無(wú)窮小無(wú)窮大

由于等同于因分析”.相同的.所以有人把“數(shù)學(xué)分析”也稱為“無(wú)窮小此函數(shù)極限的性質(zhì)與無(wú)窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是§2.３無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

極限為0的變量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。一、無(wú)窮小量

注無(wú)窮小量是一個(gè)變量，不要與很小的數(shù)混淆。顯然，無(wú)窮小量是有界量.而有界量不一定是無(wú)窮例如:小量.二、無(wú)窮小的性質(zhì)

有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和還是無(wú)窮小。無(wú)窮小與有界變量的積是無(wú)窮小。常數(shù)與無(wú)窮小之積是無(wú)窮小。有限個(gè)無(wú)窮小的積還是無(wú)窮小。性質(zhì)1：性質(zhì)2：推論：性質(zhì)3：利用性質(zhì)3可以求某些變量的極限無(wú)窮小除以極限不為零的變量，其商仍是無(wú)窮小。性質(zhì)4：解：例：

下面的運(yùn)算：在附近發(fā)生無(wú)限密集的振動(dòng)，其振幅被兩條直線所限制.-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1思考：

lim

y=A的充分必要條件是變量y

可以表示成A與一個(gè)無(wú)窮小之和。*證：無(wú)窮小與變量極限的關(guān)系必要性

若lim

y=A，則

>0，總有那么一個(gè)時(shí)刻，在那時(shí)刻之后，恒有|y-A|<

成立。記y-A=a，

則a是一個(gè)無(wú)窮小，即：y=A+a

y可以表示成

A與一個(gè)無(wú)窮小之和。充分性

若y=A+a，其中a是一個(gè)無(wú)窮小。則

>0，總有那么一個(gè)時(shí)刻，在那時(shí)刻之后，恒有|a|<

成立。而a=y–A，于是|y-A|<

成立，所以，lim

y=A。三、無(wú)窮小的比較

雖然無(wú)窮小都是以零為極限的變量，但不同的無(wú)窮小趨于零的速度不一定相同。三、無(wú)窮小的比較

雖然無(wú)窮小都是以零為極限的變量，但不同的無(wú)窮小趨于零的速度不一定相同。為了刻畫這種快慢程度，引入無(wú)窮小階的概念。定義：例1：

例2：

練習(xí)：與均為時(shí)的無(wú)窮小量,卻不能按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較.這是因?yàn)槭且粋€(gè)無(wú)界量，并且注：不是任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可作階的比較.例如四、無(wú)窮大

例：

注注無(wú)窮大量是一個(gè)變量，不要與很大的數(shù)混淆。

一個(gè)無(wú)窮大量，其絕對(duì)值在其變化過(guò)程中可以任意大。因此，無(wú)窮大可有如下定義：

若

正數(shù)M（無(wú)論多么大），變量y

在某變化過(guò)程中，總有那么一個(gè)時(shí)刻，在那時(shí)刻之后，恒有|y|>M

成立，則稱變量y

在該變化過(guò)程中為無(wú)窮大。練習(xí):作業(yè)習(xí)題二(P73)5.6.（3）（4）7.（3）（4）復(fù)習(xí)一.無(wú)窮小量有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和還是無(wú)窮小。無(wú)窮小與有界變量的積是無(wú)窮小。常數(shù)與無(wú)窮小之積是無(wú)窮小。有限個(gè)無(wú)窮小的積還是無(wú)窮小。性質(zhì)1：性質(zhì)2：推論：性質(zhì)3：

極限為0的變量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。C=1為等價(jià)無(wú)窮小.無(wú)窮小量的比較二、無(wú)窮大

在自變量的某一變化趨勢(shì)下,若函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限的增大,則稱f(x)為無(wú)窮大量.一、極限的性質(zhì)

§2.5極限的運(yùn)算法則

性質(zhì)1(惟一性)

若

存在，則極限是惟一的.性質(zhì)2(局部有界性)

若

存在，則函數(shù)f(x)在

x0的某空心鄰域內(nèi)有界.

性質(zhì)3(局部保號(hào)性)

若,且A>0(或A<0)，則在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有f(x)>0(或f(x)<0).

性質(zhì)4若,且在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有

f(x)≥0(或f(x)≤0),則A≥0(或A≤0).

性質(zhì)5

若,且在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有f(x)≥g(x)則A≥B.法則1：

說(shuō)明：下面的法則對(duì)x

x0

及x

時(shí)都成立。二.

極限的運(yùn)算法則

若limf(x)=A，limg(x)

=B，則

lim(f(x)

g(x))存在，且有

lim(f(x)

g(x))

=limf(x)

limg(x)=A

B。推論：若有限個(gè)變量的極限均存在，則它們代數(shù)和的極限等于各個(gè)變量極限的代數(shù)和。

法則2：若limf(x)=A，limg(x)=B，則lim(f(x)g(x))存在，且有l(wèi)im(f(x)g(x))

=limf(x)?

limg(x)=A?

B。推論1：若有限個(gè)變量的極限均存在，則它們的乘積的極限等于各個(gè)變量極限的乘積。

推論2：常數(shù)因子可以提到極限號(hào)外，即：lim

cy=clim

y

（c

為常數(shù)）。推論3：如果

n

為正整數(shù)，且limy存在,則：法則3：若lim

f(x)=A，limg(x)

=B0，則存在，如果

n

為正整數(shù)，且limy存在,則：解：例1：一般，設(shè)有多項(xiàng)式函數(shù)當(dāng)x

x0

時(shí)，多項(xiàng)式函數(shù)的極限恰為函數(shù)在x0

處的值。則解：例2：

一般，設(shè)有理分式函數(shù)為，其中P(x)、Q(x)都是多項(xiàng)式，如果(注：對(duì)于有理分式函數(shù)，首先要驗(yàn)證分母極限是否為零。)例3：

注

對(duì)有理分式函數(shù)的極限，若分母極限為零，而分子極限不為零，則可直接斷定該極限為無(wú)窮大。解：例4：

解：先把分子分母同除以x2，然后再求極限。

例5：

解：先把分子分母同除以x3，然后再求極限。<例6：

解：先把分子分母同除以x3，然后再求極限。<ai

(i=0,1,2,…,s)bj

(j=0,1,2,…,t)常數(shù)，s,t

為非負(fù)整數(shù)。其中：結(jié)論：例7：

解：型對(duì)，分解因式，分子、分母約去無(wú)窮小因子，再求極限。例8：

解：例9：

解：項(xiàng)數(shù)無(wú)限，需先整理。例10：

解：例11：

解：由此可得k=-3。準(zhǔn)則1：§2.5極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

一、極限存在準(zhǔn)則

兩邊夾準(zhǔn)則

若在某變化過(guò)程中，三個(gè)變量x、y、z總有關(guān)系y

x

z，且

lim

y=lim

z=A，則

lim

x=A。例.證明證:利用兩邊夾定理.且由練習(xí)：解:利用兩邊夾定理.且由定義：設(shè)有數(shù)列準(zhǔn)則2：?jiǎn)握{(diào)、有界數(shù)列必有極限。作業(yè)：習(xí)題二

P688(4)(6);9(1)(5);10。13(3)(7)(9)(13)。二、兩個(gè)重要極限

解：例1：

解：例2：

解：例3：解：例4：例5：

解：例6：

解：幾個(gè)練習(xí)解:1.左極限存在,右極限存在,不存在.這是重要極限2常用的另一種形式.注意:例7：

解：例8：解：例9：

解：例10：

解：例11：

解：

設(shè)有本金A0，年利率為

r，則該資金到第一年度末的本利和為：A1=A0(1+r)。例12：連續(xù)復(fù)利的計(jì)算

以A1為第二年度的本金，則到第二年度末的本利和為：A2=A1(1+r)=A0(1+r)2。

依次繼續(xù)下去，至第

t年度末的本利和為：

At

=A0(1+r)t。

如果將一年分為n期計(jì)息，則每期利率為r/n，第一

年末的本利和為(復(fù)利n次)：An

=A0(1+r/n)n。

若期數(shù)無(wú)限增大，即令n

，則t年后本利和為：說(shuō)明：(1)這種將利息記入本金重復(fù)計(jì)算復(fù)利的方法稱為連續(xù)復(fù)利。(2)其他實(shí)際問(wèn)題例如人口增長(zhǎng)、林木增長(zhǎng)、細(xì)菌繁殖、放射元素衰變等也類似于該模型。

依次類推,t年后的本利和為(復(fù)利nt次)：

An(t)

=A0(1+r/n)nt。練習(xí):計(jì)算極限解：關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小在求極限中的應(yīng)用，有如下定理.證定理

定理設(shè)函數(shù)f,g,h在內(nèi)有定義,且證所以例1解所以定理告訴我們，在求極限時(shí)，乘積中的因子可用等價(jià)無(wú)窮小量代替，這是一種很有用的方法.例2解只有乘積或商當(dāng)中才能用,和、差當(dāng)中不能用解練習(xí)1:解練習(xí)2:補(bǔ)充練習(xí)求下列極限①②③解:①②③④四.極限的運(yùn)算法則

若limf(x)=A,limg(x)

=B，則

lim(f(x)

g(x)),lim(f(x)g(x))存在，且有

lim(f(x)

g(x))=limf(x)

limg(x)=A

B;

lim(f(x)g(x))=limf(x)?

limg(x)=A?

B;若B≠0,則以上結(jié)論都可以推廣到有限項(xiàng).復(fù)習(xí):1.一般，設(shè)有理分式函數(shù)為，其中P(x)、Q(x)都是多項(xiàng)式，如果ai

(i=0,1,2,…,s)bj

(j=0,1,2,…,t)常數(shù)，s,t

為非負(fù)整數(shù)。其中：4.幾個(gè)等價(jià)的無(wú)窮小量準(zhǔn)則1：5.極限存在準(zhǔn)則

夾擠準(zhǔn)則

若在某變化過(guò)程中，三個(gè)變量x、y、z總有關(guān)系y

x

z，且

lim

y=lim

z=A，則

lim

x=A。準(zhǔn)則2：?jiǎn)握{(diào)、有界數(shù)列必有極限。這是重要極限2常用的另一種形式.幾個(gè)等價(jià)的無(wú)窮小量

在很多實(shí)際問(wèn)題中，變量的變化常常是“連續(xù)”不斷的．例如，氣溫隨時(shí)間而變化著，當(dāng)時(shí)間的改變極為微小時(shí)，氣溫的改變也極為微小，這就是說(shuō)，氣溫是“連續(xù)變化”的．自然界的許多“連續(xù)變化”的現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性．這一節(jié)里，我們將運(yùn)用極限來(lái)定義函數(shù)的連續(xù)性．下面先介紹函數(shù)增量的概念．§2.6函數(shù)的連續(xù)性

一、函數(shù)的連續(xù)性

1、改變量（增量）注：改變量可正、可負(fù)、可為零