第5講 解三角形

專題二

三角函數(shù)、解三角形第5講

解三角形考向分析備考建議回歸教材高頻考點(diǎn)突破高考回眸限時(shí)訓(xùn)練第5講

解三角形考向分析

2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷第17題考查三角函數(shù)兩角和（差）的正弦公式、正（余）弦定理、三角形面積公式和等面積法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).新高考全國(guó)Ⅱ卷第17題考查了利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式解三角形.全國(guó)甲卷（理）第16題考查了利用正弦定理、余弦定理邊角互化，利用余弦定理解三角形.全國(guó)乙卷（理）第18題考查利用正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角形面積公式．第5講

解三角形備考建議

解三角形內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，命題靈活，在解答題與選擇填空題位置均有出現(xiàn)，常規(guī)命題是主流，也有與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)命題（如利用三角形求解與測(cè)量、航海有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題）的情況，特別是選擇填空題位置需要注意.強(qiáng)化正弦、余弦定理與三角形面積公式的靈活應(yīng)用，適當(dāng)加強(qiáng)平面向量在解三角形中的應(yīng)用，適當(dāng)加強(qiáng)正弦、余弦定理在多邊形或多個(gè)三角形中方法應(yīng)用的技能，適當(dāng)加強(qiáng)三角恒等變換、函數(shù)、不等式與解三角形的綜合問(wèn)題中方法應(yīng)用的技能，適當(dāng)加強(qiáng)應(yīng)用正弦、余弦定理解決相關(guān)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的方法應(yīng)用的技能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).第5講

解三角形回歸教材

C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理、三角形面積公式、平方差公式的應(yīng)用，計(jì)算量較大，屬于中檔題．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理以及向量的夾角公式，考查計(jì)算能力，是中檔題．第5講

解三角形高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一

三角形中的邊角關(guān)系

【分析】直接利用正弦定理和大邊對(duì)大角判斷A的結(jié)論，利用正弦定理和三角函數(shù)的值判斷B的結(jié)論，利用余弦定理和三角形的面積公式及基本不等式的應(yīng)用判斷C的結(jié)論，利用向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用判斷D的結(jié)論．

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A，根據(jù)線段成比例，設(shè)未知數(shù)建立方程，表示出各邊長(zhǎng)，結(jié)合正弦定理，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)A得到的邊長(zhǎng)表示，明確三角形的最大和最小內(nèi)角，利用余弦定理計(jì)算出內(nèi)角的余弦值，結(jié)合二倍角公式，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)B可知，三角形最大內(nèi)角的余弦值，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)A得到的邊長(zhǎng)之比，可求出邊長(zhǎng)，根據(jù)B得到的內(nèi)角的正弦值，結(jié)合三角形的面積公式，可得答案．

【答案】B

【答案】A［小結(jié)］

運(yùn)用正弦定理、余弦定理解三角形時(shí)，要講究公式的準(zhǔn)確恰當(dāng)運(yùn)用，同時(shí)由正弦定理求角時(shí)，一定要利用大邊對(duì)大角確認(rèn)是一解還是兩解．1.解三角形常見類型及解法在三角形的六個(gè)元素中要知三個(gè)（除三角外）才能求解，常見類型及其解法見下表：已知條件應(yīng)用定理一般解決正弦定理已知條件應(yīng)用定理一般解決余弦定理余弦定理續(xù)表已知條件應(yīng)用定理一般解決正弦定理續(xù)表2.確定三角形形狀的主要途徑及方法主要途徑：（1）化邊為角；（2）化角為邊.主要方法：（1）通過(guò)正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；（2）通過(guò)余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；（3）通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；（4）通過(guò)三角函數(shù)值的符號(hào)以及正、余弦函數(shù)有界性判斷三角形形狀.考點(diǎn)二

三角形中的三角函數(shù)

A.直角三角形

B.鈍角三角形C.直角或鈍角三角形

D.銳角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理，將題干條件消去邊，轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的等式，即可得到答案；

考點(diǎn)三

解三角形的綜合問(wèn)題

【分析】根據(jù)面積公式以及正弦定理的邊角互化可判斷A，根據(jù)兩角和與差的余弦公式即可判斷B，根據(jù)正弦定理可判斷C，根據(jù)弦切互化可判斷D.

【答案】AB

【分析】根據(jù)正弦定理，利用邊角互換的做題思想，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，可得答案．

考點(diǎn)四

解三角形的實(shí)際應(yīng)用

（1）觀光步道的總長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（1）觀光步道的總長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

第5講

解三角形高考回眸

【分析】根據(jù)角的關(guān)系及兩角和與差的正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解.

【命題立意】本題考查三角函數(shù)兩角和（差）正弦公式、正弦定理、三角形面積公式和等面積法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．

【命題立意】本題考查解三角形中正弦定理和余弦定理以及面積公式的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

【命題立意】本題在立體幾何背景下，考查余弦定理及面積公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【答案】C

2

【命題立意】本題考查正弦定理、余弦定理及面積公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

【命題立意】本題考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).第5講

解三角形限時(shí)訓(xùn)練A組

基礎(chǔ)演練

BA.等邊三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.無(wú)法確定

C

C

【分析】由兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷A，由正弦定理化邊為角結(jié)合正弦的二倍角公式判斷B，由正弦定理化邊為角，逆用兩角和的正弦公式判斷C，根據(jù)正弦定理判斷D.

【答案】ACD

【答案】ACD

【答案】ABD