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文檔簡(jiǎn)介
第十七講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用
命題點(diǎn)1特殊角的三角函數(shù)及其相關(guān)計(jì)算
1.(2022?天津)tan45o的值等于()
亞
A.2B.1C.D
2?4
【答案】B
【解答】解:tan45°的值等于1,
故選:B.
2.(2022?荊門)計(jì)算:?Z∑+cos60°
(-2022)0=
【答案】二L
【解答】解:?Z∑+cos60o-(-2022)0
=--L+-L-1
22
=0-1
=-L
故答案為:-1.
3.(2022?通遼)計(jì)算:√2?√6+4∣l-√3∣sin60o-(?)
2
【解答】解:√2?√6+4∣l-√3∣sin60o-(?)-l
2
=2√3+4×(√3-DX近-2
2
=2√3+2√3(√3-D-2
=2√3+6-2√3-2
=4.
4.(2022?牡丹江)先化簡(jiǎn),再求值.(x-&d)÷?1,其中X=CoS30°.
XX
2
【解答】解:原式=X-2x+l?q
Xχ-l
=(X-I)2?X
Xχ-l
=χ-l,
Tx=COS30。=^^?,
2
.?.原式=Y2-1.
2
命題點(diǎn)2直角三角形的邊角關(guān)系
5.(2022?廣西)如圖,某博物館大廳電梯的截面圖中,AB的長(zhǎng)為12米,AB與
AC的夾角為α,則高BC是()
A.12sina米B.12cosa米C.———米D.———米
SinaCeISa
【答案】A
【解答】解:RtAABC中,sina=此,
AB
?.?AB=12米,
ΛBC=12sina(米).
故選:A.
6.(2022?宜賓)如圖,在矩形紙片ABeo中,AB=5,BC=3,將48Co沿BO
折疊到aBEO位置,OE交AB于點(diǎn)E則CoSNAoP的值為()
A.-?B.?D
1715??
【答案】C
【解答】解:?.?四邊形ABC。是矩形,
.?.NA=90°,AB//CD,AD=BC=3,AB=CD=5,
:.ZBDC=NDBF,
由折疊的性質(zhì)可得ZBDC=ZBDF,
:./BDF=/DBF,
:.BF=DF,
設(shè)BF=x,貝(JDF=x,AF=5-x,
222
在RtAiAO/中,3+(5-χ)=JC,
?丫=W
5
cosZΛDF=-^y-
~5~
故選:C.
7.(2022?廣元)如圖,在正方形方格紙中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等,A、B、
C、。都在格點(diǎn)處,AB與C。相交于點(diǎn)P,則CoSNAPC的值為()
5555
【答案】B
【解答】解:把AB向上平移一個(gè)單位到。E,連接CE,如圖.
則DE//AB,
:.ZAPC=ZEDC.
22222=5>
在△£>CE中,有EC=P22+]=娓,∕)C=√4+2=V51D£=√3+4
?'EC2+DC2=^DEλ,
故ADCE為直角三角形,NOCE=90°.
.?.cosZAPC=cosZEDC=^-=^~.
DE5
故選:B.
A.3√2B.3√5C.6√2D.3√7
【答案】C
【解答】解:?.?BO=2CO=6,
ΛCD=3,BD=6,
?;tanC=嶇=2,
CD
/.AD=6,
ΛΛB=√2AD=6√2
故選:C.
9.(2022?樂山)如圖,在RtZ?ABC中,ZC=90o,BC=遙,點(diǎn)。是AC上
【答案】C
【解答】解:過。點(diǎn)作DE_LA5于E,
:.AE=2DE,BE=3DE,
2DE+3DE=5DE=AB,
在RtAABC中,tan∕A=上,BC=近,
2
?.?-BC"-√-5-19
ACAC2
解得AC=2√^,
ΛΛB=√AC2+BC2Ξ5,
.?.DE=1,
."E=2,
?'?^=>?∕AE2+DE2=Vl2+22=√5,
:.CD=AC-AD=遙,
故選:C.
10.(2022?西寧)在RtA45C中,ZC=90o,AC=I,BC=近,則COSA=
【答案】場(chǎng)
3
【解答】解:由勾股定理得:AB=y∣he2+BC2=dF+)2=Λ∕^,
所以COSA=迎=-^?=Y?,
AB√33
故答案為:?.
3
11.(2022?河池)如圖,把邊長(zhǎng)為1:2的矩形ABCo沿長(zhǎng)邊BC,A。的中點(diǎn)E,
F對(duì)折,得到四邊形ABEE點(diǎn)G,H分別在BE,EF上,且BG=EH=&BE
5
=2,AG與交于點(diǎn)。,N為A尸的中點(diǎn),連接OM作。MLON交4?于
點(diǎn)、M,連接MN,則tanNAMN=
【解答】解:點(diǎn)E,I分別是SC,AD的中點(diǎn),
.?AF=^AD,BE=LBC,
22
???四邊形ABC。是矩形,
ΛZA=90°,AD∕∕BC,AD=BC,
AF=BE=1AD,
2
.?.四邊形ABEF■是矩形,
由題意知,AD=2AB,
:.AF=AB,
.?.矩形ABEF是正方形,
.?.AB=BE,NABE=NBEF=90°,
BG=EH,
?.AABG2ABEHCSAS),
,.ZBAG=ZEBH,
,.ZBAG+ZABO=∕EBH+NABO=NABG=90°,
ZAOB=90o,
:BG=EH=&BE=2,
5
,.BE=5,
,.AF=5,
:NOAB=NBAG,ZAOB=ZABG,
,.?AOB^/XABG,
??O—A—■■O>B
ABBG
?強(qiáng)=坐=9
"θBAG^T
,:OMLON,
:./MON=90°=NAo8,
/.ZBOM=ZAON,
VZBΛG+ZMG=90o,NA80+NEBH=90°,/BAG=NEBH,
:.ZOBM=ZOAN,
:AOBMsAOAN,
.QB_BM
^*θA?
?;點(diǎn)N是AE的中點(diǎn),
'.AN=^AF=-,
22
.5=典
..5“
2
.?BM=1,
.,.AM=AB-BM=4,
§
在RtAMAN中,tan∕AΛ1N=姻=2=§,
AH48
故答案為:立.
8
12.(2022?張家界)我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作
注解時(shí),用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形,這
個(gè)圖被稱為“弦圖”,它體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就.如圖,已知大正方形
ABCD的面積是100,小正方形EFGH的面積是4,那么IanZADF=.
【答案】g
4
【解答】解::大正方形ABC。的面積是100,
∕MD=10,
,/小正方形EFGH的面積是4,
.?.小正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2,
.?DF-AF=2,
設(shè)A∕7=x,則D∕7=x+2,
由勾股定理得,X2+(x+2)2=102,
解得x=6或-8(負(fù)值舍去),
."F=6,OF=8,
ΛtanZADF=?Jl=I,
DF84
故答案為:旦.
4
13.(2022?長(zhǎng)春)如圖,在RtaABC中,NABC=90°,AB<BC.點(diǎn)。是AC
的中點(diǎn),過點(diǎn)。作。及LAC交BC于點(diǎn)E.延長(zhǎng)ED至點(diǎn)R使得。/=OE,
連結(jié)AE、ARCF.
(1)求證:四邊形AEeF是菱形;
(2)若型=上,則tanN8CF的值為.
EC4
------ΛF
EJ
【解答】(1)證明:???點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),
:.AD=CD,
'JDF=DE,
:.四邊形AECF是平行四邊形,
又,
.?.平行四邊形AECE是菱形;
(2)解:?.?型=工,
EC4
:.CE=ABE,
設(shè)BE=α,則CE=4α,
由(1)可知,四邊形AECF是菱形,
.?AE=CE=4a,AE//CF,
:./BEA=NBCF,
VZABC=90°,
22
?'?ΛS=VAE-BE=V(4a)2-a2=,
tanZBCF=tanZBEA=?5.=2ZHA=<>∕15,
BEa
故答案為:?[15.
14.(2022?賀州)如圖,在平行四邊形ABC。中,點(diǎn)E,F分別在AO,BC上,
且Eo=BR連接ARCE,AC,ER且AC與ER相交于點(diǎn)。.
(1)求證:四邊形AFCE是平行四邊形;
(2)若AC平分/∕?E,AC=8,tanNOAC=旦,求四邊形AFCE的面積.
【解答】(1)證明:Y在平行四邊形ABCo中,
AD=BC.AE//FC,
?:ED=BF,
.,.AD-ED=BC-BF,
:.AE=FC,
四邊形AECE是平行四邊形;
(2)解:,JAE∕∕FC,
:.ZEAC=ZACF,
.'.ZEAC=ZFAC,
:.ZACF=ZFAC,
.'.AF=FC,
':四邊形AFCE是平行四邊形,
.?.平行四邊形AECE是菱形,
.?.A。=JLAC=4,ACLEF,
2
在RtZ?AOE中,40=4,tanNOAC=旦,
4
.?.E0=3,
?"?S^AEO~-AO*EOz-f))
2
S菱脛=4SAAEO=24
命題點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
類型一解一個(gè)直角三角形
15.(2022?沈陽(yáng))如圖,一條河的兩岸互相平行,為了測(cè)量河的寬度PT(PT與
河岸「。垂直),測(cè)量得P,。兩點(diǎn)間距離為加米,NPQT=α,則河寬PT的
A.∕nsinαB.機(jī)COSaC.mtanaD.---
tana
【答案】C
【解答】解:由題意得:
PTLPQ,
ΛZAPQ=90°,
在RtAAPQ中,PQ=m米,NPQT=a,
PT=PQ?tana=mtana(米),
.?.河寬PT的長(zhǎng)度是mtana米,
故選:C.
16.(2022?柳州)如圖,某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為a,sina=3,堤壩
5
CA
【答案】50
【解答】解:Vsina=I,堤壩高8C=30m,
5
?BC_30
??OilllA.--------9
5ABAB
解得:AB=50.
故答案為:50.
類型二背靠背型
17.(2022?貴港)如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹CO的高度,在點(diǎn)A處測(cè)得
樹頂C的仰角為45°,在點(diǎn)B處測(cè)得樹頂C的仰角為60°,且A,B,D三
點(diǎn)在同一直線上,若AB=I6加,則這棵樹CO的高度是()
C
A.8(3-Vs)mB.8(3+λ∕3)m.C.6(3-V^)mD.6(3+V3)加
【答案】A
【解答】解:設(shè)A。=X米,
TAB=16米,
.'.BD=AB-AD=(16-%)米,
在RtAAQC中,NA=45°,
.?.CO=4O?tan45°=X(米),
在RtACOB中,ZB=60o,
tan60o=-=---=愿,
BD16-x
.*.x=24-8V3,
經(jīng)檢驗(yàn):x=24-8焉是原方程的根,
ΛCD=24-8√3=8(3-√3))米,
/.這棵樹CD的高度是8(3-√3)米,
故選:A.
18.(2022?玉林)如圖,從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是()
pDsα
sj
0Qs5
0ug
e0GE
E-
S臺(tái)
dfnei
m3匚
ESσ
f3HE目F
EF*
力r
Ef?E
S旦
pE=≡
討
e:
A.ZBADB.ZACBC.ZBACD.ZDAC
【答案】D
【解答】解:從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是ND4C
故選:D.
19.(2022?武漢)如圖,沿AB方向架橋修路,為加快施工進(jìn)度,在直線AB上
湖的另一邊的。處同時(shí)施工.取NABC=I50°,BC=1600m,NBCO=Io5°,
則C,。兩點(diǎn)的距離是m.
【答案】8OO√2
【解答】解:過點(diǎn)。作CELBO,垂足為E
YNABC=150°,
;.NDBC=30°.
在RtABCE中,
".'BC=1600m,
:.CE=ABC=800m,ZBCE=60o.
2
VZBCD=I050,
ΛZfCD=45o.
在RtADCE中,
TcosNECO=更,
CD
:.CD=——
cos450
_800
一屋
2
=8OO√2(m).
故答案為:8OO√2.
20.(2022?荊門)如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向,距離燈塔100
海里的A處,它沿正南方向以50匹海里/小時(shí)的速度航行r小時(shí)后,到達(dá)位于
燈塔產(chǎn)的南偏東30°方向上的點(diǎn)B處,則f=小時(shí).
【答案】(l+√^)
【解答】解:如圖:
由題意得:
NaIC=45°,NPBA=30°,AP=I(X)海里,
在RtAAPC中,AC=AP?cos45o=1OO×^-=5O√2(海里),
_2
PC=AP?sin45°=100×^∑=50√2(海里),
2_
在RtZ?3CP中,BC=―PC=-^^-=5O√6(海里),
tan30√3
3
.,.AB=AC+BC=(50√^+50√^)海里,
:.t=5θV2+5O√6?(ι+√3)小時(shí),
50√2
故答案為:(1+Vs).
21.(2022?西藏)某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上,測(cè)量校園內(nèi)一棵樹的高度.如
圖,測(cè)量?jī)x在A處測(cè)得樹頂D的仰角為45o,C處測(cè)得樹頂D的仰角為37°
(點(diǎn)A,B,。在一條水平直線上),已知測(cè)量?jī)x高度AE=Cb=L6米,AC=
28米,求樹8。的高度(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位.參考數(shù)據(jù):sin37o≈0.60,
cos37o≈0.80,tan37og0.75).
【解答】解:連接ER交BD于點(diǎn)M,則EFL3。,AE=BM=CF=1.6米,
在RtZ?OEM中,NOEM=45°,
IEM=DM,
設(shè)OM=X米,則EM=AB=X米,F(xiàn)M=BC=AC-AB=(28-χ)米,
在Rt△£>FM中,tan37°=QL
FM
即七0.75,
28-x
解得X=12,
經(jīng)檢驗(yàn),X=I2是原方程的根,
即DM=12米,
/.DB=12+1.6=13.6(米),
答:樹80的高度為13.6米.
D
類型三母子型
考向1同一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)兩個(gè)位置點(diǎn)
22.(2022?河池)如圖,小敏在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中,利用所學(xué)知識(shí)對(duì)他所在小區(qū)居
民樓AB的高度進(jìn)行測(cè)量,從小敏家陽(yáng)臺(tái)C測(cè)得點(diǎn)A的仰角為33°,測(cè)得點(diǎn)
B的俯角為45°,已知觀測(cè)點(diǎn)到地面的高度CO=36m,求居民樓AB的高度
=0.84,tan330=0.65).
【解答】解:如圖,過點(diǎn)。作垂足為E,
由題意得,Co=36m,ZBCE=45°,NACE=33°,
在RtABCE中,NBCE=45°,
BE=CE=CD=36m,
在RtZ?ACE中,ZACE=33°,CE=36m,
:.AE=CE*tan33o≈36×0.65^23.4Gn),
ΛΛβ=ΛE+BE=36+23.4=59.4≈59(加),
答:居民樓AB的高度約為59%
.A
□
□
□□
□□
考向2兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)同一個(gè)位置點(diǎn)
23.(2022?黃石)某校數(shù)學(xué)興趣小組開展“無人機(jī)測(cè)旗桿”的活動(dòng):已知無人
機(jī)的飛行高度為30m,當(dāng)無人機(jī)飛行至A處時(shí),觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°,
繼續(xù)飛行2(所到達(dá)B處,測(cè)得旗桿頂部的俯角為60°,則旗桿的高度約
為m.
(參考數(shù)據(jù):√3^≈1.732,結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù))
【答案】1X7
【解答】解:設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C,頂部為點(diǎn)。,過點(diǎn)。作DELAB,交直線
AB于點(diǎn)E.
ABE
則CE=30〃%AB=20m,NEAo=30°,ZEBD=60o,
設(shè)DE=x∕n,
在RtZ?8DE中,tan60o=至q
BEBE
解得BE=叵X
3
則AE=A8+BE=(20+返?x)m,
3
在RtZ?AOE中,tan30o=塔=——^~=叵,
AE20將X3
解得X=10√3^17.3,
經(jīng)檢驗(yàn),X=IO北七17.3是原方程的解,且符合題意,
ΛCD=CE-DE=12.7m.
故答案為:12.7.
24.(2022?梧州)今年,我國(guó)“巔峰使命”2022珠峰科考團(tuán)對(duì)珠穆朗瑪峰進(jìn)行
綜合科學(xué)考察,搭建了世界最高海拔的自動(dòng)氣象站,還通過釋放氣球方式進(jìn)
行了高空探測(cè).某學(xué)校興趣小組開展實(shí)踐活動(dòng),通過觀測(cè)數(shù)據(jù),計(jì)算氣球升
空的高度AB.
如圖,在平面內(nèi),點(diǎn)B,C,。在同一直線上,ABLCB,垂足為點(diǎn)B,ZACB
=52o,NADB=60°,CD=200m,求AB的高度.(精確到1〃?)
(參考數(shù)據(jù):sin52o≈0.79,cos52°20.62,tan520g1.28,√3≈1.73)
地面
【解答】解:設(shè)AB=.,
在RtZXABC中,
VtanNACB=姻?,
BC
.*.tan520=-≤-,
BC
在RtAABD中,
VtanNAOB=嶇,
BD
.*.tan60o=-^—,
BD
:.BD=痘.
':CD=CB-DB,
:×-----J=200,
1.281.73
解得:984.
.?.AB的高度約為984米.
25.(2022?長(zhǎng)沙)為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境,提高居民生活的幸福指數(shù).某小區(qū)
物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造.如圖,AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20根
的斜坡,坡角NA4。=30°,BDLAD于點(diǎn)D.為方便通行,在不改變斜坡
高度的情況下,把坡角降為15°.
(1)求該斜坡的高度8D;
(2)求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離.(假設(shè)圖中CA,。三點(diǎn)共線)
【解答】解:(1)在RtA48O中,?.?∕AD8=90°,ZBAD=30o,BA=20m,
.-.BD=ABA=IO(〃?),
2
答:該斜坡的高度BQ為10加;
(2)在AACB中,ZBAD=300,NBc4=15°,
/.ZCBA=15°,
'.AB=AC=20(/”),
答:斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離為20m.
26.(2022?朝陽(yáng))某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度(旗桿
底端有臺(tái)階).該小組在C處安置測(cè)角儀C。,測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°,
前進(jìn)8根到達(dá)E處,安置測(cè)角儀EF,測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°(點(diǎn)B,
E,C在同一直線上),測(cè)角儀支架高CO=Er=I2”,求旗桿頂端A到地面
的距離即AB的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù):√3≈1.7)
DF=CE=Sm,DC=EF=BG=I.2m,ZAGF=90o,
設(shè)AG=xm,
在RtAAFG中,NAFG=45°,
.'.FG=—典丁=九Cm),
tan45
,DG=DF+FG=(x+8)m,
在RtAAOG中,ZADG=30o,
Λtan30o=巫=—≤-
DGx+83
,x=4+4,
經(jīng)檢驗(yàn):x=4愿+4是原方程的根,
.?AB=AG+BG^?2(m),
二旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度約為12〃?.
27?(2022?內(nèi)蒙古)在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中,某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量.如圖,
在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°,沿山坡向上走20m到達(dá)
D處,測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°.已知山坡坡度z=3:4,即tanθ=3,
4
請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB.
(結(jié)果精確到0.1a,參考數(shù)據(jù):√3≈1.732)
【解答】解:過點(diǎn)。作。LAC,垂足為E,過點(diǎn)。作A3,垂足為R
設(shè)DE=3x米,則CE=Ax米,
':DE~+CE2=DC2,
(3x)2+(4x)2=400,
.?.x=4或X=-4(舍去),
.'.DE=AF=12CE=I6米,
設(shè)BF=y米,
:.AB=BF+AF=(12+>')米,
在RtZ?DBF中,ZBDF=SOo,
=√3y(米),
'.AE=DF=y∏y米,
:.AC=AE-CE=(√3y-16)米,
在RtZ?ABC中,NACB=60°,
Λtan60o=-=-l^4γ—=匾,
AC√z3y-16
解得:y—6÷8Λ∕3?
經(jīng)檢驗(yàn):y=6+8√ξ是原方程的根,
ΛΛβ=BF+AF=18+8√3≈31.9(米),
/.建筑物的高度AB約為31.9米.
考向3兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)兩個(gè)位置點(diǎn)
28.(2022?遵義)如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈,它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)
成.如圖2,AB是燈桿,CD是燈管支架,燈管支架C。與燈桿間的夾角/
BDC=60o.綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架CD的長(zhǎng)度,他們?cè)诘孛?/p>
的點(diǎn)E處測(cè)得燈管支架底部D的仰角為60°,在點(diǎn)F處測(cè)得燈管支架頂部C
的仰角為30°,測(cè)得AE=3m,EF=Sm(A,E,尸在同一條直線上).根據(jù)
以上數(shù)據(jù),解答下列問題:
(1)求燈管支架底部距地面高度Ao的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào));
(2)求燈管支架CO的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到0.1〃2,參考數(shù)據(jù):√3^1.73).
圖2
【解答】解:(1)在Rt△£>AE中,ZAED=60o,AE=3m,
AD=AE?tan60o=3M(米),
.?.燈管支架底部距地面高度AD的長(zhǎng)為3√ξ米;
(2)延長(zhǎng)EC交AB于點(diǎn)G,
VZDAE=90o,NAEC=30°,
ΛZDGC=90°-ZΛFC=60°,
VZGDC=60°,
.?.NDCG=180°-ZGDC-ZDGC=GOo,
,△£>GC是等邊三角形,
DC=DG,
?.NE=3米,Eb=8米,
.'.AF=AE+EF=??(米),
在RtZ?AFG中,AG=AF?tan30°=11×2∕∑=ll√3(米),
33
ΛDC=DG=ΛG-ΛD=11√3-3√3=-^√3≈1.2(米),
33
二燈管支架CD的長(zhǎng)度約為1.2米.
29.(2022?貴陽(yáng))交通安全心系千萬家,高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測(cè)速
儀,如圖所示的是該段隧道的截面示意圖.測(cè)速儀C和測(cè)速儀E到路面之間
的距離CD=EF=7m,測(cè)速儀C和E之間的距離CE=75Gm,一輛小汽車在
水平的公路上由西向東勻速行駛,在測(cè)速儀。處測(cè)得小汽車在隧道入口A點(diǎn)
的俯角為25°,在測(cè)速儀E處測(cè)得小汽車在8點(diǎn)的俯角為60°,小汽車在隧
道中從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)8所用的時(shí)間為38s(圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)).
(1)求A,B兩點(diǎn)之間的距離(結(jié)果精確到1加;
(2)若該隧道限速22〃加,判斷小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)8是否超速?通過計(jì)
算說明理由.
(參考數(shù)據(jù):√3≈1.7,sin25o≈0.4,cos25o≈0.9,tan250≈0.5,sin65o
≈0.9,cos65o≈0.4,tan65o≈2.1)
隧道入口
【解答】解:(1)由題意得:
ZC4D=25o,NEBF=60°,CE=OF=750米,
在RtAACO中,CO=7米,
.'.AD=―也■一心工=14(米),
tan250.5
在RtZ?BE/中,£尸=7米,
.'.BF=―5^—=-Z-^4.1(米),
tan60√3
.?AB=AD+DF-BF=14+750-4.1?≈760(米),
.?.A,B兩點(diǎn)之間的距離約為760米;
(2)小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)8沒有超速,
理由:由題意得:
760÷38=20米/秒,
V20米/秒<22米/秒,
.?.小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B沒有超速.
30.(2022?遼寧)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組欲測(cè)量山坡上一棵大樹CD的高度,如圖,DC
LAM于點(diǎn)E,在A處測(cè)得大樹底端C的仰角為15°,沿水平地面前進(jìn)30米
到達(dá)3處,測(cè)得大樹頂端。的仰角為53°,測(cè)得山坡坡角NC8M=30°(圖
中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)).
(1)求斜坡BC的長(zhǎng);
(2)求這棵大樹CO的高度(結(jié)果取整數(shù)),
(參考數(shù)據(jù):sin53o≈A,cos53o七3,tan53°≈A,√3≈1.73)
553
D
ZCAE=15o,A8=30米,
,.?NCBE是AABC的一個(gè)外角,
:.ZACB=ZCBE-ZCAE=15°,
ΛZACB=ZCAE=?5o,
.?.AB=BC=3O米,
,斜坡BC的長(zhǎng)為30米;
(2)在RtZ?C8E中,NCBE=30°,BC=30米,
ΛCE=ABC=15(米),
2
BE=√3CE=15√3(米),
在RtZSOEB中,NDBE=53°,
.".DE=BE?tan53o?≈15√3×-∣-=2O√3(米),
ΛDC=DE-CE=2O√3-15≈20(米),
.?.這棵大樹C測(cè)量
31.(2022?廣元)如圖,計(jì)劃在山頂A的正下方沿直線C。方向開通穿山隧道
EF.在點(diǎn)E處測(cè)得山頂A的仰角為45°,在距E點(diǎn)80m的C處測(cè)得山頂A
的仰角為30°,從與F點(diǎn)相距IOm的D處測(cè)得山頂A的仰角為45°,點(diǎn)C、
E、F、。在同一直線上,求隧道Eb的長(zhǎng)度.
【解答】解:過點(diǎn)A作垂足為H,
設(shè)£7/=X米,
在Rt△4£:”中,NAE"=45°,
:.AH=EH?tan45o=X(米),
TCE=80米,
:.CH=CE+EH=(80+x)米,
在RtaACH中,ZACH=30o,
Λtan30o=—=―--=魚
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