2022-2023學(xué)年遼寧省本溪重點(diǎn)中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年遼寧省本溪重點(diǎn)中學(xué)高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知等比數(shù)列｛%l｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比q，且。3。4=*，則。6=()

??RC—D—

8163264

2.設(shè)集合4=｛x∣%2—2x-3>0｝,B=｛x∣3'>9｝,則(CUA)∏B=()

A.[-1,2)B.(―∞,2)U(3,+∞)

C.[-1,3]D.(2,3]

3.某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的位移s(m)與時(shí)間t(min)的關(guān)系是s(t)=t2+t,則質(zhì)點(diǎn)在t=2m譏時(shí)

的瞬時(shí)速度為()

A.2m∕minB.4m∕minC.5m∕minD.6m∕min

4.若二項(xiàng)式(2-乃Jl的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則含項(xiàng)的系數(shù)是()

A.80B.-80C.40D.-40

5.2023年1月31日，據(jù)“合肥發(fā)布”公眾號(hào)報(bào)道，我國(guó)最新量子計(jì)算機(jī)“悟空”即將面世，

預(yù)計(jì)到2025年量子計(jì)算機(jī)可以操控的超導(dǎo)量子比特達(dá)到1024個(gè),已知1個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2

種疊加態(tài)，2個(gè)超導(dǎo)量子比特共有4種疊加態(tài)，3個(gè)超導(dǎo)量子比特共有8種疊加態(tài)，…，每增加1

個(gè)超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加一倍.若N=CZXlOkq≤α<10,k￡N),則稱N為

k+1位數(shù)，已知1024個(gè)超導(dǎo)量子比特的疊加態(tài)的種數(shù)是一個(gè)Zn位的數(shù)，則m=(參考數(shù)據(jù)：

lg2≈0.301)()

A.308B.309C.1023D.1024

6.己知等比數(shù)列｛αjl｝的前n項(xiàng)和為右,且即>0,若56=8,S18=38,則S24=()

A.27B.45C.65D.73

7.設(shè)等差數(shù)列｛αn｝滿足的=4,a5=12,且瓦=設(shè)bn+1—bn=an(n∈∕V*),則瓦Oo=()

A.10100B.10000C.9900D.9801

8.已知α>0,直線k：%+αy=2α+4與y軸的交點(diǎn)為A,l2:2%+αy=2α+8與無(wú)軸的交

點(diǎn)為B,k與6的交點(diǎn)為C?當(dāng)四邊形。AeB的面積取最小值時(shí)，點(diǎn)B到直線"的距離是()

A?B.學(xué)C.y∕~2D.2ΛT2

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是()

xzx,z

A.(2)=2log2eB.(Cy=EC.(sml)=coslD.(log3x)=?

乙X?Cfv?

10.己知數(shù)列｛<?｝的前n項(xiàng)和為Sn，%=3,αn+ι=1-?,則()

an

A.g=§B?ɑ?=2C.。2023=3D.S37=41

?on

11.已知數(shù)列｛c?｝的前n項(xiàng)和Sn滿足Srι=5αn-n,n∈N*,且垢=二一,n∈Λ∕*,數(shù)列｛勾｝

乙αn'an+l

的前Ti項(xiàng)和為〃，則()

A.數(shù)列Sn+1｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛αn-1｝是等比數(shù)列

C?Sn=y-∏+ID.<?

12.已知公差不為0的等差數(shù)列｛αrι｝的前幾項(xiàng)和為%,且％,α4)的3成等比數(shù)列，56=48,

n-1

記bn=(-l)α?,cn=[lgan],其中[x]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，如口。9]=0,Rg99]=1,

則()

A.an=2n-1

2

B.當(dāng)n=2fc(fc∈N*)時(shí)，b1+b2++bn=-2n—4n

2

C.當(dāng)n=2k—l(∕c∈N*)時(shí)，b1+b2++bn=2n+4n+3

-

D.R+C2+‘3^∣--------1C2023=5517

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.記函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(X),且函數(shù)/(x)=f'G)si∏x+cosx,貝"嗎)=.

14.在公差不為0的等差數(shù)列｛an｝中，Sn為其前n項(xiàng)和，若S30=5(c?+3%0+2縱)，則正整

數(shù)k=___.

15.若曲線y=αe"與曲線y=C在公共點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)ɑ=—.

16.某集團(tuán)第一年年初給下屬企業(yè)甲制造廠投入生產(chǎn)資金4000萬(wàn)元，到年底資金增長(zhǎng)了40%,

以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年相同.集團(tuán)要求甲制造廠從投入生產(chǎn)資金開(kāi)始，每年年底上繳

資金800萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)?設(shè)第n年年底甲制造廠上繳資金后的剩余資

金為生t萬(wàn)元，若alc≥16000,則正整數(shù)k的最小值為—.(取匈7≈0.845,IgS≈0.699)

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛斯｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Ma5=256,a3+a4=20a2.

(1)求數(shù)列｛α,J的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足bn=αn+log2αn,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和7；.

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=X3+ax2—6x+l(a∈R),且/'(1)=—6.

(1)求函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間.

19.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛αrt｝中，%=3,c?+ι=2αn-2(n∈N*),

(1)求證：｛an-2｝是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛%｝滿足垢=(2n+l)(an-2),求數(shù)列｛bn｝的前律項(xiàng)和〃.

20.(本小題12.0分)

港帝內(nèi)經(jīng)》中十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要(子時(shí)是指23點(diǎn)到次日凌晨

1點(diǎn)).相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時(shí)間越晚，深睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低.已知凌晨L點(diǎn)后入睡

的人群為晚睡人群.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)IOOO名晚睡人群進(jìn)行了調(diào)查，將得到的睡眠指數(shù)按[0,20),

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組,繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定：睡眠指

數(shù)不低于60為及格.

(1)將頻率視為概率，從這IoOo名晚睡人群中隨機(jī)抽取2人，求這2人中只有1人的睡眠指數(shù)及

格的概率；

(2)此調(diào)研機(jī)構(gòu)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這IOOO名晚睡人群中抽取10名，再?gòu)某槿?/p>

的10名晚睡人群中隨機(jī)抽取3名，用X表示這3人中睡眠指數(shù)及格的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)

期望.

21.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,arι>0,a1=3,ajl+1=4Sn+4n+9(n∈N*),數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)

積為〃，且7；=2產(chǎn)(neN)

(1)求{απ},{g}的通項(xiàng)公式；

(2)若不等式αnbn(5-2m)>(αn-37對(duì)于任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知橢圓C：務(wù)'=l(α>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為hB，點(diǎn)4(0,。)，直線AFI的傾

斜角為全原點(diǎn)。到直線的距離是Tα.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線/與橢圓C相切，切點(diǎn)M在第二象限，過(guò)點(diǎn)。作直線/的垂線，交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)

(點(diǎn)P在第二象限)，直線MQ交支軸于點(diǎn)N,若SANOQ=KSAMPQ，求直線/的方程.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由。3。4=擊，得αH?α]=圭,

即居,@)S=*，所以講=1.

又an>0,

55

所以o?=1,a6-a1q=IX(?)—?.

故選：C.

由已知可求得*0)5=全，即可解得％=ι,然后即可求出答案.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：解%2-2x—3>0可得，X<-1或X>3,所以4=(-8,-1)u(3,+8),

所以CUA=[-1,3],

解3丫>9=32可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，x>2,所以B=(2,+8),

所以，(CuA)∩B=(2,3].

故選：D.

解不等式可得出4B,然后根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求出Q4進(jìn)而根據(jù)交集的運(yùn)算，即可得出答案.

本題主要考查了集合交集及補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解:因?yàn)閟(t)=t2+t,

所以s'(t)=2t+l,

故質(zhì)點(diǎn)在t--2τnin時(shí)的瞬時(shí)速度為5m∕s.

故選：C.

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把t=2代入即可求解.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由題知2n=32,解得n=5,則為(2-x)5,

通項(xiàng)公式為4+1=G.25-r?(-x)r,

所以(2-x)5二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含/項(xiàng)的系數(shù)為量X23X(—1)2=-80.

故選：A.

根據(jù)題意，可得n=5,然后結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)果.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，得n個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2"種疊加態(tài)，

所以當(dāng)有1024個(gè)超導(dǎo)量子比特時(shí)共有N=21。24種疊加態(tài)，

兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得SN=?21024=1024?2≈1024X0.301=308.224,

388224

所以N≈IO-=10°?224χ1()308,

由于1<IO0-224<10,

故N是一個(gè)309位的數(shù)，即Tn=309.

故選：B.

由已知可推得當(dāng)有1024個(gè)超導(dǎo)量子比特時(shí)共有N=21024種疊加態(tài).兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù),

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得應(yīng)N=IO24仞2,根據(jù)已知數(shù)據(jù)，即可得出答案.

本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛αn｝中，S6=8,則S6、S12-S6?S18-S12、S24??Si8成等比

數(shù)列，

2

則有S6(Si8-Si2)=‰-56)>即8(38-S12)=(SM-8)2,解可得22=20或-12(舍),

22

又由有(Si2-S6)(S24-Si8)=(S18-S12),BP12(S24-38)=(38-20),解可得S24=65.

故選：C.

根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S6、S12-S6,S18-S12,S24-S18成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)的

性質(zhì)先求出S12的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解:設(shè)等差數(shù)列｛αn｝的公差為d,

由α5=a1+4d可得，12=4+4d,解得d=2,

所以αn=4+2(n-1)=2n+2.

則%+1—bn=2n+2=2(n+1),

所以當(dāng)n≥2時(shí)，

有brι=(bn—brι-D+(bn-ι—dn-2)+…+(?2—瓦)+瓦=2n+2(n—l)+???+2×2÷2×l=

n(2n+2).

i=n(n+λ1),

當(dāng)71=1時(shí)，b1=2,滿足上式，所以bzι=∏(n+l)(neN*),

所以瓦ο。=10100.

故選：A.

由已知可求出等差數(shù)列｛α7ι｝的公差d=2,進(jìn)而得出αrι=2n+2,bn+1-bn=2(n+1),累加法

求解可得?l=n(n+l),即可得出答案.

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及累加法的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：如圖,

直線，1：X—4=~a(y—2)rJ：2(x-4)=~a(y—2)都過(guò)點(diǎn)(4,2),

即點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,2).

在x+αy=2α+"3令X=0,得y=2+%所以力(0,2+》，

同理可得B(4+a,0),

所以S四邊形。wee=SAoAC+SAoCB=j(2+^)?4+∣?(4+α)?2=8+(α+2)>8+2=

8+4√^2.

當(dāng)且僅當(dāng)a=，即α=2√一2時(shí)等號(hào)成立.

所以當(dāng)a=2√■工時(shí)，四邊形OACB的面積取最小值.

此時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4+2Λ∏,0),直線11的方程是*+271丫一4-4/2=0，

點(diǎn)8到直線》的距離是∣4+2~+74-40|=亨.

故選:B.

求出直線所過(guò)定點(diǎn)為(4,2)得C點(diǎn)坐標(biāo)，再求出4B點(diǎn)坐標(biāo)，得到四邊形面積，利用均值不等式求

最小值，得到ɑ,再由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：(2X)'=2X)2,故A錯(cuò)誤；

(C=》T=嘉=冬,故B正確；

(Sinl)'=0,故C錯(cuò)誤；

(Iog3為'=焉，故。正確?

故選：AC.

直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則逐一求解四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

19

【解析】解：對(duì)于4項(xiàng)，因?yàn)榈?3,所以。2=1-瓦=§，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椤?=|,所以。3=1-2=一/故8項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?=一；，

11211

β

所以。4=1一行=3=%,α5=l--=3=α2.6=l--=-2=?.

觀察可知，所以數(shù)列｛即｝是周期數(shù)列，周期是3,

則。2023=03X674+1=Ql=3,故C項(xiàng)正確;

2?

aaa

乂寸］,。項(xiàng)，S37=(QI+。2+ɑ?)+(。4+ɑ5+。6)÷…+(34÷35+@36)+37=(3+§一,)X

12+3=41,故。項(xiàng)正確.

故選：ACD.

依次求出數(shù)列｛%l｝的前幾項(xiàng)，觀察可知數(shù)列｛%l｝是周期數(shù)列，周期是3.根據(jù)數(shù)列的周期性，即可求

出答案.

本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解：TS71=|即一

?3

:?S]—Q]=~ɑ?—1d,

解得，a1=2,

3

απ1

又TSfl+1=2n+l^(+),

33

,a

??∏+ι=Srι+ι—Sn=-ɑn+1--an—If

即T%ι+1=Ian+1'

即即+1+1=3(αn+1),

而%+1=3,

故數(shù)列｛ari+1｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

故選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)B不符合題意；

n1n

故αzι+1=3?3^-3,

故a“=3n—1,

n

故Sn=∣αn-π=∣(3-l)-n.

故選項(xiàng)C不符合題意；

3nll1

言=-產(chǎn)),

πg(shù)ξt

F=用一3+；《_—+3心_給+…???+1??-p∏?

-?r?-l?l-???-?-k...?-L--1A

^28ψ826+2680十……十3"—13n+1-Γ

253n+1-ij4,

故選項(xiàng)。符合題意.

故選：AD.

由S71=∣α九一九可得Si=%=|%-1,Sn+1=∣αn+ι-(n+1)?從而化簡(jiǎn)可得Ql=2,an+1=

Sn+I-Sn=Ian+1—|即—1，即c?+ι+1=3(αjl+1)，從而可判斷數(shù)列｛an+1｝是以3為首項(xiàng)，3

為公比的等比數(shù)列，從而判斷選項(xiàng)A,B；利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)得與=3n-l,從而求Sn,

即可判斷選項(xiàng)G化簡(jiǎn)%=；(UT利用裂項(xiàng)求和法求〃，即可判斷選項(xiàng)D

a∏'an+lz?—13—1

本題考查了構(gòu)造法與裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛αn｝的公差為d(d≠O),

由Q4，。13成等比數(shù)列，$6=48,

得。1(。1+12d)=(Ql+3d),,6%4——d=48,

解得Ql=3,d=2,

所以Jn=2zι+l,故A錯(cuò)誤；

n122

bn=(―l)^(2π+1)2,當(dāng)九=2fc(fc∈N*)時(shí)，bn^1+bn=(2n—I)—(2n+I)=Snf

所以瓦+無(wú)+…+bn=(b]+&2)+(壇+b4)+…+(?n-1+%)=—16—32—…-Sn=

-2n2—4n,故3正確；

22

當(dāng)n=2k-?(k∈N*)時(shí)，bn.1+bn=-(2n-I)+(2n+I)=8n,

所以瓦+b?+…+bn=瓦+(J)2+e?)+(力4+壇)+…+(Pn-ι+en)=9+24+40+…+Bn=

2n2+4n+3,故C正確；

cn=[lgan]=[lg(2n+1)],當(dāng)九∈[1,4]且n∈N*時(shí),cn=0；

當(dāng)九∈[5,49]且九∈N*時(shí)，c7l=1；

當(dāng)九∈[50,499]且九6%*時(shí)，％=2；

當(dāng)n∈[500,2023]時(shí),cn=3.

所以J+C2+。3+…+Qθ23=4X0+45×14~450X2+1524X3=5517,故D正:確.

故選：BCD.

對(duì)4由的，Q4,。13成等比數(shù)列及S6=48,求得｛07l｝的通項(xiàng)公式；對(duì)8C：討論九的奇偶性可并項(xiàng)

求和；對(duì)D：對(duì)九分段討論求小再求和.

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】—

,

【解析】解：因?yàn)?(%)=fφsinx+cosxf

,

則f'(%)=∕φcθsx-sinxf

所以,③=fφ∞s∣-sin≡=∣fφ-浮，

解得[G)=--Z

故答案為：-g

利用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，求出尸(X),然后將X=副弋入，即可求得答案.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握求導(dǎo)公式，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】29

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛a7l｝的公差為d(d≠0),

vS30=5(∏5+?ɑ?ɑ+2a〃)，

：.30α+3。；2,d=5[α+4d+3(a+9d)+2a+2(Ji—l)d],B∏6a+87d=6a+(23+

111111

29)d,解得k=29.

故答案為：29.

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解.

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】愛(ài)

xxf

【解析】解：令f(%)=aefg(x)=√"x,則/'(%)=ae,g(x)=

設(shè)/(χ)與g(χ)的公共點(diǎn)為(XO,y°),：F(X)與g(%)在公動(dòng)點(diǎn)處有相同的切線，

x1

,ae0=

.(∕(?)=g'Qo)Hu2∕^o,

"lfM=g(χo),

aex°=

Λ2√?=∕^J解得：&=:

ae^=?,解得：a==

22√e2e

故答案為：孕

2e

令f(x)=aex,g(x)=C，公共點(diǎn)為(XO,y°),結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義可構(gòu)造方程組修產(chǎn)?二

Vl?J=9?χo)

由此可解得與，進(jìn)而求得ɑ的值.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】6

【解析】解：第一年年底剩余資金%=(X4000-800=4800,

第二年年底剩余資金Ol=(XaI-800...

第ri年年底剩余資金αrι=?c?τ-800,n≥2,

所以(即一2000)=[(αrι-ι-2000),n≥2,

所以｛arl-2000｝是以2800為首項(xiàng)，以看為公比的等比數(shù)列,

n1n1

an-2000=2800X(∣)-,BPan=2800X(∣)-+2000,

令Ctk=2800X(∣)k^1+2000≥16000,

解得《PT≥5,

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：(k—l)lg(≥仞5,

Rj、IgS0.699LC

即n人≥潑誕+lλ1"0.845-0.6991+λ1~58

又k∈N*,則正整數(shù)％的最小值為6.

故答案為：6.

由已知?dú)w納出第n年年底剩余資金，由構(gòu)造法以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an,根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算

解不等式，得出正整數(shù)k的最小值.

本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q>0),

3

由的+。4=20a2f得。1勺2+a1q=20a1q,

即q2÷q-20=0,解得q=4或q=一5(舍去)，

4

又。5=256,a1q=256,解得Ql=1,

所以Qrl=%q"T=4"T;

n-1n1n-1

(2)hn=αn+lognan=4+log24^=4+2n—2,

n1

所以T71=(1+0)+(4+2)+……+(4^+2n-2

=(1+4+16+……+4n-1)+(0+2+4+……+2n-2)

_l×(l-4"),n(0+2n-2)-4n1

2n

-1-4+-2--T+n~3

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛&l｝的公比為q(q>O),由已知可得q?+q-20=0,可求公比，進(jìn)而可

得首項(xiàng)，進(jìn)而可求數(shù)列｛ajl｝的通項(xiàng)公式；

n1

(2)hn=4-+2π-2,利用分組求和法可求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和

本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查利用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬中檔題.

18.【答案】解：CI)由已知可得/'(X)=3/+2ax-6,

所以f'(l)=3+2a—6=—6,解得a=—1>

所以/(x)=爐-IX2-6χ+1,所以/Q)=-學(xué).

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)/?(x)的圖象在點(diǎn)(Ij(I))處的切線斜率k=f(l)=-6,

所以切線方程為y+?=—6(X—1),即12X+2y—1=0；

(2)由(1)知/(%)=X3-∣x2—6x+1,∕,(x)=3X2-3x-6,

令/'(X)=0，得X=-1或X=2,

解/'(X)>0可得，X<-1或X>2,

所以f(x)在(一8,—1)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞增；

解尸Q)<0可得,-Kx<2,所以/(x)在(一1,2)上單調(diào)遞減.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-1),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,2).

【解析】⑴由已知可得f'(X)=3χ2+2ax—6,根據(jù)已知求出a=-5，代入可得/⑴=—號(hào).根

據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得出答案；

(2)由(1)知，1(%)=3%2-3%-6.解［0)>0以及［(。<0,即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：???a71+ι=2an-2(n∈N*),

a

n+ι-2=2(an—2),

又%-2=1,則皿言=2,

1

an-2

??.數(shù)列｛%l-2｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列；

n-1n1

(2)由(1)得αjl—2=2,B∣Jhn=(2n+1)-2-.

7；=3×20+5×21+7×22+???+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n~1,27；=3X21+5X

22+7×23+???+(2n-1)×2n-1+(2n+1)×2n,

兩式相減得一弟=3×20+2(21+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n=3+》-(2n+1)×

2n=-l-(2π-l)?2n,

n

.?.Tn=l+(2n-1)?2.

【解析】(1)利用數(shù)列遞推式變形得＜?+ι-2=2(αn-2),利用等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)論；

(2)由(1)得αU)-2=2rιτ,即b回=(2n+1)?2時(shí)】，利用錯(cuò)位相減法，即可得出答案.

本題考查等比數(shù)列的定義和錯(cuò)位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

20.【答案】解：(1)睡眠指數(shù)及格的頻率是(0.01+0.005)×20=0.3,

所以任意抽取1人，其睡眠指數(shù)及格的概率為0.3,

設(shè)這2人中只有1人的睡眠指數(shù)及格為事件4則P(A)=?x0.3×(1-0.3)=0.42.

(2)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這IOOo名晚睡人群中抽取10名，

這10名晚睡人群中，睡眠指數(shù)及格的人有3人，

故X的取值可以是0,1,2,3,

3。)號(hào)舒彳P(X=I)=管=嶄/

P(X=2)=翳嬴=Q(X=3)備擊,

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123

72171

P

244040120

所以E(X)=OXS+lx2+2x京+3XI?=4?

【解析】(1)根據(jù)二項(xiàng)分布即可求解.

(2)根據(jù)超幾何分布即可求解.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望與分布列的求解，屬于中檔題.

21.【答案】解：(I)由a"1=4Sn+4τι+9(幾∈N*),得嫌=4Snγ+4九+5(九≥2),

兩式相減，得Q"I—c?=4即+4(τι≥2),

所以W+l=Sn+2)2,

又品>0,所以αn+ι=Qri+2(n≥2),

當(dāng)九=1時(shí)，靖=4%+13=25,a2=5=%+2,

所以an+ι=αn+2(n∈N*),

所以｛4l｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,

所以an=Ql+(n一l)d=2n+1,

W、CHTuπ2+n(n-l)2+(n-l)

當(dāng)n≥2時(shí)，b=-?=2~22=2n;

Tn-1

1

當(dāng)Tl=I時(shí)，h1=2=2?滿足上式.

n

所以bn=2(π∈N*).

2n2

(2)?αnhn(5-2m)>(an-3),得(2n+1)?2?(5—2m)>(2n-2),

4(n-l)2

即5—2m

(2π÷l)?2n

4(n-l)2

設(shè)/(九)=

(2π+l)?2n,

4r>24(n-l)2_-4n(2n2-3n-8)-24

則/(n+l)"(n)=E由

(2n+l)?2n-2n+1(2n+3)(2n+l)

當(dāng)n≥3時(shí),2n2-3n-8>0,所以f(n+1)—f(n)<