2022-2023學(xué)年浙江省寧波市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

1.已知集合A={0,1,2},B={-1,0},則AUB=（）

A.{-l,l,2}B.[0,1,2)C.{-1,0}D.{-1,0,1,2)

2.復(fù)數(shù)-l-2i（i為虛數(shù)單位）的虛部是（)

A.-2B.-1C.1D.2

3.函數(shù)f（χ）=（X—的定義域是（）

1

A.(-∞,∣)B.[j,+∞)c.{-∞,-∣)D.[-2/+∞)

4.已知tanα=-1,a∈（0,π],那么α的值等于（）

5.某制藥廠正在測(cè)試一種減肥藥的療效，有IOoO名志愿者服用此藥，結(jié)果如表:

體重變化體重減輕體重不變體重增加

人數(shù)241571188

如果另有--人服用此藥，根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計(jì)此人體重減輕的概率是（）

A.0.57B,0.33C.0.24D.0.19

6.已知向量五=(X,2),b-(3,6)-a1a則實(shí)數(shù)X的值為（)

A.1B.-4C.4D.-1

7.球的半徑是R=3,則該球的體積是（)

A.36ττB.2OTTC.25πD.30ττ

8.對(duì)數(shù)Sa與匈b互為相反數(shù)，則有（）

A.a+b=0B.a—b=0C.αb=1Df=1

9.取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分,去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段

分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…：將這樣的操作一直繼續(xù)下去，

直至無(wú)窮，由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極

限的情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集.若在第n次操作中去掉的線段長(zhǎng)度之

和不小于2，則n的最大值為(參考數(shù)據(jù)：1.57≈17.1,1.58≈25.6,1.59≈38.4,1.51°≈

57.7)()

A.7B.8C.9D.10

10.己知α,b為非零實(shí)數(shù)，則''α>b"是的()

aD

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.在△力BC中，IaBl=3,?AC?=2,?D=?+?,則直線AD通過(guò)△ABC的()

A.垂心B.外心C.重心D.內(nèi)心

12.已知函數(shù)/'O)的定義域?yàn)镽,/(%+；)為奇函數(shù)，且對(duì)于任意x∈R,都有/'(2-3X)=

/(3x),則下列結(jié)論中一定成立的是()

A./(1-X)=/(x)B./(3x+1)=/(3x)

C.f(x-1)為偶函數(shù)D./(3x)為奇函數(shù)

13.下列函數(shù)是增函數(shù)的是()

A.y=X3B.y=%2C?y=χlD.y=-x~1

14.已知平面αJL平面6，且an/?=(,則下列命題不正確的是()

A.平面a內(nèi)的直線必垂直于平面￡內(nèi)的任意一條直線

B.平面a內(nèi)的已知直線必垂直于平面S內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線

C.平面a內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面0

D.過(guò)平面a內(nèi)的任意一點(diǎn)作交線/的垂線，則此垂線必垂直于平面夕

15.在44BC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.以下列選項(xiàng)為條件，一定可以推出A=

的有()

A.a=7,b=8,c=5B.a=y∏,b=y∕~2,B

3

c?S山BSinC=4D.2sin2+cos2A=1

16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體AC'中，點(diǎn)E為CC'的中點(diǎn)，點(diǎn)P在

線段4C'(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，記二面角P-AB-。的大小為a,

二面角P-BC-O的大小為例則()

A.異面直線BP與4C所成角的范圍是?,芻

B.tan(a+0)的最小值為一《

C.當(dāng)△4PE的周長(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐B-AEP的體積為罟

D.用平面BEP截正方體4C',截面的形狀為梯形

(2xY<O

17.已知函數(shù)f(x)="(七;X>0,W(-D=，∕0og23)=

18.在生活中，我們經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的路障，它可以近似地看成由一個(gè)直八

棱柱、一個(gè)圓柱與一個(gè)圓臺(tái)組合而成，其中圓臺(tái)的上底面直徑為4cm,下底面

直徑為40cm,高為80cτn.為了起到夜間行車的警示作用，現(xiàn)要在圓臺(tái)側(cè)面涂上

熒光材料，則涂料部分的面積為cm2.

19.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足Xy-X-2y=0,則x+y的最小值是.

20.在銳角△4BC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,?sin2A=sin2B+SinBsinC,

則押取值范圍為.

21.隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A款訂餐軟

件的商家中隨機(jī)抽取100個(gè)商家，對(duì)它們的“平均配送時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)?，所有數(shù)據(jù)均在［10,70］

范圍內(nèi)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求α的值；

(2)試估計(jì)該市使用4款訂餐軟件的商家的“平均配送時(shí)間”的第20百分位數(shù).

22.已知函數(shù)/'(x)=sin(ωx+邛).其中3>0.若f(x)的最小正周期為兀，且/(］)=/(y);

(1)求3,租的值；

(2)若Iwl<*求/(x)在區(qū)間［一黑］上的值域.

23.已知函數(shù)f(x)=,ogɑX+αx++√x>0),其中a>l.

(1)若。=2,求/(手的值；

(2)判斷函數(shù)/(“)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

(3)設(shè)/Qo)=0,求證：I<八/五)<?.

24.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件A="第一次正面朝上"，事件B="第二次正

面朝上”，則()

-1a

A.P(4)=：B.P(A+B)=7

N4

C.事件Z與事件B互斥D.事件4與事件B相互獨(dú)立

25.已知平面向量值,方滿足Ial=I,|方|=2，則()

A.∣E++的最大值為3B.∣Z-B∣的最大值為3

C.|k+B∣+∣五一3|的最大值為6D.|五+3|一|五-另|的最大值為2

26.己知函數(shù)/(%)=SinX,g(x)=cosx,若6滿足，對(duì)VXI∈[0,芻，者歸>?e[-a0]使得

2f(%ι)=2g(x2+8)+1成立，則。的值可能為()

A.πB,?C.?D.5

27.己知正實(shí)數(shù)Q、b、C滿足l0g3α=l0g5b,l0g3b=l0g5C,其中α>l,則()

2αcb+1

A.?ogɑh=log35B.a>b>cC.ac>bD.2+2>2

28.如圖，正四棱錐P-ABCD的高為2√^Σ,體積為學(xué).

(1)求正四棱錐P-ABCD的表面積：

(2)若點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，求直線4E與平面ABCo所成角的正切值；

(3)求二面角A-PB-C的余弦值.

?∕D

A

B

29.己知定義在R上的函數(shù)/(x)=-χ2+χ∣χ-α∣,其中α為實(shí)數(shù).

GL)當(dāng)α=3時(shí),解不等式/(x)≥-2;

(2)若函數(shù)/(X)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求ɑ的取值范圍；

(3)對(duì)于α∈[4,+8),若存在實(shí)數(shù)無(wú)1，χ2(χ1<X2),滿足f(%ι)=/(x2)=mf求紅網(wǎng)盤的取值

xlx2

范圍.(結(jié)果用α表示)

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?={0,l,2},B={-l,0},

所以4UB={-1,0,1,2).

故選：D.

根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.

本題主要考查了集合并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)一1一2i,

所以復(fù)數(shù)-1-2i(i為虛數(shù)單位)的虛部是-2.

故選:A.

利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

[解析]解：因?yàn)?(χ)=(X—?)z=JX-]

所以x-g≥O,Mx≥?,

所以/(x)的定義域?yàn)楣?+8).

故選：B.

利用具體函數(shù)定義域的求法求解即可.

主要考查了函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：已知tcma=-1,且a∈[0,π),故α的終邊在射線y=-x(x<0)上,

故選：D.

根據(jù)tcmα=—1,且α6[0,7τ),故α的終邊在射線y=—X(X≤0)上，從而得到ɑ的值.

本題考查根據(jù)三角函數(shù)的值求角的方法，判斷ɑ的終邊在射線y=-x(x≤0)上,是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：由已知統(tǒng)計(jì)表可知在IoOO名志愿者中，

服藥后出現(xiàn)體重減輕的人數(shù)為241人，

因此服藥后出現(xiàn)體重減輕的頻率為焉=0.241≈0.24.

故選：C.

利用表中數(shù)據(jù)直接計(jì)算即可.

本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：Ta=(X,2),b-(3,6)>ɑ1b?

.??3x+2×6=0,即X=-4.

實(shí)數(shù)X的值為-4.

故選：B.

由兩向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解.

本題考查兩向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：???/?=3,

二該球的體積V=^π∕?3=36ττ.

故選:A.

利用球的體積公式直接計(jì)算即可.

本題考查球的體積公式，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：?“gα=-Igb

?Iga+Igb=0

?lg(ɑh)=O

???ab=1

故選：C.

由已知條件列出方程，利用對(duì)數(shù)的積的法則求出M=1.

本題考查對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則、考查當(dāng)真數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，對(duì)數(shù)互為相反數(shù).

9【答案】B

【解析】解：第一次操作去掉的線段長(zhǎng)度為：，

第二次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為IXp

第三次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為IXIX5

???,

第n次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為(∣)nτ

由題意知,φn-1?∣≥?w>jφn≥?

則(∣)rι≤30,

因?yàn)閨>1,

所以指數(shù)函數(shù)y=(|尸為增函數(shù)，

又1.58a25.6,1.59≈38.4,n€N*,

所以n=8,

故選：B.

根據(jù)題設(shè)可得第n次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為(I)”一1q,則有(扔τq≥表，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)性

質(zhì)結(jié)合參考數(shù)據(jù)求律的最大值.

本題考查數(shù)列的應(yīng)用、指數(shù)不等式的求解，考查學(xué)生的歸納推理能力和計(jì)算能力，屬中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：當(dāng)α>O>b時(shí)，—>0>?所以由α>b得不出工<:，

abab

若工<則工一:=與^V0,若QbV0,則b—Q>0,即QVb,

ababab

所以由已加不出α>b,

1I

所

以

Q>,b是-<-

Qb的既不充分也不必要條件.

故選D

根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】D

【解析】解：???∣2B∣=3,MCl=2

??.∣;近I=Ilm=∣.

設(shè)荏=《市AF=AC,

24

則I畫(huà)=I殖，

?AD=?^AB+?=AE+AF.

24

由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形4EDF為菱形.

二月。為菱形的對(duì)角線，

.?.4。平分"ZF.

直線AD通過(guò)△力BC的內(nèi)心.

故選：D.

3

首先根據(jù)已知條件可知∣g同I=E初=|,又因?yàn)槎?g而+［律設(shè)荏4-

由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形AEDF為菱形，從而可確定直線4。通過(guò)△4BC的內(nèi)心.

本題考查向量加法的平行四邊形法則及其幾何意義，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解:由f(x+：)是奇函數(shù)，得f(x+g)=—f(-X+g)，即/"(%)—/(1—%)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由/(2-3x)=∕(3x),得f(2-x)=/(X),所以f(2-x)=-/(1-X),即f(x+1)=-『(x),則

∕?(3x+l)=-∕(3x),B錯(cuò);

由/(X+1)=-f(x)可得/(X+2)=-f(x+1)=/(x)可得函數(shù)f(X)的周期為7=2,

f(x)=-/(1-X)與f(x+1)=-f(x)可得C(X+1)=/(1-x),即函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱,

根據(jù)周期為2可得函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于％=-1對(duì)稱，即f(-l+x)=/(-1一久)，所以f(x-l)為

偶函數(shù)，C正確；

因?yàn)?(2-3%)=/(3乃且函數(shù)/(乃的周期為7=2,所以f(2-3x)=/(—3x)=f(3x),f(3x)為

偶函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

由/(X+勺是奇函數(shù)，得/(X)=-/(1-乃即可判斷4,先證明f(X+1)=-/(X),得到f(3x+1)=

-/(3x),從而判斷B,證明/(%)的周期為2,再證明函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于X=-I對(duì)稱，可判斷C,

由/(2-3x)=/(3x)結(jié)合周期性判斷D.

本題主要考查了基本初等函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性及周期性的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A,函數(shù)y=/的定義域?yàn)镽,

函數(shù)y=爐在R上單調(diào)遞增，A正確；

對(duì)于8,函數(shù)y="的定義域?yàn)镽,

函數(shù)y=/在(一8,0］上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,函數(shù)y=4的定義域?yàn)椋?,+8),

函數(shù)y=6在［0,+8)上單調(diào)遞增，C正確；

對(duì)于D,函數(shù)y=-XT的定義域?yàn)?—8,0)U(O,+8),

函數(shù)y=-XT在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

但/(-1)=-l>l=/(1),。錯(cuò)誤；

故選：AC.

根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的單調(diào)性即可.

本題主要考查了基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4,平面ɑ內(nèi)取平行于交線的直線時(shí)，該直線與平面0平行，不垂直于平面。內(nèi)的

任意一條直線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,取平面，內(nèi)無(wú)數(shù)條與交線垂直的直線，平面ɑ內(nèi)的已知直線與這無(wú)數(shù)條直線垂直，故B正

確；

對(duì)于C,平面α內(nèi)取與1平行的直線，不垂直于平面口，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若ɑ內(nèi)的任意一點(diǎn)取在交線，上，所作垂線可能不在平面α內(nèi)，所以不一定垂直于平面氏

故。錯(cuò)誤.

故選：ACD.

根據(jù)線面、面面關(guān)系逐一判斷即可.

本題考查根據(jù)線面、面面關(guān)系的判斷，屬中檔題.

15.【答案】AD

b2c2a2

【解析】解：對(duì)于4由余弦定理可得cos4=+-=64+25-49=L又i4e(0,兀)，

2bc2×8×52

所以4A正確；

對(duì)于B,由正弦定理可得號(hào)=又a=C,b=jl,B=R

SinASinB4

所以S譏A=E?!=g,又4€(0,兀)，

√~12

所以力=裁A=?，B錯(cuò)誤;

?3

對(duì)于C,取B=JC為銳角，且SinC='，

可得4為銳角，且CoSa='，此時(shí)A建，C錯(cuò)誤；

對(duì)于0,?2sin2笥C+cos2A=1可得2sin2(]-今+cos2A=1>

所以cos2A=1-2sin2(^-今=COS(Tr—A)=-cosA,

所以2COS2_4+cosA—1=0,解得COSyI=g或cos/1=—1(舍)，

又4∈(O,τr),所以A=。正確.

故選：AD.

由余弦定理判斷4由正弦定理判斷B,舉例判斷C,結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系和二倍角公式誘導(dǎo)公式判斷。.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.【答案】ABD

【解析】解:對(duì)于4因?yàn)?C〃A'C',

所以異面直線BP與AC所成角為NBPA或48PC'中的銳角或直角，

又B4=4'C'=BC',

所以AB4C'為等邊三角形，

因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AC'（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，

所以當(dāng)P為線段AC，的中點(diǎn)時(shí)，?BPA'=乙BPC'=I，

此時(shí)異面直線BP與AC所成角為宏

當(dāng)點(diǎn)P趨近4'或C'時(shí)，異面直線BP與AC所成角趨近半

所以異面直線BP與AC所成角的范圍是?,自，選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B,過(guò)點(diǎn)P作PF√∕4'4,PFQAC=F,

因?yàn)?4，平面4BC。，

所以PF1平面力BCD,

過(guò)點(diǎn)尸作FGlaB,FH1BC,垂足為G,H,

所以NPGF為二面角P-AB-D的平面角，NPHF為二面角P-BC-。的平面角,

故NPGF=a,乙PHF=β,

設(shè)HP=。無(wú)，貝IJFG=AG=x,GB=FH=2-x,0<x<2,

所以tαnα=段=tan"黑=￡，

所以tag+。）=詈蜉=i?=H,

X2—X

因?yàn)镺<X<2,

所以2%—x2—4∈(—4,—3],

所以tan(α+=I-%T)，

所以當(dāng)X=I時(shí)，tan(α+/?)取最小值，最小值為選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C,延長(zhǎng)EC'到點(diǎn)M,使得EC'=MC',則PE=PM,

M

AB

所以4P+PE+AE=AP+PM+AE≥AM+AE,

當(dāng)且僅當(dāng)4,P,M三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

所以當(dāng)點(diǎn)P為線段AM與4'C'的交點(diǎn)時(shí)，△4PE的周長(zhǎng)最小,

因?yàn)镻C7/AC,

所以△PCM-LACM,

所噴=器E

又AC=2/1，

所以PC'=當(dāng)?,

所以△4PE的面積S=SAeC，A，—ShACE-SAECP~^?AA∣P=4√^Σ-\/~2-?—生子=等工

XBOLAC,BOLAA',AC(ΛAA'=A,AC,44'U平面ACeW,

所以B。1平面ACC'4',

所以點(diǎn)B到平面ZPE的距離為B0,

所以當(dāng)44PE的周長(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐B—4EP的體積為選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于“，延長(zhǎng)BE,B'C',兩直線交于點(diǎn)Q,連接PQ,

連接B7,SE,

因?yàn)槠矫?BB'47∕平面。CC'。'，

平面BEPn平面48BW=BT,平面BEPn平面DCC'O'=ES,

所以B7√∕ES,

又BT≠ES,

所以四邊形BEST為梯形，

所以用平面BEP截正方體AC',截面的形狀為梯形，D正確.

故選：ABD.

由異面直線夾角定義確定異面直線BP與4C所成角，由此判斷4由二面角的定義確定α,0,求tαnα,

tanβ,利用兩角和的正切公式求tan(α+6),再求其最小值，判斷B；確定△4PE周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的

位置，結(jié)合錐體體積公式求B-AEP的體積，判斷C；根據(jù)平面的性質(zhì)，確定正方體AC'的過(guò)點(diǎn)B,

E,P的截面，判斷0.

本題主要考查異面直線的夾角，二面角的求法，錐體體積問(wèn)題，正方體的截面，考查學(xué)生的邏輯

推理能力和直觀想象能力，屬于中檔題.

17.【答案Wi

【解析】解:因?yàn)?⑶=｛先至｝>0,則f(—l)=2-1=?;

因?yàn)?=log22<log23<log24=2,所以,-1<log23-2<0,

lo32

所以，f(log23)=f(?log23-2)=2^-=?-=

I3

i

24-

利用函數(shù)f(x)的解析式可求得/(-1)的值，計(jì)算出10g23的范圍，根據(jù)函數(shù)/?(x)的解析式可求得

/Qog23)的值.

本題主要考查了分段函數(shù)中，函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】1804π

【解析】解：作圓臺(tái)的軸截面如下:

過(guò)點(diǎn)4作4Ed.BC,垂足為E,

由已知，AE=80,BE=TX(40—4)=18,

所以4B=√AE2+BE2=82，

所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為82cm,

由已知圓臺(tái)的上底半徑為2cm,下底半徑為20cτn,

所以圓臺(tái)的側(cè)面積S=7ΓX(2+20)X82=1804Tr(Cnl2).

故答案為：1804π.

作圓臺(tái)的軸截面，利用條件求其母線長(zhǎng)，再由圓臺(tái)側(cè)面積公式求其側(cè)面積即可.

本題主要考查圓臺(tái)側(cè)面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】3+20

【解析】解：因?yàn)閄y-X-2y=0,

所以X+2y=xy,

所以?+；=1,

χy

所以X+y=(X+y)6÷i)=2+≡+^+l≥3+2J=3+2y∕~2,

當(dāng)且僅當(dāng)三=§,介；=1時(shí)等號(hào)成立，即x=2+，2y=，五+1時(shí)等號(hào)成立,

所以X+y的最小值是3+2√^7?

故答案為：3+2/二.

由條件可得:+；=1，結(jié)合基本不等式求X+y的最小值.

?y

本題主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】(1,2)

【解析】解:因?yàn)镾iMa=siMB+sinBs?ιC,由正弦定理可得小=∕√+be,

222

由余弦定理/=b+C—2bccosAf所以be=C—2bccosA,即b=C-2bcosAf

由正弦定理可得SiZIB=SinC—IsinBcosA,

所以SiTIB=Sin(A+B)-2sinBcosA,

即SblB=SinAcosB+CosAsinB-IsinBcosA,

所以SiTIB=Sin(A—B),

因?yàn)?<AOVBV所以—'<A—B<?,

所以B=A-B,即A=28,所以C=Tr-3B,

由AABC為銳角三角形，所以0<4=2B<*0<C=π-3B<≡可得*<B<，

LZo4

2

所以?<COSB<孕，：<COSB<

Z2，4

L下己方由孑甲弭C_sinC_sin3B_sin(28+8)_sin2BcosB+cos2BsinB

’77e-SinB~SinB-SinB-SinB

=2COS2B+cos2B=4COS2B—1∈(1,2),

即"的取值范圍為(1,2).

故答案為：(1,2).

由正弦定理將邊角互化，結(jié)合余弦定理及兩角和差的正弦公式得到Sin(A-B)=S譏B,根據(jù)aABC

為銳角三角形可得4=2B,C=兀-38以及*<B<￡再由正弦定理可得5=騎=駕，利用

64bStnBSinB

兩角和的正弦展開(kāi)式和CoSB的范圍可得答案.

本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)依題意可得(0.004+0.02+0.056+α+0.004+0.002)×10=1,

解得α=0.014.

(2)因?yàn)?.04<0.2<0.04+0.2,所以第20百分位數(shù)位于［20,30)之間，

設(shè)為支，則0.04+(x—20)X0.02=0.2,解得x=28,

故第20百分位數(shù)為28.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，解得即可.

(2)首先判斷第20百分位數(shù)位于［20,30)之間，設(shè)為X,則0.04+Q-20)x0.02=0.2,解得即可.

本題主要考查頻率分布直方圖，百分位數(shù)的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】解：(1)因?yàn)?"(x)=Sin(3%+W)的最小正周期為兀，ω>0,

所以生=兀，所以3=2,

ω

所以/(%)=sin(2x+φ),

因?yàn)榫?=噌),

所以Sin(Tr+9)=Sin(F+

所以一Sin(P=—?cosφ—?sinφ，

所以tem(p=√~3,

所以9=kτr+g,k∈Z,

(2)由(l)0=kττ+ak∈Z,X∣φ∣<p

所以9=全

所以/(%)=sin(2x+∣),

由己知Y≤x≤也所以T≤2x+g≤?,

??333

所以一號(hào)≤sin(2x+?)≤1，

所以f(X)在區(qū)間［一狀］上的值域?yàn)椋??,1］?

【解析】⑴由函數(shù)/(乃的周期，結(jié)合周期公式求3,由條件&)=/(爭(zhēng)化簡(jiǎn)求處

(2)結(jié)合條件M<辨定仍利用不等式性質(zhì)結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求f(x)在區(qū)間［冶市上的值域.

本題主要考查了和差角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

23.【答案】解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=log2x÷2x÷——(x>0),

(2)∕,(x)=-......Fa---------2,

xlna(%+l)2

Vα>1,%+1>1,

1

?Ina>0,--?<1<a

。+1)9

???∕,(x)>0,

???f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

Va>1,

????<1-?τ<1'

則/?)=-2+；+島<0，

又/(1)=α+∣>0,

由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，/(x)在(0,+8)內(nèi)有唯一零點(diǎn)；

(3)證明：由(2)可知，x0∈(?,l),

"/(?o)=IogaXO+α%o+??i=0,

.1

???logax0=-ax0-石五，

lαx

f(G=I09aχ0+aG+7?i=-∣θ-2?i)+內(nèi)+7?p

令?/%o=t,

teυ

則/⑷=Gat2_i?+at+擊=—-1)2—1]+2(?)JIl)(?)

令g(t)=-劉-Ai],

..2t2-t+ι=2[(Ty+直>0,

'2(tz+l)(t+l)―2(t2+l)(t+l)

???/(t)>g(t)，

易知g(t)在C，l)上單調(diào)遞增，

乂a>1,?<?,

2a2

???f(t)>5(0>5?=-f[?-D2-l]=l-?>p

???g(t)=-#-1)2-1]<g(l)=于

要證饞)<等，只需證溪蒜i5∕

即證2尸-t÷1<(t2+l)(t+1),

令∕ι(t)=(t2+l)(t+1)—(2t2—t+1)=/—/+23

V∕ι,(t)=3t2-2t+2=3[(t-1)2+1]>0，

:?∕ι(t)在(0,1)單調(diào)遞增,

.?.∕ι(t)>∕ι(0)=O,g∣J(t2+l)(t+l)>2t2-t+l,即/(t)<竽.

綜上,；</(t)<竽，<f(7^^?)<?-

【解析】(1)根據(jù)解析式直接計(jì)算即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可；

(3)利用單調(diào)性結(jié)合放縮法證明.

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

24.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4試驗(yàn)的樣本空間為：0={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)},共4個(gè)樣

本點(diǎn)，

所以P(A)=T,故PQ4)=g，故A正確；

對(duì)于B,試驗(yàn)的樣本空間為：0={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)},共4個(gè)樣本點(diǎn)，事

-43

件4+B含有(正，正)，(正，反)，(反，正)，這三種結(jié)果，故PQ4+B),

對(duì)于C,A={(正，正)，(正，反)},B={(正，正)，(反，正)}，顯然事件4事件B都含有“(正,

正)這一結(jié)果，事件4,事件B能同時(shí)發(fā)生，因此事件4與事件B不互斥，故C不正確；

對(duì)于P(Z)=今P(B)=aP(AB)=?,所以PQ4B)=P(A)P(B),

所以事件4與事件B為相互獨(dú)立事件，故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)對(duì)立事件，并事件，互斥與相互獨(dú)立事件的概念，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.

本題主要考查對(duì)立事件，并事件，互斥與相互獨(dú)立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

25.【答案】ABD

【解析】解:設(shè)立,b的夾角為8,θ∈[0,π]f?a?=l,?b?=2fa?b=∣α11&∣cosθ=2cosθ?

22,

VIɑ+KI=J(a+e)=ΛJα÷2ɑ?K÷K=√5+4cosθ

Vθ∈[O,π],?cosθ∈[—1,1],

當(dāng)CoSe=I時(shí)，|有+方|有最大值3,故A正確；

22

?.??a-b?=J(α-h)=y∣a-2a-b+f=√5-4cosL

Vθ∈[0,π],.,.cosθ∈[—1,1],

???當(dāng)CoSe=-1時(shí)，I五一另I有最大值3,故B正確；

v∣α÷b∣-∣α-&|=√5+4cosθ—√5—4cosθ，

要使I五+石I-1五一方I取最大值，只需考慮I元+B∣-I五一≥0的情形，

此時(shí)(|α+h∣-∣α-K∣)2=10-2√25-16cos20-

θ∈[0,π],?COS2?！蔥0,1],

.?.?cos20=1時(shí)，(∣α+6∣-∣α-h∣)2W≡ΛΛ10-2X3=4,

所以|弓+石I-I五一的最大值為2,故。正確.

?.?∣α+b∣+∣α-h∣=√5+4cosθ+√5—4cosθ，

???(|α+Z?I+Iα—eI)2=10+2√25-16cos2θ，

Vθ∈[0,π]>?cos20∈[0,1],

???當(dāng)COS2。=0時(shí)，(∣α+K∣+∣α-K有最大值10+2x5=20,

所以∣n+B∣+∣N-B∣的最大值為2門，故C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

設(shè)五范的夾角為。，通過(guò)平方轉(zhuǎn)化得I五+石I="5+4cos。，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值,

即可判斷4選項(xiàng)BS采用同樣的方法求解判斷即可.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，是中檔題.

26.【答案】BC

【解析】解：因?yàn)閷?duì)VXIe[0,≡],都m%2∈[一，0]使得2∕(%ι)=2g(,x2+9)+1成立，

所以/(x)=2SinX,X€[0,月的值域包含于函數(shù)y=2cos(t+0)+1,t€[-，0]的值域,

函數(shù)/(x)=2sinx,X∈[0,自的值域?yàn)閇0,2],

所以S=4πR2=12π,t∈［一，0］的值域包含區(qū)間［0,2］,

由一5工七工0，可得一5+6工t+8工6，

當(dāng)6=TT時(shí)，≤t+7Γ≤7T,-1≤cos(t+7T)≤0,

所以S=4τrR2=i2τr,t∈［—90］的值域?yàn)椋?1,1］不滿足要求，4錯(cuò)誤；

當(dāng)"制，∣≤t+?≤?,-f≡≤c0s(t+?)≤i,

所以y=2cos(t+■)+l,te［-a0］的值域?yàn)椋垡籷+l,2］滿足要求，B正確；

當(dāng)。=爭(zhēng)時(shí)，∣≤t+y≤y,-l≤cos(t+y)≤^.

所以y=2cos(t+爭(zhēng)+1,t∈［∕θ］的值域?yàn)椋跲,q+1］滿足要求，C正確：

當(dāng)0=狎，0≤t+j≤≡0≤cos(t+9≤l,

所以、=29(￡+方+1/6［冶,()］的值域?yàn)椋?，3］不滿足要求，。錯(cuò)誤.

故選：BC.

由條件可得=2sinx,X∈［0,/的值域包含于函數(shù)y=2cos(t+θ)+l,t∈［-權(quán)0］的值域,

求函數(shù)f(x)=2sinx,Xe［0,且的值域，并對(duì)各選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)，可得結(jié)論.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

27.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)棣?gt;l,所以k)g3α>O,

由log3<2=l0g5b,可得曾=霽，則”=y|,所以IOgab=IOg35,故A對(duì);

Cil?"C。LiLLLiri?

mrn

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)l0g3Q=log5Z?=m>0,則Q=3,b=5,

因?yàn)榛瘮?shù)y=Nn在(0,+8)上為增函數(shù)，所以37nV57n,即αvb,

nn

設(shè)l0g5C=log3h=n>0,則b=3,c=5,

因?yàn)槟缓瘮?shù)y=%九在(0,+8)上為增函數(shù)，

n

所以3V5%即b<c,^ia<b<cf故8錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閎=5rn=3n,且?n>0,n>0,

所以zn∕n5=九》3,所以巴=空>1,則TnVrι,故m—n<0,

mln3

所以寫=I^=(I)m-n>1,即αc>b2,故C對(duì)；

b???

對(duì)于。選項(xiàng)，由基本不等式，可得α+c>2√~五>2b,

所以，2a+2c>2√2a+c>2√22b=2fc+1,故。對(duì).

故選：ACD.

利用換底公式可判斷4選項(xiàng)；設(shè)l0g3α=∣0g5b=m>0，log5c=log3fa=n>0,利用對(duì)數(shù)與指數(shù)

的互化，以及募函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；比較m、n的大小，利用作商法結(jié)合事函數(shù)的單調(diào)性

可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷。選項(xiàng).

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題.

28.【答案】解：CI)連接4CΠBD=。，連接P。，如圖,

因?yàn)樵谡睦忮FP-ABCD中，底面ZBCD是正方形，

則AC_LBD,且。是AC與BO的中點(diǎn)，P。_L底面4BC。，

因?yàn)檎睦忮FP-ABCO的高為2/2，體積為浮，

則P。=2，7,

設(shè)底面ABCC邊長(zhǎng)為3則&BCD=t2>

所以由VP-ABCD=：S*BCD,P。，得如P=Jt?x2√~Σ,

?

解得t=2,

因?yàn)镻。_L底面ABCD,OCU底面4BCD,

故P。10C,

在RtAP。C中，OC=V2AC=y∏.,

則PC=√PO2+OC2=<10，

同理PB=√7萬(wàn)，

所以在△PBC中，PB=PC=y∏L0,BC=2.

則SAPBC=∣×2×√10-1=3,

同理：S“AB=^?PAD=S“CD=SAPBC=3'

所以正四棱錐P-ABCD的表面積為S=SABCD+4SAPBC=4+4X3=16.

(2)由(1)可得，以。為原點(diǎn)，函,而,麗為X,y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4(√7,0,0),C(S,0,0),B(0,y∕~2,0),D(0,-√7,0),P(0,0,2√7),

因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn),

所以E(OSq)，

則荏=(一/^,3,「)，

易知平面力BCD的一個(gè)法向量為而=(0,0,1),

設(shè)直線4E與平面ABCD所成角為。，則O<θ<p

所以sin。=|c。S質(zhì)初=晶=苗短=I-

IJI21J0?

故COSJ=√1-sin2