三角函數(shù)-任意角與弧度制

2/2三角函數(shù)-任意角與弧度制知識(shí)點(diǎn)1.角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來(lái)的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。2.角的分類為了區(qū)別起見(jiàn)，我們規(guī)定:（1）正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角；（2）負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角；（3）零角：如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。注意：（1）角的概念推廣后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角在不引起混淆的情況下，“角”或“∠”可以簡(jiǎn)化成“”。3.終邊相同的角的表示方法：與終邊相同的角構(gòu)成一個(gè)集合：注:（1）；（2）是任意角；（3）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍。4.象限角：在直角坐標(biāo)系內(nèi),角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么角的終邊在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.非象限角：終邊落在軸或軸上的夾角。5.弧度與角度的互化（1）弧度制的定義比較兩個(gè)同心圓，我們發(fā)現(xiàn)同一個(gè)圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑對(duì)應(yīng)成比例。或者說(shuō)同一個(gè)圓中弧長(zhǎng)與半徑之比是不變的。因此我們有如下定義：如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝eq\f(l,r)（2）.弧度角的定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。弧度單位：rad。（此單位寫不寫都可以）（3）.弧長(zhǎng)公式：（4）.角度與弧度的換算；。1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝(eq\f(180,π))°特殊角的度數(shù)與弧度制對(duì)應(yīng)表：（5）.弧長(zhǎng)、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，又l＝rα，則扇形的面積為S＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)|α|·r2題型一終邊相同的角的表示【例1】寫出與角終邊相同的角的集合，并求在范圍內(nèi)與角終邊相同的角【例2】寫出終邊落在如圖所示直線上的角的集合．【例3】如圖分別是終邊落在OA,OB位置上的兩個(gè)角.且.(1)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)的所有角的集合;(2)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角θ.且的所有角的集合.【過(guò)關(guān)練習(xí)】1.下列各對(duì)角中終邊相同的角是（）。A和 B和C和 D和2.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則與終邊相同的角的集合是 .A. B.C. D.3.與終邊相同的最小正角為_(kāi)_______，與終邊相同的最小正角是________。4.在，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限：（1）；（2）。5.若與的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則有（）ABCD6.如果角與角具有同一條終邊，角與角具有同一條終邊，那么與的關(guān)系是什么？7.已知角的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi)(包括邊界),試指出角的取值范圍.

題型二象限角的判定【例1】⑴在與范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角：①；②；③.⑵分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合，寫出中滿足不等式的元素：①；②；③.【例2】若是第四象限角，則是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【例3】若角是第二象限角，確定，是第幾象限角?！具^(guò)關(guān)練習(xí)】1.下列說(shuō)法正確的有幾個(gè)（）（1）銳角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是銳角；（3）小于的角是銳角；（4）的角是銳角。A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在軸的正半軸上，則角是第（）象限角。A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角3.若是第一象限角，則是（）A.第一象限角B.第四象限角C.第二或第三象限角D..第二或第四象限角4.將下列各角表示為的形式，并判斷角在第幾象限。（1）；（2）。題型三角度制與弧度制的互換【例1】（1）把化成弧度制；（2）把化成角度制?！纠?】將下列各角化為的形式，并判斷其所在象限.(1)；(2)-315°；(3)-1485°.【例3】用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.

【過(guò)關(guān)練習(xí)】1.用弧度制表示：①終邊在軸上的角的集合②終邊在軸上的角的集合③終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合。2.⑴把化成弧度；⑵把化成度.3.在平面直角坐標(biāo)系中,α=,β的終邊與α的終邊分別有如下關(guān)系時(shí),求β:(1)α,β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱;(2)α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱;(3)α,β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;(4)α,β的終邊關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱.題型四弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的應(yīng)用【例1】如圖，扇形OAB的面積是4，它的周長(zhǎng)是8cm，求扇形的中心角及弦AB的長(zhǎng)?！纠?】?jī)蓚€(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為，則兩個(gè)扇形周長(zhǎng)的比為（）ABCD【例3】將一條繩索繞在半徑為的輪子上,繩索的下端B處懸掛著物體W,且輪子按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼妱蛩傩D(zhuǎn)6圈,現(xiàn)在想將物體W的位置向上提升100cm,需要多長(zhǎng)時(shí)間才能完成?【過(guò)關(guān)練習(xí)】1.下列命題中正確的命題是（）A若兩扇形面積的比是，則兩扇形弧長(zhǎng)的比是B若扇形的弧長(zhǎng)一定，則面積存在最大值C若扇形的面積一定，則弧長(zhǎng)存在最小D任意角的集合可以與實(shí)數(shù)集之間建立一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系2.一個(gè)半徑為的扇形，它的周長(zhǎng)是，則這個(gè)扇形所含弓形的面積是（）A. BC D3.已知扇形的面積為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，扇形的周長(zhǎng)最小？并求出此最小值。4.視力正常的人，能讀遠(yuǎn)處文字的視角不小于，試求：（1）距人遠(yuǎn)處所能閱讀文字的大小如何？（2）要看清長(zhǎng)，寬均為的大字標(biāo)語(yǔ)，人距離標(biāo)語(yǔ)的最遠(yuǎn)距離是多少米？課后練習(xí)【補(bǔ)救練習(xí)】1.下面四個(gè)命題中正確的是（）A.第一象限的角必是銳角 B.銳角必是第一象限的角C.終邊相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角2.終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合＿＿.3.若，，則_________（其中扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，半徑為）。4.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來(lái)。（1）（2）。5.⑴把化成弧度；⑵把化成度.6.把下列各角寫成的形式，并指出它們所在的象限或終邊位置.⑴；⑵；⑶.7.寫出終邊在軸上的角的集合.8.將第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角分別用弧度制的形式表示.【鞏固練習(xí)】1.當(dāng)角與的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則的終邊在 .A.軸的非負(fù)半軸上 B.軸的非負(fù)半軸上C.軸的非正半軸上 D.軸的非正半軸上2.若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為()(A) (B)(C) (D)23.將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是()(A) (B)－(C) (D)－4.若角α是第三象限角，則角的終邊在，2α角的終邊在.5.試寫出所有終邊在直線上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之間的角.6.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的終邊和θ角終邊重合，求θ.xyOA7.如下圖，圓周上點(diǎn)A依逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng).已知A點(diǎn)1分鐘轉(zhuǎn)過(guò)θ(0＜θ＜πxyOA8.已知集合，，則兩集合的關(guān)系是______ .9.寫出角的終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合（不包括邊界）。圖（1）圖