2024屆常州市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)試卷附答案解析

屆常州市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)試卷2024.01注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A．1 B． C． D．3．已知實(shí)數(shù)，滿足等式，下列三個(gè)關(guān)系式中可能成立的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．34．對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，在下列命題中，真命題是（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件5．已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．6．已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，當(dāng)該三棱錐的體積取得最大值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C．3 D．7．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，且對(duì)任意的滿足，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．已知圓的直徑長(zhǎng)為8，與相離的直線垂直于直線，垂足為，且，圓上的兩點(diǎn)，到的距離分別為，，且．若，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，若由生成一組新的數(shù)據(jù)，，，，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可能相等的量有（

）A．極差 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差10．對(duì)某城市進(jìn)行氣象調(diào)查，發(fā)現(xiàn)從當(dāng)天上午9：00開始計(jì)時(shí)的連續(xù)24小時(shí)中，溫度（單位：）與時(shí)間（單位：）近似地滿足函數(shù)關(guān)系，其中．已知當(dāng)天開始計(jì)時(shí)時(shí)的溫度為，第二天凌晨3：00時(shí)溫度最低為，則（

）A．B．當(dāng)天下午3：00溫度最高C．溫度為是當(dāng)天晚上7：00D．從當(dāng)天晚上23：00到第二天清晨5：00溫度都不高于11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），下列說法正確的有（

）A．存在點(diǎn)，使得平面B．不存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為C．的最小值為D．以為球心，為半徑的球體積最小時(shí)，被正方形截得的弧長(zhǎng)是12．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C．若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則D．若，都有，則三、填空題：本題共4小題．13．已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該雙曲線的焦距是．14．已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的值為．15．如圖，以等腰直角三角形的直角邊為斜邊，在外側(cè)作等腰直角三角形，以邊的中點(diǎn)為圓心，作一個(gè)圓心角是的圓??；再以等腰直角三角形的直角邊為斜邊，在外側(cè)作等腰直角三角形，以邊的中點(diǎn)為圓心，作一個(gè)圓心角是的圓??；；按此規(guī)律操作，直至得到的直角三角形的直角頂點(diǎn)首次落到線段上，作出相應(yīng)的圓弧后結(jié)束．若，則，所有圓弧的總長(zhǎng)度為．16．已知二面角為，內(nèi)一條直線與所成角為，內(nèi)一條直線與所成角為，則直線與直線所成角的余弦值是．四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長(zhǎng)度近似服從正態(tài)分布，其中恰有114根金屬棒長(zhǎng)度不小于6.04．(1)求；(2)如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長(zhǎng)度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？說明：對(duì)任何一個(gè)正態(tài)分布來說，通過轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到．可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.22.32.42.52.62.72.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.997419．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，邊上的高為，已知．(1)若，求的值；(2)若，求的值．20．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且//平面，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成的二面角的正弦值．21．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線方程為．(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，，是上的相異兩點(diǎn)，．(1)若點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，求的取值范圍；(2)若點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線交于另一點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過的直線交于，兩點(diǎn)．已知，求的取值范圍．1．A【分析】解集合中的方程和不等式，得到這兩個(gè)集合，再由并集的定義求解.【詳解】方程解得或，得，不等式解得，得，所以.故選：A．2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由題意得，，，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1.故選：A．3．C【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，一一判斷①、②、③，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，③可能成立．，時(shí)，，，，，，，即，此時(shí)，①可能成立．當(dāng)，時(shí),，，，，，即，即，②不可能成立，即①③可能成立，故選：C．4．B【分析】根據(jù)充分條件以及必要條件的定義，一一判斷各選項(xiàng)中兩條件之間的推理關(guān)系，即可判斷出答案.【詳解】對(duì)于A，若，則由，“”不是“”的必要條件，A錯(cuò)．對(duì)于B，，“”是“”的必要條件，B對(duì)，對(duì)于C，若，則由，推不出，“”不是“”的充分條件對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，即成立，此時(shí)不一定有成立，故“”不是“”的充分條件，D錯(cuò)誤，故選：B．5．B【分析】設(shè)，則，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，求出答案.【詳解】令，則，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故選：B．6．C【分析】根據(jù)正棱錐的性質(zhì)得到，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性得到時(shí)三棱錐的體積最大，最后求距離即可.【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)為，為的中心，則底面面積，，，，令，，，則時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，，即時(shí)，，到面距離，則，.故選：C．7．A【分析】構(gòu)建，根據(jù)題意分析可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式.【詳解】構(gòu)建，則，因?yàn)?，則，即，可知在上單調(diào)遞減，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)構(gòu)建，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式.8．D【分析】方法一，由題意找到點(diǎn)滿足的關(guān)系式，，由韋達(dá)定理可解；方法二：由題意可知點(diǎn)，在拋物線上運(yùn)動(dòng)，利用拋物線定義可解.【詳解】方法一：如圖建系，，圓，，，，，同理，，是的兩根，，．方法二：以所在直線為軸，以中垂線所在直線為軸建系，設(shè)，，在上的射影分別為，，，，，在拋物線上運(yùn)動(dòng)，兩根為，，.故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于由距離公式得出點(diǎn)所在曲線的方程，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求解.9．BC【分析】利用極差的定義可判斷A選項(xiàng)；利用平均數(shù)公式可判斷B選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用方差公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，不妨設(shè)，則樣本數(shù)據(jù)，，，的極差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，即，所以，樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，由可知，當(dāng)時(shí)，兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，同理可知當(dāng)時(shí)，中位數(shù)相等，當(dāng)時(shí)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，同理可知當(dāng)時(shí)，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，，因?yàn)椋瑒t，故，故兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不可能相等，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題意得到時(shí)，，時(shí)溫度最低，為，然后帶入解析式得到；BCD選項(xiàng)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】時(shí)，，，第二天凌晨3：00最低為，此時(shí)，∴，∴，A對(duì)．，令即時(shí)取最大值，對(duì)應(yīng)下午3：00，B對(duì)．，或10，上午11：00或下午7：00，C錯(cuò)．時(shí)，，D對(duì).故選：ABD．11．BCD【分析】方法一：AB選項(xiàng)，利用空間向量的方法判斷；C選項(xiàng)，將的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為與，距離之和，然后根據(jù)幾何性質(zhì)判斷；D選項(xiàng)，利用函數(shù)的性質(zhì)得到時(shí)最小，然后根據(jù)球的性質(zhì)求弧長(zhǎng)即可；方法二：A選項(xiàng)，根據(jù)三垂線定理判斷；B選項(xiàng)，利用空間向量的方法判斷；C選項(xiàng)，將轉(zhuǎn)化為平面上的長(zhǎng)度，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最小值即可；D選項(xiàng)，根據(jù)題意得到球半徑最小值為到的距離，然后根據(jù)球的性質(zhì)求弧長(zhǎng).【詳解】方法一：如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，,，則，對(duì)于A，因?yàn)闉檎襟w，所以，由三垂線定理得，，因?yàn)?，平面，所以平面，是平面一個(gè)法向量，假設(shè)面，則與共線矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò)．對(duì)于B，若存在，與所成角為，則或，或，，不滿足條件，假設(shè)不成立，B對(duì)．對(duì)于C，．表示與，距離之和，，，C對(duì)．對(duì)于D，，時(shí)最小，，，設(shè)截面小圓的圓心為，半徑為，則平面，所以，，因?yàn)?，所以球與面為圓心，為半徑的圓弧，因?yàn)?，所以在正方形?nèi)軌跡為半圓，弧長(zhǎng)，選項(xiàng)D正確；方法二：對(duì)于A，若平面，則，由三垂線定理知為中點(diǎn)，但此時(shí)不與垂直，故不存在這樣的，A不正確；對(duì)于B，同法一，B正確；對(duì)于C，可將面與面攤平，，C正確．對(duì)于D，球半徑最小值為到的距離，，，在面上的射影為，截面圓半徑，過作分別交，于，，，球被正方體截得的弧長(zhǎng)是半圓弧，長(zhǎng)為，D正確，故選：BCD．12．BD【分析】計(jì)算是否得0可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可判斷B；結(jié)合單調(diào)性、值域可判斷C；轉(zhuǎn)化為求最小值可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，不是關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，時(shí)，，時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，如時(shí)，只有一個(gè)根，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，所以，，即求最小值，當(dāng)時(shí)，，且，所以，．故D正確.故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性再解題.13．2【分析】由雙曲線方程可得.【詳解】由雙曲線方程可知，所以，，．故答案為：214．【分析】利用分段函數(shù)求解即可.【詳解】，，．故答案為：15．8【分析】根據(jù)題意，歸納可得每進(jìn)行一次操作，線段以B為圓心，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，由此可得第一空答案；分析可得每次操作，圓弧的半徑變?yōu)樯弦淮尾僮鞯?，則弧長(zhǎng)變?yōu)樯弦淮尾僮鞯模允且詾槭醉?xiàng)，為等邊的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，歸納可得每進(jìn)行一次操作，線段以B為圓心，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，所以，，即；，，以后每次操作，圓弧的半徑變?yōu)樯弦淮尾僮鞯?，則弧長(zhǎng)變?yōu)樯弦淮尾僮鞯?，所以是以為首?xiàng)，為等邊的等比數(shù)列，則圓弧總長(zhǎng)．故答案為：8；.16．【分析】分類討論作出二面角的平面角，然后根據(jù)余弦定理求角.【詳解】如圖，過上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)設(shè)，，，如圖，設(shè)，，，，，，，故答案為：.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的與之間的關(guān)系，可得時(shí)，結(jié)合，求出c的值，即可得答案；（2）由題意可得不等式，求出n的范圍，結(jié)合的含義，即可得答案.【詳解】（1），時(shí)，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故也符合上式，，，．（2）由題意知為在區(qū)間中項(xiàng)的個(gè)數(shù)，令，，，，，.18．(1)(2)根【分析】（1）求出，進(jìn)而求出即可求解；（2）根據(jù)題意求出即可求解.【詳解】（1），，，，，；（2），不合格的金屬棒有：根．19．(1)或2(2)【分析】（1）由余弦定理和面積公式，結(jié)合條件即可得出答案；（2）由面積公式和正弦定理化簡(jiǎn)求出A，即可得出答案.【詳解】（1）余弦定理得，，又，所以，代入，，或2．（2）由正弦定理得，又，，，，，，，，，，．20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）過作交于點(diǎn)，連接，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，向量法求二面角的平面角.【詳解】（1）過作交于點(diǎn)，連接平面，平面，平面平面，，又，四邊形為平行四邊形，，，分別為，的中點(diǎn)，，，又，為的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，平面，平面．（2）如圖建系，，，．，，，，，，，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，它們所成二面角為，，所以，，，．21．(1)單調(diào)遞增(2)【分析】（1）根據(jù)條件，得到，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成對(duì)恒成立，即，再對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由題有，即，解得所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，所以對(duì)恒成立，則，令，則，當(dāng)時(shí)，由于，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則存在，使得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則時(shí)，，不合題意，綜上：的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.22．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，，，，可得，，可解；（2）設(shè)，，，分別寫出直