高中數(shù)學(xué)同步學(xué)習(xí)一第二章冪函數(shù)學(xué)習(xí)過程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2、3冪函數(shù)學(xué)習(xí)過程知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)冪函數(shù)的一般形式為y=x。

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)（x的p次方）,如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，＋∞］.當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=—k,則x=1/（x^k),顯然x≠0，函數(shù)的定義域是（－∞,0）∪（0，＋∞）。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道:

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對(duì)于x〉0，則a可以是任意實(shí)數(shù)；

排除了為0這種可能，即對(duì)于x〈0和x>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù).

總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:

如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；

如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的。知識(shí)點(diǎn)2冪函數(shù)性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；(2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸;（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸。學(xué)習(xí)結(jié)論冪函數(shù)的一般形式：y=x冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞)都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1）；（2)時(shí),冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸；（3)時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸。典型例題例題1。已知冪函數(shù)y=-2（m∈Z),m為何值時(shí),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且不過原點(diǎn)？答案:±1解析:令m2—2=-1，∴m=±1，即m=±1滿足題意。例題2.討論y=—x3的單調(diào)性，并證明.證明：設(shè)x1、x2∈R,且x1〈x2。則f（x1)-f（x2）=x23—x13=(x2—x1）·(x12+x1x2+x22）=(x2-x1)［（x1+)2+x22]?！選2—x1〉0.(x1+)2>0。x22≥0,故(x1+）2+x22>0，∴f(x1)-f（x2)>0,∴f(x1)>f(x2),∴f（x）為R上的減函數(shù)。例題3已知（0。713)m<（1。30。7）m，求m的取值范圍.答案：m〉0解析：∵0.71。3<0.70=1，1.