時余弦函數(shù)和正切函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1認(rèn)識并理解余弦、正切的概念進(jìn)而得到銳角三角函數(shù)的概念重點(diǎn)2能靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算重點(diǎn)、難點(diǎn)ABC如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定此時，其他邊之間的比是否也確定了呢？

如圖，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？ABCDEF∴∠B=∠E，∴sinB=sinE，∴∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，歸納：在有一個銳角相等的所有直角三角形中，這個銳角的鄰邊與斜邊的比值是一個常數(shù)，與直角三角形的大小無關(guān)．如下圖所示，在直角三角形中，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即ABC斜邊鄰邊∠A的鄰邊斜邊cosA=從上述探究和證明過程看出，對于任意銳角α，有cosα=sin90°－α，sinα=cos90°－α思考：直角三角形中一個銳角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間有什么關(guān)系？1在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，則cosA＝2求cos30°，cos60°，cos45°的值．解：cos30°=sin(90°－30°)=sin60°=；cos60°=sin(90°－60°)=sin30°=cos45°=sin(90°－45°)=sin45°=

如圖，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？ABCDEF∴Rt△ABC∽Rt△DEF即BC·DF=AC·EF，∴∴由此可得，在有一個銳角相等的所有直角三角形中，這個銳角的對邊與鄰邊的比值是一個常數(shù)，與直角三角形的大小無關(guān)．如圖，在直角三角形中，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即∠A的對邊∠A的鄰邊tanA=ABC鄰邊對邊∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)

如果兩個角互余，那么這兩個角的正切值有什么關(guān)系？想一想：tanA·tanB=11如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P坐標(biāo)為3，4，則tan∠POQ=____2如圖，△ABC中一邊BC與以AC為直徑的⊙O相切與點(diǎn)C，若BC=4，AB=5，則tanA=___例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值A(chǔ)BC106解：由勾股定理得因此1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13sinA=______，cosA=______，tanA=____，sinB=______，cosB=______，tanB=____2在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____，sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____在直角三角形中，如果已知兩條邊的長度，即可求出所有銳角的正弦、余弦和正切值。ABC6例2

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．解：∵又∴

在直角三角形中，如果已知一邊長及一個銳角的某個三角函數(shù)值，即可求出其它的所有銳角三角函數(shù)值。ABC8解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求sinA，cosB的值．∴∴∴余弦函數(shù)和正切函數(shù)在直角三角形中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做角A的余弦∠A的大小確定的情況下，cosA，tanA為定值，與三角形的大小無關(guān)在直角三角形中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做角A的正切余弦正切性質(zhì)1如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長為m，∠A=35°，則直角邊BC的長是A.B.C.D.AABC2隨著銳角α的增大，cosα的值A(chǔ)增大B減小C不變D不確定B當(dāng)0°＜α＜90°時，cosα的值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)3已知∠A，∠B為銳角，1若∠A=∠B，則cosAcosB；2若tanA=tanB，則∠A∠B3若tanA·tanB=1，則∠A與∠B的關(guān)系為：

==4tan30°=，tan60°=∠A∠B=90°5sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系是Atan70°＜cos70°＜sin70°Bcos70°＜tan70°＜sin70°Csin70°＜cos70°＜tan70°Dcos70°＜sin70°＜tan70°解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1又∵cos70°＝sin20°，正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°故選DD6如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，求sinA、tanA的值．解：ABC設(shè)AC=15，則AB=17∴∴7如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D若AD=6，CD=8求tanB的值解:∵∠ACB＝∠ADC=90°，∴∠B∠A=90°，∠ACD∠A=90°，∴∠B=∠ACD，∴tan∠B=tan∠ACD=8如圖，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6