x)=-

X?n*(DX(D2(In%)2=(?-l)2(Jnx)2=(x-I)2(Inx)2

令h(x)=(InX)2-X--!-÷2,X∈(1,2]

X

*]2InX—X4—

.*./Z(x)=—2Inx-1H———---------------,

XXX

令e(x)=21nx-x+-,x∈(l,2],

X

,21-X2+2x—1—(%—I)2

?φ(X)=-12=-------2——=——2—<0,

XXXX

所以φ(x)在(1,2］上單調(diào)遞減，所以e(x)V。(I)=0,

.?.Λr(x)<0,所以〃(X)在(1,2］上單調(diào)遞減,

所以〃(X)VA(I)=0,.?.gf(x)<0,

???g(x)在(1,2]上單調(diào)遞減，.?.g(x)≥g⑵=」-1,

In2

所以實數(shù)。的最小值為」-1

In2In2

故選：D

【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略:

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍;

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后

構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類

討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

二、多選題

9.在二項式(2x+j=J

展開式中，下列說法正確的是()

A.第三項的二項式系數(shù)為20B.所有項的二項式系數(shù)之和為64

C.有理項共有4項D.常數(shù)項為第五項

【答案】BCD

【分析】先寫出二項式展開式的通項公式,再逐個判斷選項即可.

展開式通項公式為7；M=晨（9）（2x廣=晨26—”[

【詳解】二項式+

對于A:第三項的二項式系數(shù)為戢=15,故A錯誤；

對于B:所有項的二項式系數(shù)之和為26=64,故B正確；

對于C:展開式中當(dāng)r=0,2,4,6時,共有4項有理項,故C正確；

,33

對于D:當(dāng)展開式通項為常數(shù)項時，7；+|=CF"”.,令6=0,

則r=4,則常數(shù)項為第五項,故D正確.

故選：BCD

10.20件產(chǎn)品中有18件合格品，2件次品，從這20件產(chǎn)品中任意抽取3件，則抽出的3件產(chǎn)品中

至少有1件次品的抽法表述正確的是（）

A.e-?B.GG+G?CsC.?-c≡8D.CC

【答案】BCD

【分析】直接法：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品有兩種可能：恰有1件次品和恰有2件次品，

運(yùn)即可算求解；間接法：法一：20件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法減去沒有次品（全為合格品）的抽

法；法二：先抽取1件次品，再從剩余的19件中任取2件，減去重復(fù)一次的情況（2個次品）.

【詳解】直接法：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品有如下可能：

抽出的3件產(chǎn)品中恰有1件次品的抽法C；.Cf95

,

抽出的3件產(chǎn)品中恰有2件次品的抽法C；?C,8；

故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為C1C：8+C1C：8,A錯誤，B正確；

間接法：法一：這20件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法為C；。，抽出的3件產(chǎn)品中沒有次品（全為合格

品）的抽法為C1

故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為C；0-C3C正確；

法二：先抽取1件次品，再從剩余的19件中任取2件，抽法為C[C＞但2個次品的情況重復(fù)一次,

抽出2個次品的抽法為C；?C；8，

故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為C；-C：9-C1C：8,D正確；

故選：BCD.

7

11.已知(1一2x)7=%+4(x-l)+%(x-1)2++α7(x-l),下列結(jié)論正確的有()

37-1

A.。2=-84B.+。5+。7=-一

+6

C.?y+^?++/=0D.4+2%+3%++7α7=-14×3

【答案】AD

【分析】由賦值法判斷BC；令x-l=f,由二項式定理結(jié)合賦值法判斷AD.

72

【詳解】HJ?(l-2x)=ɑ0+a1(x-l)+?(x-l)++47(x-1)、

令X=2,則-3‘=%+4+%++%，令X=O,則1=%—q+4+一％，

所以4+/+%+%=.32—1,故B錯誤；

令X=彳，則++4=一128,故C錯誤：

222227

令A(yù)"—I=，，則X=f+1,所以(―1—2f)=CIQ÷Clyt÷~÷+%〃，

通項為J=G(-l)f(-2/)',所以α2=C(-l)5(-2)2=-84,故A正確；

令/(，)=(—1—2/)=。0+4/+。,廠++%f',

b

則-?)=_14(_]_2"6=4+2a2t++la1t,

6

令f=l,得α∣+2°2++1a1=-14×3,故D正確.

故選：AD

12.某校共有東門、西門、北門三道校門.由于疫情防控需要，學(xué)校安排甲、乙、丙、丁4名教師志

愿者分別去三道校門協(xié)助保安值守，下列選項正確的是()

A.若對每名教師志愿者去哪道校門無要求，則共有81種不同的安排方法

B.若恰有一道門沒有教師志愿者去，則共有42種不同的安排方法

C.若甲、乙兩人都不能去北門，且每道門都有教師志愿者去，則共有44種不同的安排方法

D.若學(xué)校新購入20把同一型號的額溫槍，準(zhǔn)備全部分配給三道校門使用，每道校門至少3把，則

共有78種分配方法

【答案】ABD

【分析】求得若對每名教師志愿者去哪道校門無要求的安排方法數(shù)判斷選項A；求得若恰有一道門

沒有教師志愿者去的安排方法數(shù)判斷選項B；求得若甲、乙兩人都不能去北門，且每道門都有教師

志愿者去的安排方法數(shù)判斷選項C；求得20把同一型號的額溫槍，全部分配給三道校門且每道校門

至少3把的分配方法數(shù)判斷選項D.

【詳解】甲、乙、丙、丁4名教師志愿者分別去東門、西門、北門三道校門協(xié)助保安值守

選項A：若對每名教師志愿者去哪道校門無要求，

則共有3"=81種不同的安排方法.判斷正確；

選項B：若恰有一道門沒有教師志愿者去，

則可以先把4名教師分成2組，再分配給東門、西門、北門三道校門.

則共有（C；C；+W）A；=42（種）不同的安排方法.判斷正確；

選項C：若甲、乙兩人都不能去北門，且每道門都有教師志愿者去，

則北門可以安排1名教師或安排2名教師.

則共有C；C；C；A；+C；A；=14（種）不同的安排方法.判斷錯誤；

選項D：若學(xué)校新購入20把同一型號的額溫槍，準(zhǔn)備全部分配給三道校門使用，

每道校門至少3把，則先分配給三道校門各2把，還剩14把，

將14把額溫槍排成一排，在中間13個空位中置入2個擋板，

共有＜?=78（種）分配方法.判斷正確.

故選：ABD

三、填空題

13.把6本不同的書分給甲乙丙丁4個人，每人至少得一本，則不同的分配方法.

【答案】1560

【分析】分兩種情況：一人3本，三人1本和兩人2本，兩人1本，先分成4堆，然后再分給甲乙

丙丁4個人.

【詳解】若有一人3本，三人1本，有C：A：=480種分配方法；

L

若有兩人2本，兩人1本，有比TA：=1080種分配方法;

則共有1080+480=1560種分配方法.

故答案為：1560

14.袋中裝有編號為1,2,…,10的10個球，先從袋中一次性任取兩個球，在取出的兩個球編號之和為

偶數(shù)的條件下，2號球被取出的概率為.

【答案】∣∕0.2

【分析】根據(jù)條件概率公式計算可得結(jié)果.

【詳解】記事件A為“取出的兩個球編號之和為偶數(shù)”，事件8為“2號球被取出”，

4

_1

45-

則P(A)=Cry=型，,P(AB)=??=3,.?.p(BIA)=尸，；)=45-

一459、/。45v1,P(A)

9-

即在取出的兩個球編號之和為偶數(shù)的條件下，2號球被取出的概率為g

故答案為：—.

15.設(shè)機(jī)為正整數(shù)，(x+y)”"展開式的二項式系數(shù)的最大值為。,(x+y尸展開式的二項式系數(shù)的最大

值為"若13a=7b,則(必+x+y)”'的展開式中，的系數(shù)為.

【答案】60

【分析】由二項式定理及134=76列方程求得，”=6,再確定丁丁的系數(shù)即可

【詳解】由題設(shè)知：a=C?,b=C%,則13CM=7C%,即曳0史=上空，解得帆=6,

tn?m?6!×7!

而(χ2+χ+y)6=[(χ2+χ)+y]6,又含y2項為Cj(χ2+χjy2,又(f+χ)4=χ4(χ+])4,含『項為4『,

故丁丁的系數(shù)為：4戢=6().

故答案為：60

16.若存在直線與函數(shù)/(x)=e*τ,gQ)=lnx+α的圖象都相切，則實數(shù)a的最大值為.

【答案】1

【分析】先由函數(shù)圖象特征確定"的范圍，再設(shè)出直線與曲線〃x)=ei,g(x)=lnx+“相切的切

點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立函數(shù)，探求最值作答.

【詳解】因存在直線與函數(shù)/(x)=e"T,g(x)=lnx+α的圖象都相切，由函數(shù)〃力=4，

g(x)=lnx+α的圖象知，

必有函數(shù)/(x)=e"τ的圖象在g(x)=lnx+α的圖象及上方，

即Vx>O,f(x)≥g(x)oa<er-1-Inx成立,令φ(x)=ev^1-Inx,x>0,

g'(x)=ei-L在(0,+∞)單調(diào)遞增，而“⑴=0,則當(dāng)0<x<l時，φ(x)<0,當(dāng)x>l時，0(x)>O,

X

因此,O(X)在(0,1)上遞減，在(L÷∞)上遞增，奴X)min=。⑴=1，則α≤l,

設(shè)直線與曲線/(x)=e*τ,g(x)=lnx+α,a≤l相切的切點分別為(Xo,e""),(f,lnf+α)∕>O,

而/'(x)=eTg'(x)=L于是有：f'(x0)=g'(t),即e"=LXO=I-Inr,

Xt

該直線方程為V-e&T=e~τ(x-x0),點(r,lnr+a)在此直線上，則Inr+α-！=1?-1+Inf),

tt

士卜FE,ti?1intA,/、t.IntCI.r-?,..,11—Int1—t—Int

整理得：a=l-lnr÷—,令∕z")=l-lnf+—√>0,求導(dǎo)r得i：h'⑴x=--÷——=---∑——,

tttVr

顯然函數(shù)y=lτ-Inr在(0,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)r=l時，"O,當(dāng)0o<l時，"⑺>0,當(dāng)/>1時，

Λ(r)<O,

即函數(shù)/2⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+∞)上單調(diào)遞減，‰x=Λ(1)=1,即α≤l,

所以實數(shù)”的最大值為?.

故答案為：1

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及直線與函數(shù)圖象相切問題，設(shè)出切點坐標(biāo)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解是解

題的關(guān)鍵.

四、解答題

Q1Q1

17.已知數(shù)列也｝和數(shù)列也｝滿足：4=2,?l=l,%=支=%hιι+ι=lbι-Lan.

⑴求證：｛4,+匕｝為等差數(shù)列，｛/-2｝為等比數(shù)列；

⑵若Ca=2>aπ+bn,求數(shù)列｛"C,｝的前〃項和Sn.

【答案】(1)證明見解析，

⑵S,,=3*+3〃+1+(〃-1)2"

【分析】(1)對已知的兩個遞推式分別做加減運(yùn)算，然后利用等差或等比數(shù)列的定義即可證明；

(2)先由(1)的結(jié)論求出也，從而求出％,即可得至Mg,然后根據(jù)〃q,的特點選擇合適的求和

方法(分組求和法和錯位相減法)，從而求出結(jié)果.

31

【詳解】(1)an+i=-an--hl,,①

31

①+②得氏+i+%=a,,+b”,

???｛4+4｝是以4+4=3為首項，公差為O的等差數(shù)列.

①一②得一-%=2(an-bn)，

｛可—2｝是以4=1為首項，公比為2的等比數(shù)列.

1

(2)由(1)得a.+=3,③;an—bll=2",④；

，由③④得4=三，“三?

”,=34+2=9+3x2"、且=6+2f

nnn?2

.?.ncn=n-2'-'+6n,令｛4｝的前，項和為

(=4+4++4-∣+4=1X2。+2x2∣++(〃-l)x2"?+〃X2"I,(5)

2^,=l×2l+2×22++(n-?)×2"-'+n×2n,⑥

由⑤-⑥得：-^=l×20+2'+22++2"^'-n×2,'=^t^J-n×2,'=(l-n)2"-I

F=(〃-1)2"+1,

.5“=>+"(6；6")=3〃2+3〃+]+(〃-])2".

18.在某校舉辦“青春獻(xiàn)禮二十大，強(qiáng)國有我新征程”的知識能力測評中，隨機(jī)抽查了IOO名學(xué)生，

其中共有4名女生和3名男生的成績在90分以上，從這7名同學(xué)中每次隨機(jī)抽1人在全校作經(jīng)驗分

享，每位同學(xué)最多分享一次，記第一次抽到女生為事件A,第二次抽到男生為事件B.

⑴求下(B),P(B∣A),

(2)若把抽取學(xué)生的方式更改為：從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行經(jīng)驗分享，記被抽取的3人中女

生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

O1

【答案】⑴P(B)=,,P(B?A)=~

12

(2)分布列見解析；期望為]

【分析】(1)法一：根據(jù)古典概型結(jié)合條件概率運(yùn)算求解；法二：根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式結(jié)合

條件概率運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.

【詳解】（】）方法一:

4

由題意可得：P（A）=p

“第一次抽到女生且第二次抽到男生''就是事件A8：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件

AB,從7個同學(xué)中每次不放回地隨機(jī)抽取2人，試驗的樣本空間C包含〃（。）=6=7x6=42個等

可能的樣本點,

因為〃(A3)=A；xA；=4x3=12,〃(初)=A；xA；=6,

n（AB）+n（AB）

所以P(B)=

”(Q)

2

故P（BM）=需

7

43323

+

方法二:F^=7×67×Γ7,

“在第一次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概

4432

率,則/(A)=P(AB)=—X-二一

767

2

?P(g∣A)=p^β^=l=-

Vi7P(A)42

7

（2）被抽取的3人中女生人數(shù)X的取值為0,1,2,3,

312

P(X=O)喑C1P(X=D=罟CC囁i?

P(X=2)=喑?,P(X=3吟總,

X的分布列:

X0123

112184

P

35353535

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=Ox*+lx∣∣+2x∣∣+3x尚若

+3

19.已知數(shù)列｛%｝的前W項和為S1,,滿足：S,,=2?-2"+14（n∈N'

（1）求證：數(shù)列｛云｝為等差數(shù)列；

2"

⑵令2=丁,數(shù)列也,｝的前〃項和為7；,若不等式45（Q+∣-Z,）≤毋-5加對任意〃eN*恒成立，求

實數(shù)〃?的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

（2）（-∞,-2]o[7,+∞）

【分析】（1）利用/=S?-5?-l（?≥2）得出｛4｝的遞推關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列的定義可證明結(jié)論成立;

（2）由（1）求得?！?，從而求得包，再求出Q“一，，利用作差法得出｛&”-TJ的單調(diào)性后，可得

最大值，然后再解不等式可得參數(shù)范圍.

【詳解】(1)由題設(shè)，S,,=2%-2-3+i4("wN)］?∣S,ι=2α,z-2"+2+i4(“≥2),

32

所以4=Sπ-Sπ-l=24-2%-2"÷+2*2,整理得%=21+2-÷,則,一招=4,

所以［故［是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列；

(2)由(1)得祟=4〃-3,所以4=2"(4〃—3).

T1111

?=-=7√則％=4〃+「I=TTγ+j^T7+…+FT7，

an4〃-34π÷l4〃+58n÷l

1111

所以c,,+ι-T'2n+3-Tll+i-++...++—-+?，且“eN”,

4/1+54〃+98n+l8〃+58〃+9

一I1140"+31

所以c,m-—8.+5+8.+9-4/1+1--(4〃+1)(8〃+5)(8〃+9)('即C"+∣<%'

所以，在面,同且“eV上加M遞減，則(QMY)raax=-Z=M=3

要使45(&M-<)≤病-5，〃對任意〃CN*恒成立，即m2-5m-14=(m-7)(m+2)≥0,

所以加?-8,—2M7,+8),

20.已知函數(shù)/(x)=Xei+ex.

⑴當(dāng)α=2時，求曲線y=∕(x)在點(2J(2))處的切線方程；

⑵若函數(shù)y=∕(x)在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(D(e-ι)χ-y+4=o

(2)(-∞,3]

【分析】(1)求出了'(2)、/(2),再利用直線的點斜式方程求出切線方程；

(2)求出r(x),轉(zhuǎn)化為r(x)≥O在R上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lr+e*e∣(xwR),求出g(x)在

x=αT取得最小值,要使了'(x)≥0,則g(x)≥O在R上恒成立，

令3-aN)可得答案.

【詳解】(I)；a=2,Λ/(x)=xe2-A+er,Λ∕,(x)=e2-v-?e2^+e,

Λ?=∕,(2)=l-2+e=e-l,

/(2)=2e2^2+2e=2+2e,

.?.y="x)在點(2J(2))處的切線方程為y—2-2e=(e-l)(x—2),

gp(e-l)x+4-y=0.

(2)由題意/'(x)=e"-*-泥—+e=(1-X+)ea-t,

若函數(shù)y=∕(χ)在R上單調(diào)遞增，則r(χ)zo,

因為ea^τ>0,即1—X+ev^o+l20在R上恒成立，

令g(x)=l^*x+e*-"'H(XeR),^,(x)=-l+er^a+l,

令g'(x)=O,得X=α-l

故當(dāng)x∈(α-l,+∞)時,g,(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(ro,α-l)時，g<x)<O,g(x)單調(diào)遞減

故g(x)在x=α-l取得最小值，且g(α-l)=l-α+l+eθ=3-α,

要使尸(x)≥O,則g(x)≥0在R上恒成立,

所以3-心0,即α≤3,

故實數(shù)。的取值范圍是(―,3].

【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和有單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題，解題的關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)

恒大于等于零，再構(gòu)造函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

21.張先生到一家公司參加面試，面試的規(guī)則是；面試官最多向他提出五個問題，只要正確回答出

三個問題即終止提問，通過面試根據(jù)經(jīng)驗，張先生能夠正確回答面試官提出的任何一個問題的概率

為;，假設(shè)回答各個問題正確與否互不干擾.

（1）求張先生通過面試的概率；

（2）記本次面試張先生回答問題的個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

【答案】⑴M（2）分布列見解析；期望為萼.

o12./

【分析】（1）利用互斥事件的概率加法即得；（2）利用二項分布寫出分布列.

【詳解】解：⑴記張先生第i次答對面試官提出的問題為事件A（i=123,4,5）,則尸（4）=：,張先

生前三個問題均回答正確為事件8；前三個問題回答正確兩個且第四個又回答正確為事件C,前四

個問題回答正確兩個且第五個又回答正確為事件O,張先生通過面試為事件則M=3+C+O

得∣8

根據(jù)題意,P(8)=()=5,P(C)=C

??1127

P(D)=C1∣j?2.16

453^81

因為事件BCO互斥，所以P(M)=P(3)+P(C)+P(0=2+V+普=粵

即張先生能夠通過面試的概率為』

O1

（2）根據(jù)題意，X=3,4,5

X=3表明前面三個問題均回答錯誤（淘汰）或均回答正確（通過）,

?

所以P(X=3)

3

X=4表明前面三個問題中有兩個回答錯誤且第四個問題又回答錯誤（淘汰），或者前面三個問題中有

兩個回答正確且第四個問題回答正確（通過）,

10

所以P(X=4)=G?

27

X=5表明前面四個問題中有兩個回答錯誤、兩個回答正確,

所以P(X=5)=Cj

所以X的分布列為:

X345

?108

P

32727

故E(X)=