數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案

滕州一中東校高二實(shí)驗(yàn)班三科競(jìng)賽試題（數(shù)學(xué)）參考答案二選擇題（每小題5分,共60分）題號(hào)123456789101112答案BBDCABAABCDABCCDBC三、填空題(每小題5分,共20分) 13．14．15． 16．四、解答題(共70分)17．（本小題滿分10分）解：(1)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝100(當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)取等號(hào))，∴|PF1|·|PF2|的最大值為100.(2)Seq\s\do6(△F1PF2)＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(64\r(3),3)，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(256,3)， ①由題意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，,|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|cos60°，))∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. 由①②得c＝6，∴b＝8.18．（本小題滿分12分）(1)直線，，由，得，直線過(guò)定點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，直線，直線，由，得，即，，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離.點(diǎn)到的距離為，的面積.19．（本小題滿分12分）（1）等腰梯形，，，知：且，，即Rt△中∴，又面面，面，而面面∴面（2）如下圖示，構(gòu)建以C為原點(diǎn)，CB為x軸、CA為y軸、過(guò)C點(diǎn)垂直于面的直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：，，，則，，，令為面ABD的一個(gè)法向量，則，若y=1，有令為面CBD的一個(gè)法向量，則，若y=1，有∴與的夾角為，則，故根據(jù)二面角與向量夾角的關(guān)系，知：二面角的正弦值為20．（本小題滿分12分）(1)證明：以D為原點(diǎn)，分別以直線DA，DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意，可得D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，C(0,2,0)，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)．eq\o(PM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝(－eq\r(2)，2,0)，∴eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，即eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(AM,\s\up8(→))，∴AM⊥PM.(2)設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAM的法向量，則即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋y－\r(3)z＝0，,－\r(2)x＋2y＝0，))取y＝1，得n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))．取p＝(0,0,1)，顯然p為平面ABCD的一個(gè)法向量，∴cos〈n，p〉＝eq\f(n·p,|n||p|)＝eq\f(\r(3),\r(6))＝eq\f(\r(2),2).結(jié)合圖形可知，平面PAM與平面DAM的夾角為45°.(3)設(shè)點(diǎn)D到平面AMP的距離為d，由(2)可知n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))與平面PAM垂直，則d＝eq\f(|\o(DA,\s\up8(→))·n|,|n|)＝eq\f(|2\r(2)，0，0·\r(2)，1，\r(3)|,\r(\r(2)2＋12＋\r(3)2))＝eq\f(2\r(6),3)，即點(diǎn)D到平面AMP的距離為eq\f(2\r(6),3).21．（本小題滿分12分）(1)直線l的斜率,則直線l的方程為：

圓心到直線l的距離為.所以.

(2)設(shè)直線l的方程為，由,有(*)，

所以,..所以為定值0.(3)設(shè)點(diǎn)，由(2)有,所以又，即.所以.即.則有.整理得.得,得.則滿足條件所以滿足條件的直線l為：.22（本小題滿分12分）