數(shù)學人教A版必修2學案2-1-1平面

第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系2．1.1平面[目標]1.理解平面的概念，會畫一個平面及會表示平面；2.會用符號語言表示空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系；3．掌握三個公理并會簡單應用．[重點]平面的畫法、表示；用符號語言描述點與直線、直線與平面、點與平面的關(guān)系；三個公理及簡單應用．[難點]對平面的理解及三個公理的簡單應用．知識點一平面的概念[填一填]1．概念：平面是從生活中抽象出來的，具有以下特點：①平；②無限延展；③沒有厚?。?．畫法：(1)通常用平行四邊形來表示平面．(2)當平面水平放置時，通常把平行四邊形的銳角畫成45°，且橫邊長是鄰邊長的2倍；當平面豎直放置時，通常把平行四邊形的一組對邊畫成鉛垂線．3．表示法：一般用希臘字母α，β，γ，…來表示，還可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點或相對的兩個頂點的大寫英文字母表示，如平面ABCD、平面AC.[答一答]1．課桌面、黑板面、海面是平面嗎？提示：雖然課桌面、黑板面、海面給我們以平面的形象，但是平面是無限延展的，所以它們不是平面．2．如下圖所示，平面(1)和平面(2)哪個大？提示：平面無厚薄、無大小，是無限延展的，所以兩個平面之間無法比較大?。?．我們常用平行四邊形表示平面，所以平行四邊形就是一個平面，這句話對嗎？提示：不對，我們通常用平行四邊形表示平面，但平面是無限延展的，所以平行四邊形不是一個平面．知識點二eq\o(\s\up7(點、直線、平面之間位置關(guān)系的),\s\do5(三種語言表示))[填一填][答一答]4．如圖，點A∈平面ABC；點A?平面BCD；BD?平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝BC.知識點三平面的基本性質(zhì)[填一填][答一答]5．如果線段AB在平面α內(nèi)，那么直線AB在平面α內(nèi)嗎？為什么？提示：直線AB在平面α內(nèi)，因為線段AB在平面α內(nèi)，所以線段AB上的所有點都在平面α內(nèi)，故線段AB上A，B兩點一定在平面α內(nèi)，由公理1可知直線AB在平面α內(nèi)．6．經(jīng)過三點有多少個平面？提示：當三點不共線時，由公理2可知，經(jīng)過這三點有且只有一個平面．而當三點共線時，經(jīng)過這三點有無數(shù)個平面．7．若兩個平面相交，則有幾條交線？若點P是這兩個平面的公共點，那么點P在哪里？提示：兩個平面相交只有一條交線，點P在交線上．類型一平面的概念、畫法及表示[例1](1)給出下列命題：①書桌面是平面；②8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；③有一個平面的長是50m，寬為20m；④平面是絕對平的、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學概念．其中正確命題的個數(shù)為________．(2)下圖中的兩個相交平面，其中畫法正確的是__________________________________________．[分析]根據(jù)平面的特征及表示來判斷．[解析](1)由平面的概念知，平面是平滑、無厚度、可無限延展的，可以判斷命題④正確，其余的命題都不符合平面的概念，所以命題①②③都不正確．(2)對于①，圖中沒有畫出平面α與平面β的交線，另外圖中的實線、虛線也沒有按照畫法原則去畫，因此①的畫法不正確．同樣的道理，也可知②③圖形的畫法不正確，④中圖形畫法正確．[答案](1)1(2)④(1)平面是無限延展的，不能度量其面積；平面沒有厚薄之分，不能度量其體積；平面可以用任意平面圖形來表示．(2)在平面幾何中，凡是所引的輔助線都要畫成虛線，但在立體幾何中，能看見的線要畫成實線，看不見的線要畫成虛線．[變式訓練1]下列對平面的描述語句：①平靜的太平洋面就是一個平面；②平面ABCD的面積為100cm2；③三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面；④平面可以看成空間中點的集合，它當然是一個無限集．其中正確的是③④.解析：序號正誤原因分析①×太平洋面只是給我們以平面的形象，而平面是抽象的，且無限延展的②×平面不能度量大?、邸倘切巍A、平行四邊形都是平面圖形，可以用來表示平面④√平面是空間中點的集合，是無限集類型二eq\o(\s\up7(用符號語言表示點、直線、平面),\s\do5(之間的關(guān)系))[例2](1)用文字語言表述語句“l(fā)?α，m∩α＝A，A?l”表示的點、線、面的位置關(guān)系，并畫出圖形；(2)用符號語言表示下圖所表示的點、線、面的位置關(guān)系．[解](1)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上，圖形如圖所示．(2)題圖表示的點、線、面的位置關(guān)系可用符號語言表示為α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，m∥l.1用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.2要注意符號語言的意義.如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.[變式訓練2]把下列符號敘述所對應的圖形的序號填在題后的橫線上：(1)A?α，a?α：③.(2)α∩β＝a，P?α，且P?β：④.(3)a?α，a∩α＝A：①.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：②.類型三公理的應用命題視角1：共面問題[例3]過直線l外一點P引兩條直線PA，PB和直線l分別相交于A，B兩點，求證：三條直線PA，PB，l共面．[分析]根據(jù)條件點P，A，B確定一個平面，再證直線l，PA，PB在這個平面內(nèi)．[證明]如圖，∵點P，A，B不共線，∴點P，A，B確定一個平面α.∴P∈α，A∈α，B∈α.∴PA?α，PB?α.又A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∴PA，PB，l共面．證明點、線共面的兩種方法方法一：先由確定平面的條件確定一個平面，然后再證明其他的點、線在該平面內(nèi)．方法二：先由有關(guān)點、線確定一個平面α，再由其余元素確定一個平面β，然后根據(jù)有關(guān)定理，證明這兩個平面重合．[變式訓練3]如圖，已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面．證明：∵a∥b，∴a和b確定一個平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.故l?α.又a∥c，∴a和c確定一個平面β.同理l?β.即l和a既在α內(nèi)又在β內(nèi)，且l與a相交，故α，β重合，即直線a，b，c，l共面．命題視角2：共線與共點問題[例4]如右圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且直線EH與直線FG交于點O.求證：B，D，O三點共線．[分析]解答本題只要證明點O在平面ABD與平面CBD的交線BD上即可．[證明]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈(平面ABD∩平面BCD)，∴O∈BD，即B，D，O三點共線．1證明三點共線的常用方法：,方法一：首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點.根據(jù)公理3知，這些點都在交線上.,方法二：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在其上.2證明三線共點的思路是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過這點，把問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上的問題.[變式訓練4]在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFC＝DHHA＝23，求證：EF，GH，BD交于一點．證明：如圖，因為E，G分別為BC，AB的中點，所以GE∥AC.又因為DFFC＝DHHA＝23，所以FH∥AC，從而FH∥GE，故E，F(xiàn)，H，G四點共面．所以四邊形EFHG是一個梯形，GH和EF交于一點O.因為O在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)，所以O在這兩平面的交線上，而這兩個平面的交線是BD，且交線只有這一條，所以點O在直線BD上．這就證明了GH和EF的交點也在BD上，所以EF，GH，BD交于一點.1．下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是(D)解析：畫兩個相交平面時，被遮住的部分用虛線表示．2．若點Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關(guān)系可記作(B)A．Q∈b∈βB．Q∈b?βC．Q?b?βD．Q?b∈β解析：∵點Q(元素)在直線b(集合)上，∴Q∈b.又∵直線b(集合)在平面β(集合)內(nèi)，∴b?β，∴Q∈b?β.3．設平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝C.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.4．(1)空間任意4點，沒有任何3點共線，它們最多可以確定4個平面．(2)空間5點，其中有4點共面，它們沒有任何3點共線，這5個點最多可以確定7個平面．解析：(1)可以想象三棱錐的4個頂點，它們總共確定4個平面．(2)可以想象四棱錐的5個頂點，它們總共確定7個平面．5．如圖，已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經(jīng)過D，E兩點．(1)作直線AB與平面α的交點P；(2)求證：D，E，P三點共線．解：(1)延長AB交平面α于點P，如圖所示．(2)證明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α與平面ABC的交線DE上，即P∈DE，∴D，E，P