2023年新課標全國Ⅰ卷數學高考真題（解析版）

絕密★啟用前

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新課標全國I卷

）

數學

試卷類型：A

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號

和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置

上.將條形碼橫貼在答題卡右上角”條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的

答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在

試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不

準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1,已知集合"=K'T。，1，2},N=HX2r_6≥θ},則MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,l,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據交集的運算解出.

方法二：將集合M中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出.

【詳解】方法一：因為N={x∣χ2-χ-6≥θ}=（-8,-2]u[3,+8）,而

M={-2,-l,0,1,2},

所以MCN={—2}.

故選：C.

方法二：因為M={-2,T,0,l,2},將一2,—l,O,l,2代入不等式χ2一χ_6≥o,只有—2

使不等式成立，所以MCN={-2}.

故選：C.

1-i_

2.已知Z=-----,則Z-Z=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據復數的除法運算求出z,再由共軌復數的概念得到I，從而解出.

【詳解】因為Z=G=制鬲F=一六所以ZT即Z-Zj

故選：A.

3.已知向量”=（l,1）,1=（1,—1）,若（α+訓，,+〃"），則（）

A.λ+μ=?B.λ+μ=-?

C.Aj4∕-1D.九N=-1

【答案】D

【解析】

【分析】根據向量的坐標運算求出α+z?,a+μb,再根據向量垂直的坐標表示即可求出.

【詳解】因為α=(l,1),6=(1,—1),所以α+4b=(l+∕l,l->l),

α+∕∕?=(l+χ∕,l-χ∕),

由(α+/IO)J.(“+可得，(α+4∕j)?(α+"b)=O,

即(1+丸)(1+〃)+(1—2)(1—4)=0,整理得：λμ=-?.

故選：D.

4.設函數/(x)=2"-")在區(qū)間(0,1)上單調遞減，則。的取值范圍是()

A.(-∞,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D,[2,+∞)

【答案】D

【解析】

【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數y=2*在R上單調遞增，而函數/(x)=2Mi)在區(qū)間(0,1)上單調遞減，

2

則有函數y=x(x—a)=(x—])2—亍在區(qū)間(0,1)上單調遞減，因此^≥1,解得

Q≥2,

所以“的取值范圍是[2,+8).

故選：D

22

5.設橢圓6：1+9=1(。>1),。2：工+：/=1的離心率分別為4,62.若G=則

a4

a=()

A.B.y∣2C.6D.√6

【答案】A

【解析】

【分析】根據給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.

【詳解】由C2=百與，得e；=3e：,因此??=3χZ?,而a>l,所以手.

故選：A

6.過點(0,-2)與圓V+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,貝IJSina=()

?1r√15c√ion√6

444

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根據切線的性質求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據切線的

性質求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據切線結合點到直線的距離公式可得

二+8攵+1=0,利用韋達定理結合夾角公式運算求解.

【詳解】方法一：因為Y+y2-4x-l=0,BP(Λ-2)2+∕=5,可得圓心C(2,0),半徑

r=y∕5>

過點P(O,-2)作圓C的切線，切點為A,6,

因為IPCI=J2?+(—2)2=2√∑,則IPAl=JPCf一產=幣,

可得SinNAPC=金=曰,c。SNAPC=金=4,

15

則SinNAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2

4

」<0,

cosZAPB=cosIAAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=

4

即/APB為鈍角,

所以Sina=Sin(兀一NAPB)sinZAPB=-；

4

法二：圓d+y2-4χ-l=0的圓心C(2,0),半徑F=J

過點P(0,—2)作圓C的切線，切點為A,B,連接A5，

2212

可得IPq=y∣2+(-2)=2√2，則IPAI=IP同=y∣?PC?-r=√3，

222

因為Ipd2+1PB∣_2∣PA∣?IPB∣cosZAPB=∣C4∣+∣CB∣-2∣G4∣?∣CB∣cosZACB

且ZACB=兀一ZAPB,則3+3—6COSZAPB=5+5—IOCoS(TI-ZAP3),

即3-∞sZAPB=5+5cosZAPB，解得cosNAPB=--<0,

4

即/AP3為鈍角，則CoSa=COS（兀一/AP3）=-cosZAPB=-

4

且Q為銳角，所以Sina=

4

方法三：圓V+V-4x-l=0圓心C（2,θ）,半徑r=小,

若切線斜率不存在，則切線方程為y=0,則圓心到切點的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設切線方程為y=履一2,即依一y-2=0,

∣2Zs-2∣r,

則-L-----L=小,整理得公+8左+1=（）,且A=64-4=60>0

√）F+1

設兩切線斜率分別為ki,k2,則k]+k2=-8,"2=1,

.2.2sin2a

貝l71IlJlsιn^2a+cos^a=sιn^a+-------=11,

15

且&e[θ,?∣J,貝IJSina>0,解得Sina=4

S

7.記S.為數列｛4｝的前"項和，設甲：??｝為等差數列；乙：｛ji?｝為等差數列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前”項和與第〃項

的關系推理判斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛α,,｝為等差數列，設其首項為外,公差為d,

n-?d=-n+a--,-^-^?d

則S=na+~~—d,-=a+l

11↑2ni22'2/2+1n2

因此為等差數列，則甲是乙的充分條件;

n

csS

反之,乙：｛力為等差數列，即篇r為常數，設為，,

n(n+l)n(n+V)

S

l

即??=''則SLFTW〃+1)，有SfIT=(RHTW"7),?≥2,

兩式相減得：%=〃4+i-(〃-1)αz∣—2加,即α,w4-a”=2f,對〃=1也成立,

因此｛0,,｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛q｝為等差數列，設數列｛%｝的首項外,公差為d,即Sz,="4+g≡Dd,

則9i=q+止Dd=[〃+%—4,因此｛&｝為等差數列，即甲是乙的充分條件;

n222n

SSrSlSr

反之，乙：｛d｝為等差數列，即2如―、=Z),2L=E+(〃—1)。，

nπ+lnn

即Slt=nSi+n(n-I)Q,Sn_｝=(H-1)SI+(n-l)(n-2)D,

當力≥2時，上兩式相減得：S〃-S,-=Sl+2(〃-1)。，當〃=1時，上式成立，

于是。〃=4+25-1)2,又。用一。〃=4+2〃。一[4+2(〃-1)￡)]=2￡>為常數，

因此｛《,｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

8.已知sin(α-夕)=',cosαsin∕?=1，貝IJCOS(2<z+2￡)=().

【答案】B

【解析】

【分析】根據給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+月)，再利用二倍角的余弦

公式計算作答.

【詳解】因為sin(α-，)=sinαcos，一COSaSi,，而COSaSin/因此

36

Q1

Sinacosp=—,

2

則sin(σ+/7)=sinacosβ+cosasin尸=§,

2ι

所以COS(2α÷2β)=cos2(α+6)=1-2sin2(α+6)=1一2χ(―)2=-.

故選：B

【點睛】方法點睛：三角函數求值的類型及方法

(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角

總有一定關系.解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數公式轉化為特殊角的三角

函數.

(2)“給值求值Z給出某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于

“變角”，使其角相同或具有某種關系?

(3)“給值求角”：實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式

子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.有一組樣本數據占,々，…，*6，其中為是最小值，??是最大值，則()

A.Z，馬，尤4，毛的平均數等于%，/，…，入6的平均數

B.Λ2,X3,Λ4,X5的中位數等于玉,々，…，4的中位數

C.與，*3，“4,*5的標準差不小于X],無2，,,、“6的標準差

D.W,*3，芯4,尤5的極差不大于X∣,工2，*I，“6的極差

【答案】BD

【解析】

【分析】根據題意結合平均數、中位數、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A:設了2，工3，%，%的平均數為/??，玉，工2,…，工6的平均數為"，

則

_Λl+X2+X3+X4+X5+X6X2+X3+X4+X5_2(x∣+x6)-(x5+x2+x3+%4)

“，〃_~6~~1~_12

因為沒有確定的大小關系，所以無法判斷犯〃的大小，

2(ΛI+X6),X5+Λ?+X,+X4

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得〃z=l,"=2;

例如1,2,2,2,2,2,可得機=2,〃=U；故A錯誤;

6

對于選項B:不妨設X1≤%2≤X3≤X4≤X5≤?>

可知%2,x3,x4,X5的中位數等于x∣,%2,…的中位數均為入；%,故B正確；

對于選項C：因為玉是最小值，是最大值，

則Λ2,X3,X4,X5的波動性不大于內，工2,…，工6的波動性，即々，了3，x4，毛的標準差不大于

X]，工2，*■",*6的標準差'

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數“=?(2+4+6+8+10+12)=7,

標準差

SI=J；(2-7)^+(4-7)^+(6-7)^+(8-7)^+(10-7)^+(12-7)^=?θ??

VoL」3

4,6,8,10,則平均數機=；(4+6+8+10)=7,

標準差.(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2=小,

顯然，巫>5,即M>$2；故C錯誤；

3

對于選項不妨設

D：x1≤x2≤Λ3≤x4≤x5<X6,

則天一玉之毛一々，當且僅當玉=工2，毛=4時，等號成立，故D正確；

故選：BD

10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級

4=20XIg2,其中常數“o("o>O)是聽覺下限閾值，，是實際聲壓.下表為不同聲源

PO

的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級∕dB

燃油汽車106090

混合動力汽車105060

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車IOm處測得實際聲壓分別為四，必，外，則

().

A.PI≥P1B.P2>IOp3

C.P3=100A)D.P1≤IOOp2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據題意可知L伍∈[60,90],L,,2e[50,60],L%=40,結合對數運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知：LPi∈[60,90],Lft∈[50,60],=4(),

對于選項A：可得4,一乙小=20xlg2—20Xlg旦?=20Xlg且，

PoPoPl

因為人”走，則4=2°xlg'LN°，即Iga20,

PlPi

所以且≥1且∕?P2>0,可得P∣ZP2,故A正確；

Pi

對于選項B：可得4,_￡%=20×Ig--20×Ig—=20×Ig—,

^PoPO。3

因為4=(,-40≥10,則20XIg乙≥10,即lg?^2?≥;,

P3A2

所以匹≥√i6且，2,P3>0,可得p,2√iδp3,

〃3

當且僅當￡%=5。時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為4,=2OXIg以=40,即Ig△=2,

POPO

可得上=IoO,Bpft=lOO∕7o,故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：L-L=20×lg^,

Pi

且LpTp≤90-50=40,則20Xlg八≤40,

12

P2

即IgeL≤2,可得包≤100,且P],P2>0,所以PIWloOP2,故D正確；

PlPi

故選：ACD.

11.已知函數F(X)的定義域為R,f(χy)=y2f(χ)+χ2f(y),則().

A./(0)=0B./(l)?θ

C./(X)是偶函數D.X=O為/(X)的極小值點

【答案】ABC

【解析】

【分析】方法一：利用賦值法，結合函數奇遇性的判斷方法可判斷選項ABC,舉反例F(X)=O

即可排除選項D.

方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D,可構造特殊函數/(x)=<11進

0,x=0

行判斷即可.

【詳解】方法一：

因為f(χy)=y2f(χ)+χ2f(y)，

對于A,令x=y=O,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/⑴=VxI)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=T,/(D=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(T)=O,

令y=-1,/(一X)=/(%)+x2∕(-l)=?(?)，

又函數F(X)的定義域為R,所以/(X)為偶函數，故C正確，

對于D,不妨令/(χ)=0,顯然符合題設條件，此時F(X)無極值，故D錯誤.

方法二：

因為/(盯)=Z∕(x)+χ2/G),

對于A,令χ=y=O,/(O)=O/(0)+0∕(())=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-1,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(一1)=0,

令y=T"(τ)=/(?)+?v(-l)=/(?)，

又函數F(X)的定義域為R，所以/(X)為偶函數，故C正確，

對于D,當χ2y2≠。時，對/(盯)=y2∕(χ)+χ2"y)兩邊同時除以一曠2,得到

f(χy).f(y)

,

X2y2~x~'y2

故可以設C^?=lnW(x≠0),則/(x)=,"InW,x'°,

%11[0,x=0

當χ>0肘，/(x)=χ2]nx,則/'(X)=2xlnx+χ2,=χ(21nx+l),

X

令/,(x)<0,得o<jc<eT;令/Xx)>θ,得χ>e+;

//?\

故/(X)在0,eW上單調遞減，在e^2,÷∞上單調遞增，

?√\7

因為AX)為偶函數，所以/(χ)在-e^i,0上單調遞增，在-8,「5上單調遞減,

//

12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不

計）內的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.0Im的圓柱體

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據題意結合正方體的性質逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：因為0.99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長，

所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；

對于選項B：因為正方體面對角線長為國，且J∑>1.4,

所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；

對于選項C：因為正方體的體對角線長為鬲，且有<1.8，

所以不能夠被整體放入正方體內，故C正確；

對于選項D：因為1.2m>lm,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過Aa的中點。作OE_LAC-設OElAC=E,

可知AC=CG=1,AG=5OA=@，則tan/CAG=%=%,

2ACA。

1OE

即正=耳，解得OE=曲r,

一4

=2>2=O6,即在>0.6,

24254

故以Aq為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m圓柱，

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心O-與正方體

的下底面的切點為M,

可知：AC1IO1M5O1M=0.6,則tan/CAG=愛=瑞

10.6

解得Aa=0.6√2,

即正為

根據對稱性可知圓柱高為Q—2X0.6√2≈1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01，

所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；

故選：ABD.

【點睛】關鍵點睛：對于C、D：以正方體的體對角線為圓柱的軸，結合正方體以及圓柱

的性質分析判斷.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或

3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）.

【答案】64

【解析】

【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數

運算求解.

【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有16種；

（2）當從8門課中選修3門，

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C：C：=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C；C：=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

14.在正四棱臺ABCo-AqGA中，Aβ=2,AlBl=l,AA,=y∕2,則該棱臺的體積為

【答案】還林L戈

66

【解析】

【分析】結合圖像，依次求得4?，AO,AM，從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過A作AMLAC,垂足為M,易知AM為四棱臺ABeD-A片GR

的高，

DxC.

/9—8、\7

因為AB=2,44=1,A4,=√2,

則Ala=∣Λ1C,=∣×√2ΛlBl=^,ΛO=∣AC=∣×√2ΛB=√2.

故∣則

AM=g(AC-ACJ=#,A1M=JAQAM?=Jj=

故答案為：還

6

15.已知函數/(x)=COsox-13>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個零點，則。的取值范圍

是.

【答案】12,3)

【解析】

【分析】令f(x)=O,得COSS=I有3個根，從而結合余弦函數的圖像性質即可得解.

【詳解】因為0<xW2τr,所以0WsW2S,

令/(X)=COSS-I=O,則COS3=1有3個根，

令t=G>x,則COSf=I有3個根，其中∕e[O,20π],

結合余弦函數V=COSf的圖像性質可得4π≤2fυπ<6π，故24刃<3,

22

16?已知雙曲線CN-AlS。，6＞。）的左、右焦點分別為6且點A在C上,點5在

.2

y軸上，F(xiàn)}A±F}B,F2A=--F2B,則C的離心率為.

【答案】地##-√5

55

【解析】

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數積的幾何意義得到∣AE∣,忸鳥|,忸國,∣A國關

于。，機的表達式，從而利用勾股定理求得。=加，進而利用余弦定理得到。，c的齊次方程，

從而得解.

52

方法二：依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得與=§，,%=-§/，/=4/,將

點A代入雙曲線C得到關于。力,c的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意,設I傷|=2加,^?BF2?=3m=?BFt?,?AFl?=2a+2m,

在RL.A36中，9m2+（2a+2tn）2=25m2,貝∣J（α+3根）（α-M=0,故α=機或α=-3相

（舍去），

所以I做∣=4α,∣∕閭=加，忸閭=忸制=3”,則陷=5α,

故CoSNlA6=勒IAEI=丁4a=4，

∣AB∣5a5

1A/；2÷4∕72—4r24

所以在AAEE中，CosZFlAF2=~~—整理得5/=9〃2,

2×4a×2a5

故e，=述.

a5

方法二：

依題意，得耳(-c,0),乙(c,0),令A(Aυ,%),3(0,。，

.”2一252

因為KA=所以(Xo—c,%)=_'(—，/),則Xo=；c,

又F∣A,FIB,所以14?68=[§<?,_§)((?0=302_§/2=0,則/=4C2,

-C2-t225c222

又點A在C上，則99i整理得名■一4/三=1，則25空C—1牛6C=1，

今一一?=19a29b19a29b1

ab

所以25c2b2-?6c2a2^9a2b2>BP25c2(c2-?2)-16Ω2C2=9o2(c2-Λ2),

4222

整理得25C-50C+9/=0,則(5。2-9儲)(5。2-儲)=0,解得5c=9a或5c?=/,

又e>l,所以e=3叵或e=好(舍去)，故e=巫.

555

故答案為：述.

5

【點睛】關鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股

定理與余弦定理得到關于。力,c的齊次方程，從而得解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知在一ABC中，A+S=3C,2sin(A-C)=sinB.

⑴求SinA；

(2)設AB=5,求AB邊上的高.

【答案】(1)3叵

10

(2)6

【解析】

【分析】(I)根據角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；

(2)利用同角之間的三角函數基本關系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出力,

根據等面積法求解即可.

【小問1詳解】

A+3=3C，

TT

.?.π-C=3C，即C=—,

4

又2sin(A-C)=SinjB=sin(A+C),

.,.2sinACoSC-2cosAsinC=sinAcosC÷cosAsinC,

.?.sinAcosC=3cosAsinC,

.?.sinA=3cosA,

TT

即ta∏A=3'所以。<A=.

33√Iθ

sinA

√io-io

【小問2詳解】

……，1√10

由(1)知，cosA=~j==-----，

√ioio

由SinB=sin(A+C)=SinAcosC+cosAsinC=

5χ也

b

由正弦定理,,可得人=—W——2Ji6,

sinCsinB

2

.-.-ABh=-AB-AC-sinA,

22

.?h=b?sinA=2>∕Γθ×-6.

10

18.如圖，在正四棱柱A8CD—A4GA中，AB=2,441=4?點分別在棱

AAi,BBt,CC1,DDi上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2∕∕A2D2.

(2)點尸在棱BBl上，當二面角「一4。2-3為150°時，求Bj.

【答案】(1)證明見解析；

(2)1

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；

(2)設P(0,2,/IXO≤∕l≤4),利用向量法求二面角，建立方程求出，即可得解.

【小問1詳解】

以C為坐標原點，C。,CB,CG所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖,

則C(O,O,O),C2(O,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),

.-.B2C2=(0,-2,1),AZ)2=(0,-2,1),

.?.B2C2ZZA1D2,

又B?G，42不在同一條直線上，

.?.B2C2//A1D2.

【小問2詳解】

設P(0,2,4)(0≤;l≤4),

貝∣J4C2=(-2,-2,2),PC2=(0,-2,3-Λ),D2C2=(-2,0,1),

設平面PA2C2的法向量〃=(x,y,z),

/Z-A2C2=-2x-2y+2z=0

,

、［π?PC2=-2y+(3-Λ)z=0

令z=2,得y=3-4,x=4-1,

.,.n—(X—1,3—A,2)，

設平面A2C2D2的法向量m=(a,b,c),

m-AC=-2a-2〃+2c=O

則《~，

m?D1C2——2a+c=O

令a=l,得。=l,c=2,

.,.m=(1,1,2),

/.cos∕n,根)=-7∣—?=6=ICOS150o∣=,

、/明√6√4+(Λ-l)2÷(3-2)2112

化簡可得，Λ2-4Λ+3=0,

解得4=1或7=3,

.?.「(0,2』)或20,2,3),

.?.B2P=I.

19.已知函數/(x)=α(e*+α)-x.

(1)討論/(χ)的單調性；

3

⑵證明：當.>0時，/(x)>21nα+J.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先求導，再分類討論α≤0與α>0兩種情況，結合導數與函數單調性的關系即

可得解；

(2)方法一：結合(1)中結論，將問題轉化為6——lnα>O的恒成立問題，構造函數

2

g(a)=/_；_ina(a>0),利用導數證得g(α)>O即可.

方法二:構造函數〃(X)=e?,證得e"≥x÷l,從而得到f(x)≥x+l∏6z+l+6f2-Λ,

進而將問題轉化為a2---↑na>0的恒成立問題，由此得證.

2

【小問1詳解】

因為/(x)=α(e'+α)-x,定義域為R,所以/'(X)=ɑe'-1,

當α≤0時，由于e*>O,則αe'≤O,故/'(x)=ae'—1<0恒成立，

所以/(x)在R上單調遞減；

當”>()時，令/'(X)=αe*-l=0,解得X=—Ina,

當x<一如a時,∕,(χ)<0,則F(X)在(Y0,-Ina)上單調遞減;

當x>Tna時，制χ)>O,則/(x)在(-lna,4∞)上單調遞增；

綜上：當a≤0時，/(x)在R上單調遞減；

當a>0時，/(x)在(-8,-Ina)上單調遞減，/(x)在(-lna,+8)上單調遞增.

【小問2詳解】

方法一：

由(I)得,/(x)mE=∕(-lna)=o(eh1"+a)+lna=l+a2+ina,

331

要證f(x)>2In6/+—,即證1+a?+]na>2Ina+5,即證。？一萬―lna>0恒成立，

1NC4-JL

令g(a)=/-]Tna(a>0),貝”g，(a)=2a---=,

a---a

令g'(a)<O,則o<a<,；令/(a)>0,則a〉也；

2

、

所以g(a)在[θ,孝)上單調遞減，在(當，+c

。上單調遞增，

√

所以g("L,=g隹I=隹)孝

=ln√2>0,則g(a)>O恒成立,

3

所以當。>0時，/(x)>21na+]恒成立，證畢.

方法二:

令∕z(?x)=e*,則磯%)=e，—1,

由于y=ev在R上單調遞增，所以“(X)=e"—1在R上單調遞增，

又〃⑼=e。-1=0,

所以當x<0時，A,(x)<O;當1>0時，Λz(x)>O;

所以在(-∞,o)上單調遞減，在(o,÷∞)上單調遞增，

?A(x)≥Zz(O)=O,則e”之x+l,當且僅當X=O時，等號成立，

因為/(x)=Q(e?+α)—X=ɑe'+CI--x—cκ+'na+Q—-x≥x+lnα+l+CI—-x,

當且僅當x+lnα=0,即X=-Ina時，等號成立，

331

所以要證/(x)>2?na+-,即證x+lna+l+a?-x>21na+耳，即證/---?na>Q,

令g(a)=4?-g-lnα(α>0),則=2a-^-=——?

2aa

令g'(α)<O,則o<α<曰；令g[α)>O,則°>李

、

所以g（α）在上單調遞減，在,+8上單調遞增,

/

W=InjΣ>0,則g(α)>O恒成立,

所以g(0)min

3

所以當?！?時，/（幻>2111。+5恒成立，證畢.

2

M"__1_M

20,設等差數列｛4｝的公差為2,且d>1.令卜=------,記Sn,T11分別為數列｛4｝,?｝

an

的前〃項和.

（1）若34=3卬+4,53+￡=21,求｛%｝的通項公式；

（2）若｛2｝為等差數列，且S99-4=99,求d.

【答案】（1）an=3n

,51

（2）d=—

50

【解析】

【分析】（1）根據等差數列的通項公式建立方程求解即可；

(2)由｛2｝為等差數列得出q=d或α∣=2d,再由等差數列的性質可得％0-40=1,分

類討論即可得解.

【小問1詳解】

?.?3%=3q+a3,3d=%+2d,解得al=d,

/.S3=3生=3（4+d）=Gd,

DT77726129

又T3=h+4+&=";+o7+T7=_/,

a2d3da

9

S3+（=6dτ—=21,

d

即2/—74+3=0,解得d=3或d=’（舍去），

2

/.=q+（〃-1）?d=3〃.

【小問2詳解】

{a}為等差數列,

12212

.?2b1=4+么，即—=---1----,

%QlQ3

//11、6d1??.,

6（---------）=----=一,即Q；-36d+2c∕~=0,解得％=dw或q=2d,

aaa

a2。323,?

d>l,.??%>0,

又S99-金=99,由等差數列性質知，99?0-99‰=99,即生。一/0=L

2550

?,?a50=1，即。590一。50-255。=0,解得。50=51或60=-5。（舍去）

a50

當〃∣=2d時，?0=tzi+49J=5W=51,解得d=l,與d>l矛盾，無解；

當q=d時，%o=G+494=504=51,解得d=∣^.

綜上，d=—.

50

21.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中

則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為。6,乙每次投籃的命

中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(I)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機變量Xj服從兩點分布，且

P(Xj=I)=1—P(Xj=O)=分i=l,2,…則EEXj=2%.記前"次(即從第

I/=1)Z=I

i次到第〃次投籃)中甲投籃的次數為y,求E(Y).

【答案】(1)0.6

Z\

1/21

--

-X--+-

6153

\√

n

(3)E(Y)=K+—

1O3

【解析】

【分析】(I)根據全概率公式即可求出；

(2)設P(4)="j,由題意可得∕?∣=0?4p,.+0.2,根據數列知識，構造等比數列即可解

出；

(3)先求出兩點分布的期望，再根據題中的結論以及等比數列的求和公式即可求出.

【小問1詳解】

記“第i次投籃的人是甲”為事件A-,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi,

所以，P(B2)=P(AiB2)+P(BlB2)=P(Ai)P(B2?Al)+P(Bl)P(B2?Bl)

—0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.

【小問2詳解】

設P(A)=凡，依題可知，P(Bi)=l-pi,則

P(AM)=P(AA+J+P(4AM)=P(A)P(4+JA)+P(4)P(dM14),

即Pi+?=0?6∕+(1-0.8)X(I-Pj)=O.4Pj+0.2,

構造等比數列{“,+/I},

設Pm+4=](Pi+X),解得九=_；，則PR_：=]]〃,?一；]，

又p∣=1,p∣-!=!,所以[p,-：]是首項為，,公比為!■的等比數列,

236I3165

【小問3詳解】

H—,i=1,2,

3

n

所以當"∈N*時,E(V)=Pl+p2++PnH----'

3

5

故即)=氤-自"n

+-.

3

【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據題意找到遞推

式，然后根據數列的基本知識求解.

22.在直角坐標系xθy中，點P到X軸的距離等于點P到點(0,；]的距離，記動點P的軌

跡為W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABeD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3相.

【答案】(1)γ=χ2+j

4

(2)見解析

【解析】

【分析】⑴設P(Q)，根據題意列出方程Y+y」=/,化簡即可；

\2)

(2)法-：設矩形的三個頂點A1。,/]〃]2+；],C[C,02+；),且Q<h<c,分

別令原8=α+人=根<°，kBC=b^-c=n>0,且相〃=T，利用放縮法得

2〔嗎√1+H2,設函數/(X)=[-r+∣)(ι+χ2),利用導數求出其最小值，則得。

的最小值，再排除邊界值即可.

法二：設直線AB的方程為y=Z(x-α)+∕+1,將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公

式和放縮法得恒卻+1AD∣≥JfL，利用換元法和求導即可求出周長最值，再排除邊界

值即可.

法三：利用平移坐標系法，再設點，利用三角換元再對角度分類討論，結合基本不等式即可

證明.

【小問1詳解】

設P(x,y),則3=，2+0一；)，兩邊同平方化簡得y=d+；,

1

故W:y=f7+—.

4

小問2詳解】

(??(1A(

法一：設矩形的三個頂點4,Bb,b~+—LCc,C2+—在W上,且α<8<c,

I4jI4J

易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0,

j,,b1+——a1+-