2023-2024屆新高考一輪復習湘教版 5-5 復數(shù) 學案

第五節(jié)復數(shù)

【課標標準】1.通過方程的解認識復數(shù)2理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩

個復數(shù)相等的含義3掌握復數(shù)代數(shù)表示式的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.復數(shù)的有關概念

(1)復數(shù)的定義：形如α+bi(α,%∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中實部是一，虛部是

'_____(b=0)

⑵復數(shù)z=α+可虛數(shù)S力0)J——(a=0)

(3)復數(shù)相等：a+bi=c+di<^.(〃,h,c,J∈R)

(4)共轉復數(shù)：G+bi與c+歷共筑=,(a,b,c,(7∈R)

(5)復數(shù)的模：向量位的模叫做復數(shù)z=a+bi的模,記作IZI或|“+磯即IZI=Ia+歷∣=r

_______(r,0,a，?∈R).

2.復數(shù)的幾何意義

(1)復數(shù)z=α+從〈=二復平面內的點

Z(α,6)(α,6∈?R).

(2)復數(shù)z=α+歷(α"GR)?一一對應，平面

向量51

3.復數(shù)的運算

設zι=q+bi,Z2=c+di(mb,c,J∈R),則

①加法：Z1+Z2=(α+歷)+(c+di)=；

②減法：Z］-z2=(a+hi)-(c+di)=；

③乘法：zιZ2=(α+歷)(c+M)=；

④除法：立=聯(lián)="?書=________________(c+di≠0)?

z2c+dι(c+dι)(c-dι)

［常用結論］

(l)i"("∈N*)具有周期性，且最小正周期為4,其性質如下：

①i4"=l(∕j∈N*),i4π+1=i(n∈N),i4,,+2=-l(n∈N),i4n+3=-i(n∈N).

②j4"+i4n+1+j4"+2+j4?+3=Q

(3)復數(shù)的模與共輒復數(shù)的關系

∑-z-∣z∣2-∣z∣2.

夯實雙基

L思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)復數(shù)z=α+歷(α,?∈R)Φ,虛部為歷.()

(2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小.()

(3)原點是實軸與虛軸的交點.()

(4)復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量

的模.()

2.(教材改編)設z=(l+i)(2-i),則復數(shù)Z在復平面內所對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.(教材改編)已知X,γ∈R,i是虛數(shù)單位，且(2x+i)(l-i)=y,則J的值為()

A.-1B.1

C.-2D.2

4.(易錯)已知復數(shù)z=l+i(其中i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)2Z的虛部是.

5.(易錯)若復數(shù)(l-2i)(α+i)是純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為.

關鍵能力?題型突破

題型一復數(shù)的概念

例1已知復數(shù)Z=OW2—8〃?+15)+(/?2—9MJ+18)i,其中i為虛數(shù)單位.

(1)若復數(shù)Z是純虛數(shù)，求實數(shù)機的值；

(2)若復數(shù)Z在復平面內對應的點位于第三象限，求實數(shù)m的取值范圍.

題后師說

(1)復數(shù)的分類及對應點的位置都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題,

只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.

(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為α+6i(a,6∈R)的形式，以確定實部和虛部.

鞏固訓練1

(l)[2023?河南洛陽模擬]已知-=6+i(",fteR),其中i是虛數(shù)單位，則α+6=()

A.3B.I

C.11D.—3

(2)已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)Z=型(aGR)的實部是虛部的2倍，則。=()

⑶[2023?河北秦皇島模擬](多選)若復數(shù)Z滿足Z(I-2i)=8T,則()

A.z的實部為2

B.z的模為√∏

C.z的虛部為2

D.z在復平面內表示的點位于第四象限

題型二復數(shù)的運算

例2⑴[2023?江西臨川一中模擬]已知(l+i)z=2-i,Z是Z的共輾復數(shù),則2=()

⑵[2023?安徽蚌埠期末J設復數(shù)z=(歲)2。22,貝l]z=()

2-I

A.1B.-1

C.iD.-i

⑶凈+篇=——?

題后師說

復數(shù)代數(shù)形式運算的策略

類似于多項式的乘法，只要在所

復數(shù)的

一得的結果中把『換成T,且把實

乘法

部與虛部分別合并

復數(shù)的分子分母同乘分母的共髭復數(shù),

除法注意把I的裝寫成最簡形式

鞏固訓練2

(1)(2023?廣東廣州模擬]已知(I-?i/z=3+2i,則z=()

A.-l-∣iB.-l+∣i

~--i

C.--2+iD.2

(2)[2023?遼寧朝陽模擬]若z=2-i,則zz~2+2i=()

A.3+2iB.2+3i

C.l+2iD.l+3i

⑶誓+誓-葭嚴=—?

題型三復數(shù)的幾何意義

例3如圖，口OABC,定點0、A、C分別表示0、3+2i、-2+4i.求:

(1)而、配分別所表示的復數(shù);

(2)對角線市所表示的復數(shù)；

(3)點8所對應的復數(shù).

題后師說

因為復平面內的點、向量及向量對應的復數(shù)是一一對應的，要求某個向量對應的復數(shù)時,

只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結論即可.

鞏固訓練3

(l)[2023?河南鄭州模擬]在復平面內，復數(shù)Z=瑞(其中i為虛數(shù)單位)對應的點位于

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)已知復數(shù)z∣=3+i,z2=-l+2i,Z3在復平面上對應的點分別為A,B,C,若四邊形

OABC為平行四邊形(O為復平面的坐標原點)，則復數(shù)Z3的模為()

A.√17B.17

C.√15D.15

(3)已知z∈C,且|z—i∣=l,i為虛數(shù)單位，則IZ—2|的最大值是.

l.[2022?新高考I卷]若i(l-z)=l,貝∣]z+Z=()

A.-2B.-1

C.1D.2

2.[2022?新高考H卷](2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

3.[2022?全國甲卷]若z=l+i.則∣iz+3Z∣=()

A.4√5B.4√2

C.2√5D.2√2

4.[2022?全國乙卷]已知z=l-2i,且z+應+/?=0,其中α,為實數(shù)，則()

A.a=1,b=-2B.a=—1,5=2

C.α=1,b=2,D.Q=——1,b=——2

5.[2021?新高考I卷]已知z=2-i,則z(2+i)=()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

6.[2021?新高考∏卷]復數(shù)W在復平面內對應的點所在的象限為()

1—31

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

7.[2020?新高考I卷]磊=()

A.1B.-1

C.iD.-i

第五節(jié)復數(shù)

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.(l)αh(2)實數(shù)純虛數(shù)非純虛數(shù)(3)4=c且b=d(4)α=c且人=-d

(5)√a2+b2

3.(l)(α+c)+(fe+J)i(2)(a-c)+(?-</)'(3)(ac-bd)+(ad+bc??(4)^^+

夯實雙基

1.答案：(I)X(2)×(3)√(4)√

2.解析：z=(l+i)(2-i)=3+i,故復數(shù)Z在復平面內所對應的點(3,1)位于第一象限.故

選A.

答案：A

3.解析：(2x+i)(l-i)=(2x+1)+(1-2x)i=y,

所叱XUX?故選D.

答案：D

4.解析：因為z=l+i,

所以2Z=2(1—i)=2-2i,

所以復數(shù)2%的虛部是一2.

答案：一2

5.解析：(1—2i)(α+i)="+2+(l—24)i是純虛數(shù)，所以α+2=0,即α=-2.

答案：一2

關鍵能力?題型突破

衰得…

例1解析：(1)因為復數(shù)Z是純虛數(shù)，所以

(2)因為復數(shù)Z在復平面內對應的點位于第三象限,

所以雷黑"為解得3＜二

a+2i(a+2i)i

鞏固訓練1解析：(1)因為=2—αi,又因為—=b+i(4,?∈R),

?i2

所以｛b12即｛bJ=2所以α+b=ι.

I—a—1Ia——JL

故選B.

(a+i)(l-i)a+1

⑵Z=+詈i,所以誓=2義詈,

(l+i)(l-i)2

解得

故選B.

八、E4z_s-?_(8-i)d+2i)_10+15i__,?.

(3)因為-TΞΞI-a-2i)(ι+2ij--s--2+31,

所以Z的實部為2,Z的虛部為3,所以團=√22+33=舊,Z在復平面內表示的點位

于第一象限，

故A,B正確，C,D錯誤.

故選AB.

答案:(I)B(2)B(3)AB

例2解析：⑴由已知可得Z=W=部W=N=Ali,因此，z4+li?

故選B.

=弓因此

(2)-l±gj=q+2i)(2+i)z=j2O22=(i2)IOU=(T)IOll=—

2-i(2-i)(2+i)

故選B.

6.(√2+√3l)(√3+√2i).,√6+2i+3i-√6.,.

1：原式=［等-6-

(3)解法221

(√3)+(√2)—一'+一5--

"清焉#+嚓鬻

解法2：原式仔=f+i.

答案：(I)B(2)B(3)-l+i

鞏固訓練2解析：⑴(1-2=-2iz=3+2i,

3+2i(3+2i)?i-2+3i3.

z=kFΓ=M=T+1l>

故選B.

(2)因為z=2-i,則Z=2+i,所以蘢=(2—i)X(2+i)=4—i2=5,

則z7-2+2i=5—2+2i=3+2i.

故選A.

(3)原式=言+言一*

_2i(l+i)-2i(l-i),

(I-i)(l+i)十

=一1.

答案：(I)B(2)A(3)-1

例3解析：(l)λδ=-δX,所以而所表示的復數(shù)為-3-2i.

因為前=而，所以阮所表示的復數(shù)為一3一2i.

(2)CA=0A-0C,所以正所表示的復數(shù)為(3+2i)-(—2+4i)=5—2i.

(3)OB=OA+δC,所以殖所表示的復數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,

即8點對應的復數(shù)為l+6i.

鞏固訓練3解析：(I)Z=熊=竿2=-=1—：，對應的點是(1,-?),故在第四象

限.

故選D.

(2)若Z3=4+歷，則玩=3，b),而鼐=(3,1),OB≈(-1,2),

由四邊形OABC為平行四邊形(0為復平面的坐標原點)，

a134

所以UX=δS=而一玩=(_]_〃，2-6),ep{^JbJ1,則Fbζ^1,

所以∣Z3∣=√a2+b2=√17.

故選A.

(3)滿足|z—i∣=l的Z對應的點Z在復平面上以M(O,1)為圓心，1為半徑的圓上，∣z-2∣

表示點Z到點N(2,0)的距離，

∣M∕V∣=√(2-O)2+(0-1)2=√5,所以IZMmaX=遍+L

答案：(I)D(2)A