概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版-課后習(xí)題答案

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版

第一章概率論的基本概念

1.[一]寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

（1）記錄一個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分）（[一]1）

???????=nnn

noS1001,，n表小班人數(shù)（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（[一]2）

S={10，11，12，………，n，………}

（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。

查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。（[一](3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}

2.[二]設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。

（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。

表示為：CBA或A－(AB+AC)或A－(B∪C)

（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。

表示為：CAB或AB－ABC或AB－C

（3）A，B，C中至少有一個發(fā)生表示為：A+B+C

（4）A，B，C都發(fā)生，表示為：ABC

（5）A，B，C都不發(fā)生，表示為：CBA或S－(A+B+C)或CBA??（6）A，B，C中不多于一個發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個同時不發(fā)生相當(dāng)于CACBBA,,中至少有一個發(fā)生。故表示為：CACBBA++。

（7）A，B，C中不多于二個發(fā)生。相當(dāng)于：CBA,,中至少有一個發(fā)生。故表示為：ABCCBA或++

（8）A，B，C中至少有二個發(fā)生。

相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC

6.[三]設(shè)A，B是兩事件且P(A)=0.6，P(B)=0.

7.問(1)在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P(A)=0.6，P(B)=0.7即知AB≠φ，（否則AB=φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1與P(A∪B)≤1矛盾）.

從而由加法定理得

P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)(*)

（1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當(dāng)AB=A，即A∩B時P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6，

（2）從(*)式知，當(dāng)A∪B=S時，P(AB)取最小值，最小值為

P(AB)=0.6+0.7－1=0.3。

7.[四]設(shè)A，B，C是三事件，且0)()(,4

1)()()(===

==BCPABPCPBPAP，81)(=ACP.求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率。解：P(A，B，C至少有一個發(fā)生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC)=8

508143=+-8.[五]在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26

個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？

記A表“能排成上述單詞”

∵從26個任選兩個來排列，排法有226A種。每種排法等可能。

字典中的二個不同字母組成的單詞：55個

∴130

1155)(226==AAP9.在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0，1，2……9）

記A表“后四個數(shù)全不同”

∵后四個數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。

后四個數(shù)全不同的排法有410A

∴504.010

)(4410==AAP10.[六]在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號碼。

（1）求最小的號碼為5的概率。

記“三人紀(jì)念章的最小號碼為5”為事件A

∵10人中任選3人為一組：選法有??

???310種，且每種選法等可能。又事件A相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有??

????251∴121310251)(=??

?????????=AP（2）求最大的號碼為5的概率。

記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有?????310種，且

每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有??

????241種

201310241)(=??

?????????=BP11.[七]某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？

記所求事件為A。

在17桶中任取9桶的取法有917C種，且每種取法等可能。

取得4白3黑2紅的取法有2334410CCC??

故2431252)(617

2334410=??=CCCCAP12.[八]在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。

（1）求恰有90個次品的概率。

記“恰有90個次品”為事件A

∵在1500個產(chǎn)品中任取200個，取法有??

???2001500種，每種取法等可能。200個產(chǎn)品恰有90個次品，取法有??

????????110110090400種∴

???????????????=2001500110110090400)(AP（2）至少有2個次品的概率。

記：A表“至少有2個次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個次品”，同上，200個產(chǎn)品不含次品，取法有?????2001100種，200個產(chǎn)品含一個次品，取法有??

????????199********種∵10BBA+=且B0，B1互不相容。

∴?????

??????????????????????+??????????-=+-=-=200150019911001400200150020011001)]()([1)(1)(10BPBPAPAP13.[九]從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則A表“4只人不配對”

∵從10只中任取4只，取法有??

???410種，每種取法等可能。要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有4245???

???21132181)(1)(21

82)(4104

45=-

=-==?=∴APAPCCAP15.[十一]將三個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？

記Ai表“杯中球的最大個數(shù)為i個”i=1,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能

對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2種。

(選排列：好比3個球在4個位置做排列)

1664

234)(31=??=AP對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有3423??C種。

(從3個球中選2個球，選法有23C，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4

種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。

16

9434)(3232=??=CAP對A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此

3個球，選法有4種)

1614

4)(33==AP16.[十二]50個鉚釘隨機(jī)地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強(qiáng)度太弱，每個部件用3只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？

記A表“10個部件中有一個部件強(qiáng)度太弱”。

法一：用古典概率作：

把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個部件要分先后次序）

對E：鉚法有323344347350CCCC???種，每種裝法等可能

對A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有〔32334434733CCCC??〕×10

種

00051.01960

110

][)(32334735032334434733==???????=CCCCCCCAP法二：用古典概率作

把試驗(yàn)E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序）

對E：鉚法有350A種，每種鉚法等可能

對A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，

30”位置上。這種鉚法有27473327473327473327473310AAAAAAAA??=+++?+?種

00051.01960

110)(30502747

33==??=AAAAP17.[十三]已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(BABPBAPBPAP?===求。

解一：

BAABBBAASABPBPAPAP?=?===-==-=)(,6.0)(1)(,7.0)(1)(注意φ=))((BAAB.故有

P(AB)=P(A)－P(AB)=0.7－0.5=0.2。

再由加法定理，

P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.7+0.6－0.5=0.8于是25.08

.02.0)()()()]([)|(==?=??=?BAPABPBAPBABPBABP25.05

.06.07.051

)()()()()()()|(5

1)|()()(72)|(757.05.0)|()

|(0705)|()()(:=-+=-+=???===?==∴?=??→?=BAPBPAPBAPBAPBBBAPBABPABPAPABPABPABPABPABPAPBAP定義故解二由已知

18.[十四])(,2

1)|(,31)|(,41)(BAPBAPABPAP?===求。解：由6

1)()(314121)()|()()()()|(=??=????→?=BPBPBPABPAPBPABPBAP有定義由已知條件由乘法公式，得12

1)|()()(==ABPAPABP由加法公式，得311216141)()()()(=-+=-+=?ABPBPAPBAP

19.[十五]擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。

解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。

擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（x,y）（x,y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為

S={(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}

每種結(jié)果（x,y）等可能。

A={擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時，其中有一顆為1點(diǎn)。故3

162)(==AP}方法二：（用公式)

()()|(BPABPBAP=S={(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能

A=“擲兩顆骰子，x,y中有一個為“1”點(diǎn)”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則226

2)(,6166)(===ABPBP，故3

1626

162

)()()|(2====BPABPBAP20.[十六]據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P(B|A)=P{母親得病|孩子得病}=0.5，P(C|AB)=P{父親得病|母親及孩子得病}=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

解：所求概率為P(ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求P(C|AB)

P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3,P(C|AB)=1－P(C|AB)=1－0.4=0.6.

從而P(ABC)=P(AB)·P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.

21.[十七]已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（記為事件A）

法一：用組合做在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結(jié)果，每種取法等可能。

62.045

28)(21028===CCAP法二：用排列做在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結(jié)果，每個排列等可能。

45

28)(21028

==

AAAP法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。

記A1，A2分別表第一、二次取得正品。

452897108)|()()()(1221=?=

==AAPAPAAPAP（2）二只都是次品（記為事件B）

法一：45

1)(21022

==CCBP法二：45

1)(21022

==AABP法三：45191102)|()()()(12121=?=

==AAPAPAAPBP（3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）

法一：45

16)(21012

18=?=CCCCP法二：4516)()(21022

1218=??=AACCCP

法三：互斥與且21212121)()(AAAAAAAAPCP+=45

169108292108)|()()|()(121121=+?=+=AAPAPAAPAP（4）第二次取出的是次品（記為事件D）

法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，

法二：5

1)(21012

19=?=AAADP法三：

互斥與且21212121)()(AAAAAAAAPDP+=5

19110292108)|()()|()(121121=?+?=+=AAPAPAAPAP22.[十八]某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？

記H表撥號不超過三次而能接通。

Ai表第i次撥號能接通。

注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。

10

3819810991109101)|()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+=++=∴++=AAAPAAPAPAAPAPAPHPAAAAAAH三種情況互斥

如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。

)|||)|(321211BAAABAABPABHP++=

)|()|()|()|()|()|(2131211211AABAPABAPBAPABAPBAPBAP++=53314354415451=??+?+=

24.[十九]設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）

記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”

再記B表“再從乙袋中取得白球”。

∵

B=A1B+A2B且A1，A2互斥∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)

=1

11++?+++++?+MNNmnmMNNmnn[十九](2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。

C2為“從第一盒子中取得2只白球”。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，

D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)

99531161171152

9141529242925=??+?+?=CCCCCCC26.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，顯然A1∪A2=S，A1A2=φ由已知條件知%25.0)|(%,5)|(21)()(2121===

=ABPABPAPAP由貝葉斯公式，有

212010000

2521100521100521)|()()|()()|()()()()|(22111111=?+??=+==ABPAPABPAPABPAPBPBAPBAP

[二十二]一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為2

P（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P(A1)=P(A2|A1)=P，2

)|(12PAAP=（1）B={至少有一次及格}所以21}{AAB==兩次均不及格∴)|()(1)(1)(1)(12121AAPAPAAPBPBP-=-=-=

)]|(1)][(1[1121AAPAP---=

22

123)21)(1(1PPPP-=---=（2）)

()()22121(APAAPAAP定義（*）由乘法公式，有P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=P2由全概率公式，有)|()()|()()(1211212AAPAPAAPAPAP+=

222

)1(2PPPPPP+=?

-+?=

將以上兩個結(jié)果代入（*）得1

222)|(22

21+=+=PPPPPAAP28.[二十五]某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：

到家時間

5:35~5:395:40~5:445:45~5:495:50~5:54遲于5:54

乘地鐵到

家的概率

0.10

0.250.450.150.05乘汽車到

家的概率

0.30

0.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。

解：設(shè)A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:45~5:49到家”，由題意,AB=φ,A∪B=S已知：P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5

由貝葉斯公式有6923.013965.045.02

1)|(21)|(45.05.0)()()|()|(===+?==BCPACPCPAPACPCAP29.[二十四]有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品”i=1，2

Aj表示“第j箱產(chǎn)品”j=1,2，顯然A1∪A2=SA1A2=φ（1）4.05

2301821501021)(1==?+?=BP（B1=A1B+A2B由全概率公式解）。（2）4857.05

22917301821499501021)

()()|(12112=+==BPBBPBBP（先用條件概率定義，再求P(B1B2)時，由全概率公式解）

32.[二十六（2）]如圖1，2，3，4，5

321

LR

表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合

的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)

立，求L和R是通路的概率。

記Ai表第i個接點(diǎn)接通

記A表從L到R是構(gòu)成通路的。

∵A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥

∴P(A)=P(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)－P(A1A2A3A5)

+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P(A1A3A4A5)

+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)

+(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)－P(A1A2A3A4A5)

又由于A1，A2，A3，A4，A5互相獨(dú)立。

故P(A)=p2+p3+p2+p3－[p4+p4+p4+p4+p5+p4]+[p5+p5+p5+p5]－p5=2p2+3p3－5p4+2p5

[二十六（1）]設(shè)有4個獨(dú)立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。

記Ai表示第i個元件正常工作，i=1，2，3，4，

A表示系統(tǒng)正常。∵A=A1A2A3+A1A4兩種情況不互斥

∴P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)－P(A1A2A3A4)

(加法公式)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=P1P2P3+P1P4－P1P2P3P4(A1,A2,A3,A4獨(dú)立)

34.[三十一]袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？342

1

5

4

解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”=Br“任取一只是正品”=A

由全概率公式，有

rrrrrrr

rrrrnmmnmnnmmnmmBPABPAPBAPn

mnnmmABPAPABPAPBP2)21()21()()|()()|(1)21()|()()|()()(?+=++++==∴?+++=

+=（條件概率定義與乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解：高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)

∵

3213213211BBBBBBBBBH++=，三種情況互斥。3213213212BBBBBBBBBH++=三種情況互斥3223BBBH=

又B1，B2，B2獨(dú)立。

∴)()()()()()()(3213211BPBPBPBPBPBPHP+=

36.07.05.06.03.05.06

.03.05.04.0)()()(321=??+??+??=+BPBPBP

)()()()()()()(3213212BPBPBPBPBPBPHP+=

3.05.0

4.0)()()(321??=+BPBPBP

+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41

P(H3)=P(B1)P(B2)P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14

又因：A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥

故由全概率公式，有

P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(AH3)

=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458

36.[三十三]設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%（這一事件記為A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分別為P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05，現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求P(A1|B)P(A2|B),P(A3|B)（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地）

∵B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥

由全概率公式，有

∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624

0001.08624

.0)1.0(05.0)()|()()()()|(1268.08624

.0)9.0(15.0)()|()()()()|(8731.08624

.0)98.0(8.0)()|()()()()|(3

33333

22223

1111=?====?====?===BPABPAPBPBAPBAPBPABPAPBPBAPBAPBPABPAPBPBAPBAP37.[三十四]將A，B，C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為α，而輸出為其它一字母的概率都是(1－α)/2。今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1,p2,p3(p1+p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨(dú)立的。）

解：設(shè)D表示輸出信號為ABCA，B1、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA，BBBB，CCCC，則B1、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi,i=1,2,3。

再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有

P(A收|A發(fā))=P(B收|B發(fā))=P(C收|C發(fā))=α，

P(A收|B發(fā))=P(A收|C發(fā))=P(B收|A發(fā))=P(B收|C發(fā))=P(C收|A發(fā))=P(C收|B發(fā))=2

1α-又P(ABCA|AAAA)=P(D|B1)=P(A收|A發(fā))P(B收|A發(fā))P(C收|A發(fā))P(A收|A發(fā))

=22)2

1(αα-，同樣可得P(D|B2)=P(D|B3)=3)21(

αα-?于是由全概率公式，得

33222131)2

1()()21()|()()(ααPPαapBDPBPDPii

i-++-==∑=

由Bayes公式，得

P(AAAA|ABCA)=P(B1|D)=

)()|()(11DPBDPBP=)

)(1(223211PPαPαPα+-+[二十九]設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。

解：記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。

（1）記C={至少有一只藍(lán)球}

C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1，5種情況互斥

由概率有限可加性，得

9

592729272947393739273)()()()()()()()()()()

()()()()()(1

3123121111312312111=?+?+?+?+?=++++++++=BPAPBPAPBPAPBPAPBPAPBAPBAPBAPBAPBAPCP獨(dú)立性

（2）記D={有一只藍(lán)球，一只白球}，而且知D=A1B3+A3B1兩種情況互斥

63

1692729473)

()()()()(()(13311331=?+?=+=+=BPAPBPAPBAPBAPDP（3）)(3516)()()()()|(DCDCPDPCPCDPCDP====注意到

[三十]A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A，B，

C的電話的概率分別為51,52,52。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬觯珹，B，C三人外出的概率分別為4

141,21，設(shè)三人的行動相互獨(dú)立，求（1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進(jìn)了3個電話，求（3）這3個電話打給同一人的概率；（4）這3個電話打給不同人的概率；（5）這3個電話都打給B，而B卻都不在的概率。

解：記C1、C2、C3分別表示打給A，B，C的電話

D1、D2、D3分別表示A，B，C外出

注意到C1、C2、C3獨(dú)立，且51)(,52)()(321==

=CPCPCP4

1)()(,21)(321===DPDPDP（1）P（無人接電話）=P(D1D2D3)=P(D1)P(D2)P(D3)

=32

1414121=??（2）記G=“被呼叫人在辦公室”，332211DCDCDCG++=三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式

20

13435143522152)|()()|()()|()()()()()(333222111332211=?+?+?=++=++=CDPCPCDPCPCDPCPDCPDCPDCPGP????????=)()|(kkkDPCDP故否和來電話無關(guān)由于某人外出與（3）H為“這3個電話打給同一個人”

125

17515151525252525252)(=??+??+??=HP（4）R為“這3個電話打給不同的人”

R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C的三個電話，每種情況的概率為125

4515252=??于是125

2412546)(=?=RP（5）由于是知道每次打電話都給B，其概率是1，所以每一次打給B電話而B不在的概率為4

1，且各次情況相互獨(dú)立于是P（3個電話都打給B，B都不在的概率）=64

1)41(3=

第二章隨機(jī)變量及其分布

1.[一]一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律

解：X可以取值3，4，5，分布律為

10

61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10

11)2,1,3()3(35

2

435

2

335

2

2=?=

===

?====

?=

==CCPXPCCPXPCCPXP中任取兩球再在號一球?yàn)橹腥稳汕蛟僭谔栆磺驗(yàn)樘杻汕驗(yàn)樘栆磺驗(yàn)?/p>

也可列為下表X：3，4，5P：

10

6,103,1013.[三]設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。

解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。

3522)0(315

3

13=

=

=CCXP3512)1(3

15213

12=?=

=CCCXP35

1)2(3

15

113

22=

?=

=CCCXP再列為下表

X：0，1，2P：

35

1,3512,35224.[四]進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q=1－p(0（2）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。（此時稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。）

（3）一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。

解：（1）P(X=k)=qk－

1p

k=1,2,……

（2）Y=r+n={最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n－1次有n次失敗，且最后一次成功}

x

1

2

O

P

,,2,1,0,

)(111===+=-+--+npqCppqCnrYPrnnnrrnnnr其中q=1－p，或記r+n=k，則P{Y=k}=,1,,)1(11+=----rrkppCrkrrk（3）P(X=k)=(0.55)k－10.45

k=1,2…P(X取偶數(shù))=31

1145.0)

55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=kkkkXP6.[六]一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻t每個設(shè)備使用的概率為0.1，問在同一時刻

（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？

0729.0)9.0()1.0()2(322525225=??===-CqpCXP

（2）至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？

00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=?+??+??=≥CCCXP

（3）至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？

3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(??+??+=≤CCCXP

99954.0)9.0()1.0(2335=??+C

（4）至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？

40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥XPXP

[五]一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。

（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。

（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。

（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。

解：（1）X的可能取值為1，2，3，…，n，…

P{X=n}=P{前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去}

=3

1)32(1?-n，n=1，2，……（2）Y的可能取值為1，2，3

P{Y=1}=P{第1次飛了出去}=3

1P{Y=2}=P{第1次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去}

=3

12132=?P{Y=3}=P{第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去}=3

1!3!2=∑∑===31}

|{}{}|{}{}{)3(kkkYYXPkYPkYYXPkYPYXP???

???===???????+?+?=∑=kkXPkYP}

{}|{,kXPkYYXPYX=31}|{}{}{kkYYXPkYPYXP81

192743192313131}{}{3

1=?+?+?====∑=kkXPkYP故81

38){}{1}{==-（1）二人投中次數(shù)相等的概率。

記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)

Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)

由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。

P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)

=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)

=(0.4)3×(0.3)3+[])3.0(7.0[])4.0(6.0213213

?????CC3223223

)6.0(]3.)7.0([]4.0)6.0([+?????+CC321.0)7.0(3=?

（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。

P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+

P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)

=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+

P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)

=+???+???82233213

)3.0(]4.0)6.0([)3.0(])4.0(6.0[CC3213223)6.0(])3.0(7.0[]4.0)6.0([+?????CC

321333)6.0(])3.0(7.0[)6.0()3.0(+???+?C

243.0]3.0)7.0([223=???C

9.[十]有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。

（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？

（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。）

解：（1）P(一次成功)=701148

=C（2）P(連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)=100003)7069()701(73310

=C。此概率太小，按實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。

[九]有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求

（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率

（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率

（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率

（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時被通過的概率

（5）這批產(chǎn)品被接受的概率

解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)，

由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服從）

（1）P{X=0}=0.910≈0.349

（2）P{X≤2}=P{X=2}+P{X=1}=581.09.01.09.01.0911082210

≈+CC（3）P{Y=0}=0.95≈0.590

（4）P{0=P{0

=0.581×0.590≈0.343

（5）P{X=0}+P{0≈0.349+0.343=0.692

12.[十三]電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求

（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率

法一：

029770.0!84)8(48===-eXP（直接計(jì)算）法二：P(X=8)=P(X≥8)－P(X≥9)（查λ=4泊松分布表）。

=0.051134－0.021363=0.029771

（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。

P(X>10)=P(X≥11)=0.002840（查表計(jì)算）

[十二(2)]每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。

566530.0}4{}3{=≥=>XPXP

[十六]以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時間（以分計(jì)），X的分布函數(shù)是

???0,1)(4.0xxexFxX求下述概率：

（1）P{至多3分鐘}；（2）P{至少4分鐘}；（3）P{3分鐘至4分鐘之間}；

（4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}；（5）P{恰好2.5分鐘}

解：（1）P{至多3分鐘}=P{X≤3}=2.11)3(--=eFX

（2）P{至少4分鐘}P(X≥4)=6.1)4(1-=-eFX

（3）P{3分鐘至4分鐘之間}=P{3（4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}=P{至多3分鐘}+P{至少4分鐘}

=6.12.11--+-ee

（5）P{恰好2.5分鐘}=P(X=2.5)=0

18.[十七]設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為?????≥,1,1,ln,1,0)(exexxxxFX，

求（1）P(X解：（1）P(X≤2)=FX(2)=ln2，P(0

4

5ln2ln25ln)2()25(252(=-=-=,0,1,1)(')(exxxFxf20.[十八（2）]設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度)(xf為

（1）?????≤≤--=其它01112)(2

xxxfπ

（2）?????≤≤-21210)(xxxxxf

求X的分布函數(shù)F(x)，并作出（2）中的f(x)與F(x)的圖形。解：當(dāng)－1≤x≤1時：

2

1arcsin111arcsin2112

12120)(212121++-=??????+-=-+=---∞-??xπxxπxxxπdxxπdxxFXx當(dāng)1??--∞-xdxdxxπdxxF故分布函數(shù)為：

??

???dttfxXPxF)()()(

??????????=+-++=

≤≤=+=0)(,0xxx

x

dtdttdttdtxFxxxdttdttdtxFxxdttdtxFxdtxFx時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)故分布函數(shù)為

?????????xxxxxxxF212112210200)(22

（2）中的f(x)與F(x)的圖形如下

22.[二十]某種型號的電子的壽命X（以小時計(jì)）具有以下的概率密度：

?????>=其它010001000)(2

xxxf

現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立）。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？

解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為

32)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000150010002=--=??????--=-

=≤-=>?xdxxXPXP

令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則)3

2,5(~BY，{}2432322431113

2511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=?+-=????????+-==+=-=

?????>=-其它

,00,51)(5xexFxX

某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y≥1）。

解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為

2105

10

51051)()10(-∞+-∞+-∞+=-===>??eedxedxxfXPx

xX因此5,4,3,2,1(,)1(5)().,5(~5222=-??

???==----keekkYPeBYkk即.5167.04833.018677.01)1353363.01(1)389

.711(1)1(1)0(1)1(1)1(55

552=-=-=--=--=--==-=∵K的分布密度為：?????要方程有根，就是要K滿足(4K)2－4×4×(K+2)≥0。

解不等式，得K≥2時，方程有實(shí)根。

∴5

3051)()2(5522=+==≥???∞

+∞

+dxdxdxxfKP25.[二十三]設(shè)X～N（3.22）

（1）求P(22}，P(X>3)

∵若X～N（μ，σ2），則P(α???-σμα∴

P(2???-232=φ(1)－φ(－0.5)=0.8413－0.3085=0.5328

P(－4???--234=φ(3.5)－φ(－3.5)=0.9998－0.0002=0.9996

P(|X|>2)=1－P(|X|

=1－φ(－0.5)+φ(－2.5)=1－0.3085+0.0062=0.6977

P(X>3)=1－P(X≤3)=1－φ??

???-233=1－0.5=0.5（2）決定C使得P(X>C)=P(X≤C)

∵

P(X>C)=1－P(X≤C)=P(X≤C)得

P(X≤C)=21=0.5又P(X≤C)=φ023,5.023=-=??

???-CC查表可得∴C=326.[二十四]某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg計(jì)）服從)

12,110(2N在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求

（1）P(X≤105)，P(100x)≤0.05.

解:3384.06616.01)4167.0(1)4167.0()12

110105()105()1(=-=Φ-=-Φ=-Φ=≤XP5952.017976.021)8333.0(21)6

5(2)65()65()12110100()12110120()120100(=-?=-Φ=-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤110(05.0)12110(1)(1)()2(==+≥?≥-≥-Φ?≤-Φ-=≤-=>XxxxxxXPxXP故最小的查表得

27.[二十五]由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為μ=10.05，σ=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？

設(shè)螺栓長度為X

P{X不屬于(10.05－0.12,10.05+0.12)

=1－P(10.05－0.12=1－????????????--Φ-?????

?-+Φ06.005.10)12.005.10(06.005.10)12.005.10(=1－{φ(2)－φ(－2)}

=1－{0.9772－0.0228}

=0.0456

28.[二十六]一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計(jì)）服從參數(shù)為μ=160，σ(未知)的正態(tài)分布，若要求P(120＜X≤200＝=0.80，允許σ最大為多少？

∵P(120＜X≤200)=80.04040160120160200=??

???-Φ-?????Φ=?????-Φ-?????-Φσσσσ又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有φ(－x)=1－φ(x)

∴上式變?yōu)?0.040140≥??

?????????Φ--?????Φσσ解出9.040:40≥??

???Φ?????Φσσ便得再查表，得25.31281

.140281.140=≤≥σσ30.[二十七]設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：

X：－2，

－1，0，1，3P：51，61，51，15

1，3011求Y=X2的分布律∵Y=X2：(－2)2(－1)2

(0)2(1)2(3)2P：51615115

13011再把X2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：∴Y：0

149P：5115161+5130

1131.[二十八]設(shè)隨機(jī)變量X在（0，1）上服從均勻分布

（1）求Y=eX的分布密度

∵X的分布密度為：???101)(Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)

又

X=h(Y)=lnY，反函數(shù)存在且α=min[g(0),g(1)]=min(1,e)=1

=βmax[g(0),g(1)]=max(1,e)=e

∴Y的分布密度為：??

???yhyhfyψ0111|)('|)]([)(（2）求Y=－2lnX的概率密度。

∵

Y=g(X)=－2lnX是單調(diào)減函數(shù)又2)(Y

eYhX-==反函數(shù)存在。

且α=min[g(0),g(1)]=min(+∞,0)=0

β=max[g(0),g(1)]=max(+∞,0)=+∞

∴Y的分布密度為：??

???+∞yyee

yhyhfyψyy002

1211|)('|)]([)(22

32.[二十九]設(shè)X～N（0，1）（1）求Y=eX的概率密度∵X的概率密度是+∞-xeπ

xfx,21

)(2

2

Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h(Y)=lnY反函數(shù)存在

且

α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=0

β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度為：

??

???+∞為其他

yyyeπ

yhyhfyψy00121|)('|)]([)(2)(ln2（2）求Y=2X2+1的概率密度。

在這里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY（y），則FY(y)=P(Y≤y)=P(2X2+1≤y)

=???

??

?-≤≤--

2

121

yXyP當(dāng)y當(dāng)y≥1時：?

---

-

=???

?

?

?

-≤≤--=21

2

12

221

212

1

)(yyxydxeπ

yXyPyF

故Y的分布密度ψ(y)是：

當(dāng)y≤1時：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0

當(dāng)y>1時，ψ(y)=[FY(y)]'='???

?

??

?---

-212

12

221yyxdxe

π

=41)

1(21

---ye

yπ

（3）求Y=|X|的概率密度。

∵Y的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤y)當(dāng)y當(dāng)y≥0時，F(xiàn)Y(y)=P(|X|≤y)=P(－y≤X≤y)=?

--yy

xdxeπ

22

21

∴Y的概率密度為：

當(dāng)y≤0時：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0

當(dāng)y>0時：ψ(y)=[FY(y)]'=22222

21yyyxeπdxeπ---='???

????

33.[三十]（1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，求Y=X3的概率密度。

∵Y=g(X)=X3是X單調(diào)增函數(shù)，又X=h(Y)=3

1Y，反函數(shù)存在，

且

α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=－∞

β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度為：

ψ(y)=f[h(h)]·|h'(y)|=0,,3

1)(32

3

1≠+∞yyyyf

但0)0(=ψ

（2）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X2的概率密度。

法一：∵X的分布密度為：??

?≤>=-0

)(xxexfx

Y=x2是非單調(diào)函數(shù)

當(dāng)x反函數(shù)是yx-=當(dāng)x

∴Y～fY(y)=))(())(('+'--yyfyyf－y

y

x

O

y

y=x2

=???

??≤>=

+-

-0

0,21210yyey

ey

y

y

法二：)()()()()(~yXPyXPyXyPyYPyYFY-≤-≤=≤

???

??≤>-=+--?

,

0,100

yyedxey

yx

∴Y～fY(y)=???

??≤>-.

0,

.0,21yyey

y

34.[三十一]設(shè)X的概率密度為

???

??02)(2

求Y=sinX的概率密度。

∵FY(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)當(dāng)y當(dāng)0≤y≤1時：FY(y)=P(sinX≤y)=P(0≤X≤arcsiny或π－arcsiny≤X≤π)=?

?

-+π

yπy

dxπxdxπx

arcsin2

arcsin0

2

22

當(dāng)10?

?

?

+?

?

-π

yπy

dxπxdxπ

x

arcsin2arcsin0

222

=

2

12y

π-

1≤y時，ψ(y)=[FY(y)]'=)1('=0

36.[三十三]某物體的溫度T(oF)是一個隨機(jī)變量，且有T～N（98.6，2），試求θ(℃)

的概率密度。[已知)32(9

5-=Tθ]法一：∵T的概率密度為+∞)(22)6.98(2

π

又)32(95)(-=

=TTgθ是單調(diào)增函數(shù)。325

9)(+==θθhT反函數(shù)存在。且α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(－∞,+∞)=－∞

β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(－∞,+∞)=+∞

∴θ的概率密度ψ(θ)為

5

9221

|)('|)]([)(4)6.98325

9(2

?=?=-+-θeπθhθhfθψ+∞100)37(812

法二：根據(jù)定理：若X～N（α1，σ1），則Y=aX+b～N(aα1+b,a2σ2)

由于T～N（98.6,2）

故???

???????????=??????????????-?-=295,9333295,91606.989

5~91609522NNTθ故θ的概率密度為：

+∞--???????????

?--θππθψθθ,10929521)(100)37(8129529333222ee

第三章多維隨機(jī)變量及其分布

1.[一]在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只?？紤]兩種試驗(yàn)：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X，Y如下：

?????=

若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X?????=

若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y試分別就（1）（2）兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。

解：（1）放回抽樣情況

由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)

P(X=0,Y=0)=

362512101210=?P(X=0,Y=1)=

3651221210=?P(X=1,Y=0)=

3651210122=?P(X=1,Y=1)=

361122122=?或?qū)懗蒟Y

010

36253651

365361（2）不放回抽樣的情況

P{X=0,Y=0}=

66451191210=?P{X=0,Y=1}=

66101121210=?P{X=1,Y=0}=

66101110122=?P{X=1,Y=1}=

661111122=?或?qū)懗?/p>

X

Y01

664566101661066

13.[二]盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。

X

Y0123

000353352

10356351

2352

2351356353

解：（X，Y）的可能取值為(i,j)，i=0，1，2，3，

j=0，12，i+j≥2，聯(lián)合分布律為

P{X=0,Y=2}=351

472

2

22=CCC

P{X=1,Y=1}=356

472