時勾股定理的逆定理的應用

172勾股定理的逆定理第十七章勾股定理

導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)學練優(yōu)八年級數(shù)學下（RJ）教學課件第2課時勾股定理的逆定理的應用學習目標1靈活應用勾股定理及其逆定理解決實際問題（重點）2將實際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學問題（難點）導入新課問題前面的學習讓我們對勾股定理及其逆定理的知識有了一定的認識，你能說出它們的內(nèi)容嗎回顧與思考a2b2=c2a,b為直角邊，c斜邊）Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2b2=c2a,b為較短邊，c為最長邊）Rt△ABC，且∠C是直角2等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC邊上的高是cm81已知△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為三角形，是最大角直角∠A快速填一填：思考前面我們已經(jīng)學會了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理解決哪些實際問題呢？你能舉舉例嗎？在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學知識和方法，其中勾股定理的逆定理經(jīng)常會被用到，這節(jié)課讓我們一起來學習吧講授新課12勾股定理的逆定理的應用一例1如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里,“海天”,R處，且相距30海里如果知道“遠航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？NEPQR問題1認真審題，弄清已知是什么？要解決的問題是什么？12NEPQR16×15=2412×15=1830“遠航”號的航向、兩艘船的一個半小時后的航程及距離已知，如圖問題2由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角勾股定理逆定理解：根據(jù)題意得PQ=16×15=24海里,PR=12×15=18海里,QR=30海里∵242182=302，即PQ2PR2=QR2,∴∠QPR=90°由“遠航”號沿東北方向航行可知∠1=45°∴∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行NEP

QR12解決實際問題的步驟：構(gòu)建幾何模型從整體到局部；標注有用信息,明確已知和所求；應用數(shù)學知識求解歸納【變式題】如圖，南北方向PQ以東為我國領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時28分，我邊防反偷渡巡邏101號艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷?，便立即通知在PQ上B處巡邏的103號艇注意其動向，經(jīng)檢測，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為128海里/時，則可疑船只最早何時進入我領(lǐng)海？東北PABCQD分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2BC2，即△ABC是直角三角形設PQ與AC相交于點D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為128海里/時，64÷128=05（小時）=30（分鐘），∴需要30分鐘進入我領(lǐng)海，即最早晚上10時58分進入我領(lǐng)海東北PABCQD例2一個零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖所示,這個零件符合要求嗎DABC4351312DABC圖圖在△BCD中，∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角因此，這個零件符合要求解：在△ABD中，∴△ABD是直角三角形，∠A是直角DABC4351312圖1A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2AB2=52122=169，AC2=132=169，∴BC2AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°答：C在B地的正北方向．練一練2如圖，是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．例3如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積解析：連接AC，的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形ADBC341312勾股定理及其逆定理的綜合應用二解：連接ACADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2CD2=52122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°∴S四邊形ABCD=SRt△ABCSRt△ACD=630=36四邊形問題對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉(zhuǎn)化成兩個三角形的問題在使用勾股定理的逆定理解決問題時，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用歸納【變式題1】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積解：連接BD在Rt△ABD中,由勾股定理得BD2=AB2AD2，∴BD=5m又∵CD=12cm，BC=13cm,∴BC2=CD2BD2，∴△BDC是直角三角形∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－AB?AD=×5×12－3×4=24cm2．CBAD【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm∴AC=5cm又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角∴DCBA例4如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．（1）證明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設腰長AB=AC=，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2BD2，∴2=-1222，解得用到了方程的思想1醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖如圖所示，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300m,,則公園在醫(yī)院的北偏東的方向東醫(yī)院公園超市北65°當堂練習2五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中擺放方法正確的是（）ABCDD3如圖，某探險隊的A組由駐地O點出發(fā)，以12m/h的速度前進，同時，B組也由駐地O出發(fā)，以9m/h的速度向另一個方向前進，2h后同時停下來，這時A，B兩組相距30m．此時，A，B兩組行進的方向成直角嗎？請說明理由解：∵出發(fā)2小時，A組行了12×2=24m，B組行了9×2=18m，又∵A，B兩組相距30m，且有242182=302，∴A，B兩組行進的方向成直角．4如圖，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC邊上的中線AD=15，試說明：AB=AC解：∵BC=16，AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=BC=8∵在△ABD中，AD2BD2=15282=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形在Rt△ADC中，∴AB=AC5在尋找某墜毀飛機的過程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時的速度離開港口O（如圖）沿北偏東40°的方向向目標A的前進，同時，另一艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以12海里/時的速度向著目標B出發(fā)，15小時后，他們同時分別到達目標A、B．此時，他們相距30海里，請問第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？解：根據(jù)題意得OA=16×15=24海里,OB=12×15=18海里，∵OB2OA2=242182=900，AB2=302=900，∴OB2OA2=AB2，∴∠AOB=90°∵第一艘搜救艇以16海里/時的速度離開港口O如圖沿北偏東40°的方向向目標A的前進，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．解：設AB為3cm，BC為4cm，AC為5cm，∵周長為36cm，即ABBCAC=36cm，∴345=36，解得=3∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm∵AB2BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒