中考數學第一輪復習真題分點練習銳角三角函數及其應用（解析版）

第十七講銳角三角函數及其應用

命題點1特殊角的三角函數及其相關計算

1.（2022?天津）tan45o的值等于（）

亞

A.2B.1C.D

2?4

【答案】B

【解答】解：tan45°的值等于1,

故選：B.

2.(2022?荊門)計算:?Z∑+cos60°

(-2022)0=

【答案】二L

【解答】解：?Z∑+cos60o-(-2022)0

=--L+-L-1

22

=0-1

=-L

故答案為：-1.

3.(2022?通遼)計算：√2?√6+4∣l-√3∣sin60o-(?)

2

【解答】解：√2?√6+4∣l-√3∣sin60o-(?)-l

2

=2√3+4×(√3-DX近-2

2

=2√3+2√3(√3-D-2

=2√3+6-2√3-2

=4.

4.(2022?牡丹江)先化簡，再求值.(x-&d)÷?1,其中X=CoS30°.

XX

2

【解答】解：原式=X-2x+l?q

Xχ-l

=(X-I)2?X

Xχ-l

=χ-l,

Tx=COS30。=^^?,

2

.?.原式=Y2-1.

2

命題點2直角三角形的邊角關系

5.（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與

AC的夾角為α,則高BC是（）

A.12sina米B.12cosa米C.———米D.———米

SinaCeISa

【答案】A

【解答】解：RtAABC中，sina=此，

AB

?.?AB=12米,

ΛBC=12sina（米）.

故選：A.

6.（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABeo中，AB=5,BC=3,將48Co沿BO

折疊到aBEO位置，OE交AB于點E則CoSNAoP的值為（）

A.-?B.?D

1715??

【答案】C

【解答】解：?.?四邊形ABC。是矩形,

.?.NA=90°,AB//CD,AD=BC=3,AB=CD=5,

：.ZBDC=NDBF,

由折疊的性質可得ZBDC=ZBDF,

：./BDF=/DBF,

：.BF=DF,

設BF=x,貝（JDF=x,AF=5-x,

222

在RtAiAO/中，3+（5-χ）=JC,

?丫=W

5

cosZΛDF=-^y-

~5~

故選：C.

7.（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、

C、。都在格點處，AB與C。相交于點P,則CoSNAPC的值為（）

5555

【答案】B

【解答】解：把AB向上平移一個單位到。E,連接CE,如圖.

則DE//AB,

：.ZAPC=ZEDC.

22222=5>

在△￡>CE中，有EC=P22+]=娓,∕)C=√4+2=V51D￡=√3+4

?'EC2+DC2=^DEλ,

故ADCE為直角三角形，NOCE=90°.

.?.cosZAPC=cosZEDC=^-=^~.

DE5

故選：B.

A.3√2B.3√5C.6√2D.3√7

【答案】C

【解答】解：?.?BO=2CO=6,

ΛCD=3,BD=6,

?；tanC=嶇=2,

CD

/.AD=6,

ΛΛB=√2AD=6√2

故選：C.

9.（2022?樂山）如圖，在RtZ?ABC中，ZC=90o，BC=遙，點。是AC上

【答案】C

【解答】解：過。點作DE_LA5于E,

：.AE=2DE,BE=3DE,

2DE+3DE=5DE=AB,

在RtAABC中，tan∕A=上，BC=近,

2

?.?-BC"-√-5-19

ACAC2

解得AC=2√^,

ΛΛB=√AC2+BC2Ξ5,

.?.DE=1,

."E=2,

?'?^=>?∕AE2+DE2=Vl2+22=√5，

：.CD=AC-AD=遙,

故選：C.

10.（2022?西寧）在RtA45C中,ZC=90o,AC=I,BC=近,則COSA=

【答案】場

3

【解答】解：由勾股定理得：AB=y∣he2+BC2=dF+）2=Λ∕^,

所以COSA=迎=-^?=Y?,

AB√33

故答案為：?.

3

11.（2022?河池）如圖，把邊長為1：2的矩形ABCo沿長邊BC,A。的中點E,

F對折，得到四邊形ABEE點G,H分別在BE,EF上,且BG=EH=&BE

5

=2,AG與交于點。，N為A尸的中點，連接OM作。MLON交4?于

點、M,連接MN,則tanNAMN=

【解答】解：點E，I分別是SC,AD的中點,

.?AF=^AD,BE=LBC,

22

???四邊形ABC。是矩形，

ΛZA=90°,AD∕∕BC,AD=BC,

AF=BE=1AD,

2

.?.四邊形ABEF■是矩形，

由題意知，AD=2AB,

：.AF=AB,

.?.矩形ABEF是正方形，

.?.AB=BE,NABE=NBEF=90°,

BG=EH,

?.AABG2ABEHCSAS),

,.ZBAG=ZEBH,

,.ZBAG+ZABO=∕EBH+NABO=NABG=90°,

ZAOB=90o,

:BG=EH=&BE=2,

5

,.BE=5,

,.AF=5,

：NOAB=NBAG,ZAOB=ZABG,

,.?AOB^/XABG,

??O—A—■■O>B

ABBG

?強=坐=9

"θBAG^T

,:OMLON,

：./MON=90°=NAo8,

/.ZBOM=ZAON,

VZBΛG+ZMG=90o,NA80+NEBH=90°,/BAG=NEBH,

：.ZOBM=ZOAN,

：AOBMsAOAN,

.QB_BM

^*θA?

?；點N是AE的中點，

'.AN=^AF=-,

22

.5=典

..5“

2

.?BM=1,

.,.AM=AB-BM=4,

§

在RtAMAN中，tan∕AΛ1N=姻=2=§,

AH48

故答案為：立.

8

12.（2022?張家界）我國魏晉時期的數學家趙爽在為天文學著作《周髀算經》作

注解時，用4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這

個圖被稱為“弦圖”，它體現了中國古代數學的成就.如圖，已知大正方形

ABCD的面積是100,小正方形EFGH的面積是4,那么IanZADF=.

【答案】g

4

【解答】解：:大正方形ABC。的面積是100,

∕MD=10,

,/小正方形EFGH的面積是4,

.?.小正方形EFGH的邊長為2,

.?DF-AF=2,

設A∕7=x,則D∕7=x+2,

由勾股定理得，X2+(x+2)2=102,

解得x=6或-8(負值舍去)，

."F=6,OF=8,

ΛtanZADF=?Jl=I,

DF84

故答案為：旦.

4

13.(2022?長春)如圖，在RtaABC中，NABC=90°,AB<BC.點。是AC

的中點，過點。作。及LAC交BC于點E.延長ED至點R使得。/=OE,

連結AE、ARCF.

(1)求證：四邊形AEeF是菱形；

(2)若型=上，則tanN8CF的值為.

EC4

------ΛF

EJ

【解答】(1)證明：???點。是AC的中點,

：.AD=CD,

'JDF=DE,

：.四邊形AECF是平行四邊形，

又,

.?.平行四邊形AECE是菱形；

(2)解：?.?型=工，

EC4

：.CE=ABE,

設BE=α,則CE=4α,

由(1)可知，四邊形AECF是菱形,

.?AE=CE=4a,AE//CF,

：./BEA=NBCF,

VZABC=90°,

22

?'?ΛS=VAE-BE=V(4a)2-a2=，

tanZBCF=tanZBEA=?5.=2ZHA=<>∕15,

BEa

故答案為：?[15.

14.(2022?賀州)如圖，在平行四邊形ABC。中，點E,F分別在AO,BC上,

且Eo=BR連接ARCE,AC,ER且AC與ER相交于點。.

(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

(2)若AC平分/∕?E,AC=8,tanNOAC=旦，求四邊形AFCE的面積.

【解答】(1)證明：Y在平行四邊形ABCo中,

AD=BC.AE//FC,

?：ED=BF,

.,.AD-ED=BC-BF,

：.AE=FC,

四邊形AECE是平行四邊形；

(2)解：,JAE∕∕FC,

：.ZEAC=ZACF,

.'.ZEAC=ZFAC,

：.ZACF=ZFAC,

.'.AF=FC,

'：四邊形AFCE是平行四邊形，

.?.平行四邊形AECE是菱形，

.?.A。=JLAC=4,ACLEF,

2

在RtZ?AOE中,40=4,tanNOAC=旦,

4

.?.E0=3,

?"?S^AEO~-AO*EOz-f））

2

S菱脛=4SAAEO=24

命題點3銳角三角函數的實際應用

類型一解一個直角三角形

15.（2022?沈陽）如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測量河的寬度PT（PT與

河岸「。垂直），測量得P,。兩點間距離為加米，NPQT=α,則河寬PT的

A.∕nsinαB.機COSaC.mtanaD.---

tana

【答案】C

【解答】解：由題意得：

PTLPQ,

ΛZAPQ=90°,

在RtAAPQ中，PQ=m米,NPQT=a,

PT=PQ?tana=mtana（米）,

.?.河寬PT的長度是mtana米，

故選：C.

16.（2022?柳州）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為a,sina=3,堤壩

5

CA

【答案】50

【解答】解:Vsina=I,堤壩高8C=30m,

5

?BC_30

??OilllA.--------9

5ABAB

解得：AB=50.

故答案為：50.

類型二背靠背型

17.（2022?貴港）如圖，某數學興趣小組測量一棵樹CO的高度，在點A處測得

樹頂C的仰角為45°,在點B處測得樹頂C的仰角為60°,且A,B,D三

點在同一直線上，若AB=I6加，則這棵樹CO的高度是（）

C

A.8(3-Vs)mB.8(3+λ∕3)m.C.6(3-V^)mD.6(3+V3)加

【答案】A

【解答】解：設A。=X米，

TAB=16米，

.'.BD=AB-AD=(16-%)米,

在RtAAQC中，NA=45°,

.?.CO=4O?tan45°=X(米),

在RtACOB中，ZB=60o,

tan60o=-=---=愿，

BD16-x

.*.x=24-8V3，

經檢驗：x=24-8焉是原方程的根，

ΛCD=24-8√3=8(3-√3))米，

/.這棵樹CD的高度是8(3-√3)米,

故選:A.

18.（2022?玉林）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是（）

pDsα

sj

0Qs5

0ug

e0GE

E-

S臺

dfnei

m3匚

ESσ

f3HE目F

EF*

力r

Ef?E

S旦

pE=≡

討

e:

A.ZBADB.ZACBC.ZBACD.ZDAC

【答案】D

【解答】解：從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是ND4C

故選：D.

19.（2022?武漢）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進度，在直線AB上

湖的另一邊的。處同時施工.取NABC=I50°,BC=1600m,NBCO=Io5°,

則C,。兩點的距離是m.

【答案】8OO√2

【解答】解：過點。作CELBO,垂足為E

YNABC=150°,

；.NDBC=30°.

在RtABCE中，

".'BC=1600m,

：.CE=ABC=800m,ZBCE=60o.

2

VZBCD=I050,

ΛZfCD=45o.

在RtADCE中,

TcosNECO=更，

CD

：.CD=——

cos450

_800

一屋

2

=8OO√2(m).

故答案為：8OO√2.

20.（2022?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100

海里的A處，它沿正南方向以50匹海里/小時的速度航行r小時后，到達位于

燈塔產的南偏東30°方向上的點B處，則f=小時.

【答案】（l+√^）

【解答】解：如圖:

由題意得：

NaIC=45°,NPBA=30°,AP=I(X)海里，

在RtAAPC中,AC=AP?cos45o=1OO×^-=5O√2(海里),

_2

PC=AP?sin45°=100×^∑=50√2(海里)，

2_

在RtZ?3CP中，BC=―PC=-^^-=5O√6(海里)，

tan30√3

3

.,.AB=AC+BC=(50√^+50√^)海里，

：.t=5θV2+5O√6?(ι+√3)小時，

50√2

故答案為：（1+Vs）.

21.（2022?西藏）某班同學在一次綜合實踐課上，測量校園內一棵樹的高度.如

圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45o,C處測得樹頂D的仰角為37°

（點A,B,。在一條水平直線上），已知測量儀高度AE=Cb=L6米，AC=

28米，求樹8。的高度（結果保留小數點后一位.參考數據：sin37o≈0.60,

cos37o≈0.80,tan37og0.75）.

【解答】解：連接ER交BD于點M,則EFL3。，AE=BM=CF=1.6米,

在RtZ?OEM中，NOEM=45°,

IEM=DM,

設OM=X米，則EM=AB=X米，FM=BC=AC-AB=(28-χ)米，

在Rt△￡>FM中，tan37°=QL

FM

即七0.75,

28-x

解得X=12,

經檢驗，X=I2是原方程的根，

即DM=12米，

/.DB=12+1.6=13.6(米)，

答：樹80的高度為13.6米.

D

類型三母子型

考向1同一個觀測點觀測兩個位置點

22.（2022?河池）如圖，小敏在數學實踐活動中，利用所學知識對他所在小區(qū)居

民樓AB的高度進行測量，從小敏家陽臺C測得點A的仰角為33°,測得點

B的俯角為45°,已知觀測點到地面的高度CO=36m,求居民樓AB的高度

=0.84,tan330=0.65).

【解答】解：如圖，過點。作垂足為E,

由題意得，Co=36m,ZBCE=45°，NACE=33°,

在RtABCE中，NBCE=45°,

BE=CE=CD=36m,

在RtZ?ACE中，ZACE=33°,CE=36m,

：.AE=CE*tan33o≈36×0.65^23.4Gn),

ΛΛβ=ΛE+BE=36+23.4=59.4≈59(加)，

答：居民樓AB的高度約為59%

.A

□

□

□□

□□

考向2兩個觀測點觀測同一個位置點

23.（2022?黃石）某校數學興趣小組開展“無人機測旗桿”的活動：已知無人

機的飛行高度為30m,當無人機飛行至A處時,觀測旗桿頂部的俯角為30°,

繼續(xù)飛行2（所到達B處，測得旗桿頂部的俯角為60°,則旗桿的高度約

為m.

（參考數據：√3^≈1.732,結果按四舍五入保留一位小數）

【答案】1X7

【解答】解：設旗桿底部為點C，頂部為點。，過點。作DELAB,交直線

AB于點E.

ABE

則CE=30〃％AB=20m,NEAo=30°,ZEBD=60o,

設DE=x∕n,

在RtZ?8DE中，tan60o=至q

BEBE

解得BE=叵X

3

則AE=A8+BE=（20+返?x）m,

3

在RtZ?AOE中，tan30o=塔=——^~=叵,

AE20將X3

解得X=10√3^17.3,

經檢驗，X=IO北七17.3是原方程的解，且符合題意,

ΛCD=CE-DE=12.7m.

故答案為：12.7.

24.（2022?梧州）今年，我國“巔峰使命”2022珠峰科考團對珠穆朗瑪峰進行

綜合科學考察，搭建了世界最高海拔的自動氣象站，還通過釋放氣球方式進

行了高空探測.某學校興趣小組開展實踐活動，通過觀測數據，計算氣球升

空的高度AB.

如圖，在平面內，點B,C,。在同一直線上，ABLCB,垂足為點B,ZACB

=52o,NADB=60°,CD=200m,求AB的高度.（精確到1〃?）

（參考數據：sin52o≈0.79,cos52°20.62,tan520g1.28,√3≈1.73）

地面

【解答】解：設AB=.,

在RtZXABC中，

VtanNACB=姻?，

BC

.*.tan520=-≤-,

BC

在RtAABD中，

VtanNAOB=嶇,

BD

.*.tan60o=-^—,

BD

：.BD=痘.

'：CD=CB-DB,

：×-----J=200,

1.281.73

解得：984.

.?.AB的高度約為984米.

25.(2022?長沙)為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數.某小區(qū)

物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進行優(yōu)化改造.如圖，AB表示該小區(qū)一段長為20根

的斜坡，坡角NA4。=30°,BDLAD于點D.為方便通行，在不改變斜坡

高度的情況下，把坡角降為15°.

(1)求該斜坡的高度8D；

(2)求斜坡新起點C與原起點A之間的距離.(假設圖中CA,。三點共線)

【解答】解：(1)在RtA48O中，?.?∕AD8=90°,ZBAD=30o,BA=20m,

.-.BD=ABA=IO(〃?)，

2

答：該斜坡的高度BQ為10加；

(2)在AACB中，ZBAD=300,NBc4=15°,

/.ZCBA=15°,

'.AB=AC=20(/”)，

答：斜坡新起點C與原起點A之間的距離為20m.

26.（2022?朝陽）某數學興趣小組準備測量校園內旗桿頂端到地面的高度（旗桿

底端有臺階）.該小組在C處安置測角儀C。，測得旗桿頂端A的仰角為30°,

前進8根到達E處，安置測角儀EF,測得旗桿頂端A的仰角為45°（點B,

E,C在同一直線上），測角儀支架高CO=Er=I2”，求旗桿頂端A到地面

的距離即AB的長度.（結果精確到1m.參考數據：√3≈1.7）

DF=CE=Sm,DC=EF=BG=I.2m,ZAGF=90o,

設AG=xm,

在RtAAFG中，NAFG=45°,

.'.FG=—典丁=九Cm),

tan45

,DG=DF+FG=(x+8)m,

在RtAAOG中，ZADG=30o,

Λtan30o=巫=—≤-

DGx+83

，x=4+4,

經檢驗：x=4愿+4是原方程的根，

.?AB=AG+BG^?2（m）,

二旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12〃?.

27?（2022?內蒙古）在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量.如圖，

在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°,沿山坡向上走20m到達

D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°.已知山坡坡度z=3：4,即tanθ=3,

4

請你幫助該小組計算建筑物的高度AB.

（結果精確到0.1a,參考數據：√3≈1.732）

【解答】解：過點。作。LAC,垂足為E,過點。作A3,垂足為R

設DE=3x米,則CE=Ax米，

'：DE~+CE2=DC2,

(3x)2+(4x)2=400,

.?.x=4或X=-4(舍去)，

.'.DE=AF=12CE=I6米,

設BF=y米，

：.AB=BF+AF=(12+>')米，

在RtZ?DBF中，ZBDF=SOo,

=√3y（米），

'.AE=DF=y∏y米，

：.AC=AE-CE=（√3y-16）米，

在RtZ?ABC中，NACB=60°,

Λtan60o=-=-l^4γ—=匾，

AC√z3y-16

解得：y—6÷8Λ∕3?

經檢驗：y=6+8√ξ是原方程的根，

ΛΛβ=BF+AF=18+8√3≈31.9（米），

/.建筑物的高度AB約為31.9米.

考向3兩個觀測點觀測兩個位置點

28.（2022?遵義）如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構

成.如圖2,AB是燈桿，CD是燈管支架，燈管支架C。與燈桿間的夾角/

BDC=60o.綜合實踐小組的同學想知道燈管支架CD的長度，他們在地面

的點E處測得燈管支架底部D的仰角為60°,在點F處測得燈管支架頂部C

的仰角為30°,測得AE=3m,EF=Sm（A,E,尸在同一條直線上）.根據

以上數據，解答下列問題：

（1）求燈管支架底部距地面高度Ao的長（結果保留根號）；

（2）求燈管支架CO的長度（結果精確到0.1〃2,參考數據：√3^1.73）.

圖2

【解答】解：（1）在Rt△￡>AE中,ZAED=60o,AE=3m,

AD=AE?tan60o=3M（米），

.?.燈管支架底部距地面高度AD的長為3√ξ米;

（2）延長EC交AB于點G,

VZDAE=90o,NAEC=30°,

ΛZDGC=90°-ZΛFC=60°,

VZGDC=60°,

.?.NDCG=180°-ZGDC-ZDGC=GOo,

，△￡>GC是等邊三角形，

DC=DG,

?.NE=3米，Eb=8米，

.'.AF=AE+EF=??（米）,

在RtZ?AFG中，AG=AF?tan30°=11×2∕∑=ll√3（米）,

33

ΛDC=DG=ΛG-ΛD=11√3-3√3=-^√3≈1.2（米），

33

二燈管支架CD的長度約為1.2米.

29.（2022?貴陽）交通安全心系千萬家，高速公路管理局在某隧道內安裝了測速

儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖.測速儀C和測速儀E到路面之間

的距離CD=EF=7m,測速儀C和E之間的距離CE=75Gm,一輛小汽車在

水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀。處測得小汽車在隧道入口A點

的俯角為25°,在測速儀E處測得小汽車在8點的俯角為60°,小汽車在隧

道中從點A行駛到點8所用的時間為38s（圖中所有點都在同一平面內）.

（1）求A,B兩點之間的距離（結果精確到1加；

（2）若該隧道限速22〃加，判斷小汽車從點A行駛到點8是否超速？通過計

算說明理由.

（參考數據：√3≈1.7,sin25o≈0.4,cos25o≈0.9,tan250≈0.5,sin65o

≈0.9,cos65o≈0.4,tan65o≈2.1)

隧道入口

【解答】解：（1）由題意得:

ZC4D=25o,NEBF=60°,CE=OF=750米，

在RtAACO中，CO=7米，

.'.AD=―也■一心工=14（米），

tan250.5

在RtZ?BE/中，￡尸=7米，

.'.BF=―5^—=-Z-^4.1（米），

tan60√3

.?AB=AD+DF-BF=14+750-4.1?≈760（米），

.?.A,B兩點之間的距離約為760米；

（2）小汽車從點A行駛到點8沒有超速，

理由：由題意得：

760÷38=20米/秒，

V20米/秒＜22米/秒，

.?.小汽車從點A行駛到點B沒有超速.

30.（2022?遼寧）數學活動小組欲測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，DC

LAM于點E,在A處測得大樹底端C的仰角為15°,沿水平地面前進30米

到達3處，測得大樹頂端。的仰角為53°,測得山坡坡角NC8M=30°（圖

中各點均在同一平面內）.

（1）求斜坡BC的長；

（2）求這棵大樹CO的高度（結果取整數），

（參考數據：sin53o≈A,cos53o七3,tan53°≈A,√3≈1.73）

553

D

ZCAE=15o,A8=30米，

,.?NCBE是AABC的一個外角，

：.ZACB=ZCBE-ZCAE=15°,

ΛZACB=ZCAE=?5o,

.?.AB=BC=3O米，

，斜坡BC的長為30米；

（2）在RtZ?C8E中，NCBE=30°,BC=30米，

ΛCE=ABC=15（米），

2

BE=√3CE=15√3（米），

在RtZSOEB中，NDBE=53°,

.".DE=BE?tan53o?≈15√3×-∣-=2O√3（米），

ΛDC=DE-CE=2O√3-15≈20（米），

.?.這棵大樹C測量

31.（2022?廣元）如圖，計劃在山頂A的正下方沿直線C。方向開通穿山隧道

EF.在點E處測得山頂A的仰角為45°,在距E點80m的C處測得山頂A

的仰角為30°,從與F點相距IOm的D處測得山頂A的仰角為45°,點C、

E、F、。在同一直線上，求隧道Eb的長度.

【解答】解：過點A作垂足為H,

設￡7/=X米,

在Rt△4￡：”中，NAE"=45°,

：.AH=EH?tan45o=X(米),

TCE=80米,

：.CH=CE+EH=(80+x)米,

在RtaACH中，ZACH=30o,

Λtan30o=—=―--=魚