時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用

172勾股定理的逆定理第十七章勾股定理

導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)學(xué)練優(yōu)八年級(jí)數(shù)學(xué)下（RJ）教學(xué)課件第2課時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題（重點(diǎn)）2將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課問(wèn)題前面的學(xué)習(xí)讓我們對(duì)勾股定理及其逆定理的知識(shí)有了一定的認(rèn)識(shí)，你能說(shuō)出它們的內(nèi)容嗎回顧與思考a2b2=c2a,b為直角邊，c斜邊）Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2b2=c2a,b為較短邊，c為最長(zhǎng)邊）Rt△ABC，且∠C是直角2等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC邊上的高是cm81已知△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為三角形，是最大角直角∠A快速填一填：思考前面我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用勾股定理解決生活中的很多問(wèn)題，那么勾股定理的逆定理解決哪些實(shí)際問(wèn)題呢？你能舉舉例嗎？在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，其中勾股定理的逆定理經(jīng)常會(huì)被用到，這節(jié)課讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)吧講授新課12勾股定理的逆定理的應(yīng)用一例1如圖，某港口P位于東西方向的海岸線(xiàn)上“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里,“海天”,R處，且相距30海里如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行,能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？NEPQR問(wèn)題1認(rèn)真審題，弄清已知是什么？要解決的問(wèn)題是什么？12NEPQR16×15=2412×15=1830“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向、兩艘船的一個(gè)半小時(shí)后的航程及距離已知，如圖問(wèn)題2由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線(xiàn)段長(zhǎng)，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角勾股定理逆定理解：根據(jù)題意得PQ=16×15=24海里,PR=12×15=18海里,QR=30海里∵242182=302，即PQ2PR2=QR2,∴∠QPR=90°由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知∠1=45°∴∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行NEP

QR12解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：構(gòu)建幾何模型從整體到局部；標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解歸納【變式題】如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時(shí)28分，我邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷懔⒓赐ㄖ赑Q上B處巡邏的103號(hào)艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測(cè)，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為128海里/時(shí)，則可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我領(lǐng)海？東北P(pán)ABCQD分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2BC2，即△ABC是直角三角形設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為128海里/時(shí)，64÷128=05（小時(shí)）=30（分鐘），∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時(shí)58分進(jìn)入我領(lǐng)海東北P(pán)ABCQD例2一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖所示,這個(gè)零件符合要求嗎DABC4351312DABC圖圖在△BCD中，∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角因此，這個(gè)零件符合要求解：在△ABD中，∴△ABD是直角三角形，∠A是直角DABC4351312圖1A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2AB2=52122=169，AC2=132=169，∴BC2AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°答：C在B地的正北方向．練一練2如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．例3如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積解析：連接AC，的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形ADBC341312勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用二解：連接ACADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2CD2=52122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°∴S四邊形ABCD=SRt△ABCSRt△ACD=630=36四邊形問(wèn)題對(duì)角線(xiàn)是常用的輔助線(xiàn)，它把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的問(wèn)題在使用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題時(shí)，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用歸納【變式題1】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積解：連接BD在Rt△ABD中,由勾股定理得BD2=AB2AD2，∴BD=5m又∵CD=12cm，BC=13cm,∴BC2=CD2BD2，∴△BDC是直角三角形∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－AB?AD=×5×12－3×4=24cm2．CBAD【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm∴AC=5cm又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角∴DCBA例4如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點(diǎn)，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．（1）證明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設(shè)腰長(zhǎng)AB=AC=，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2BD2，∴2=-1222，解得用到了方程的思想1醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖如圖所示，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300m,,則公園在醫(yī)院的北偏東的方向東醫(yī)院公園超市北65°當(dāng)堂練習(xí)2五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中擺放方法正確的是（）ABCDD3如圖，某探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12m/h的速度前進(jìn)，同時(shí)，B組也由駐地O出發(fā)，以9m/h的速度向另一個(gè)方向前進(jìn)，2h后同時(shí)停下來(lái)，這時(shí)A，B兩組相距30m．此時(shí)，A，B兩組行進(jìn)的方向成直角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由解：∵出發(fā)2小時(shí)，A組行了12×2=24m，B組行了9×2=18m，又∵A，B兩組相距30m，且有242182=302，∴A，B兩組行進(jìn)的方向成直角．4如圖，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC邊上的中線(xiàn)AD=15，試說(shuō)明：AB=AC解：∵BC=16，AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴BD=CD=BC=8∵在△ABD中，AD2BD2=15282=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形在Rt△ADC中，∴AB=AC5在尋找某墜毀飛機(jī)的過(guò)程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O（如圖）沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，同時(shí)，另一艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以12海里/時(shí)的速度向著目標(biāo)B出發(fā)，15小時(shí)后，他們同時(shí)分別到達(dá)目標(biāo)A、B．此時(shí)，他們相距30海里，請(qǐng)問(wèn)第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？解：根據(jù)題意得OA=16×15=24海里,OB=12×15=18海里，∵OB2OA2=242182=900，AB2=302=900，∴OB2OA2=AB2，∴∠AOB=90°∵第一艘搜救艇以16海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O如圖沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．解：設(shè)AB為3cm，BC為4cm，AC為5cm，∵周長(zhǎng)為36cm，即ABBCAC=36cm，∴345=36，解得=3∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm∵AB2BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過(guò)3秒