高考復(fù)習(xí)：集合與常用邏輯用語(yǔ)

集合與常用邏輯用語(yǔ)第一節(jié)

集合第二節(jié)

命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件第三節(jié)

簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞目錄集合與常用邏輯用語(yǔ)[知識(shí)能否憶起]一、元素與集合1．集合中元素的三個(gè)特性：

、

、

．

2．集合中元素與集合的關(guān)系：元素與集合之間的關(guān)系有

和

兩種，表示符號(hào)為

和

.確定性互異性無(wú)序性屬于不屬于∈?3．常見(jiàn)集合的符號(hào)表示：4．集合的表示法：

、

、

．集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集表示列舉法描述法韋恩圖NN*或N＋ZQR二、集合間的基本關(guān)系描述關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同子集A中任意一元素均為B中的元素

或真子集A中任意一元素均為B中的元素，且B中至少有一個(gè)元素A中沒(méi)有

或空集空集是任何集合的子集空集是任何

的真子集__________A＝BA?BB?AA

BB

A??B非空集合?

B(B≠?)三、集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}[小題能否全取]1．(2012·大綱全國(guó)卷)已知集合A＝{x|x是平行四邊形}，B

＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，則 (

)A．A?B

B．C?BC．D?C D．A?D

解析：選項(xiàng)A錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)是B?A.選項(xiàng)B對(duì)，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．選項(xiàng)C錯(cuò)，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．選項(xiàng)D錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)是D?A.答案：B2．(2012·浙江高考)設(shè)集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，則A∩(?RB)＝ (

)A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析：因?yàn)?RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(?RB)＝{x|3＜x＜4}．答案：B3．(教材習(xí)題改編)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，則A∩B＝B時(shí)a的值是 (

)A．2 B．2或3C．1或3 D．1或2解析：驗(yàn)證a＝1時(shí)B＝?滿足條件；驗(yàn)證a＝2時(shí)B＝{1}也滿足條件．答案：D4.(2012·鹽城模擬)如圖，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B

＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列舉

法寫(xiě)出圖中陰影部分表示的集合為_(kāi)_______．

解析：陰影部分表示的集合為A∩C∩(?UB)＝{2,8}．答案：

{2,8}答案：{0}1.正確理解集合的概念研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，注意弄清其元素表示的意義是什么．注意區(qū)分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解題時(shí)，若未明確說(shuō)明集合非空時(shí)，要考慮到集合為空集的可能性．例如：A?B，則需考慮A＝?和A≠?兩種可能的情況．[例1]

(1)(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為 (

)A．3 B．6C．8 D．10

(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，則(m－n)2013＝________.

[自主解答]

(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的個(gè)數(shù)為10.[答案]

(1)10

(2)－1或01．研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性，對(duì)于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性．2．對(duì)于集合相等首先要分析已知元素與另一個(gè)集合中哪一個(gè)元素相等，分幾種情況列出方程(組)進(jìn)行求解，要注意檢驗(yàn)是否滿足互異性．1．(1)(2012·北京東城區(qū)模擬)設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個(gè)數(shù)為(

)A．9 B．8C．7 D．6(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，則a＝________.解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴當(dāng)a＝0時(shí)，a＋b的值為1,2,6；當(dāng)a＝2時(shí)，a＋b的值為3,4,8；當(dāng)a＝5時(shí)，a＋b的值為6,7,11，∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8個(gè)元素．[例2]

(1)(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為 (

)A．1

B．2C．3 D．4

(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.[自主解答]

(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

(2)由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B(niǎo)＝(－∞，a)，由于A?B，如圖所示，則a>4，即c＝4.

[答案]

(1)4

(2)41．判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系．2．已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系．解決這類問(wèn)題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析．A．[－2012,2013] B．(－2012,2013)C．[－2013,2011] D．(－2013,2011)答案：(－2012,2013)[例3]

(1)(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，則集合{5,6}等于(

)A．M∪N

B．M∩NC．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)(2)設(shè)U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，則m的值是________．[自主解答]

A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判別式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，則m＝1；②若B＝{－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，這兩式不能同時(shí)成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由這兩式得m＝2.經(jīng)檢驗(yàn)知m＝1或m＝2符合條件．∴m＝1或2.[答案]

(1)D

(2)1或2將例3(1)中的條件“M＝{2,3}”改為“M∩N＝N”，試求滿足條件的集合M的個(gè)數(shù)．

解：由M∩N＝N得M?N.含有2個(gè)元素的集合M有1個(gè)，含有3個(gè)元素的集合M有4個(gè)，含有4個(gè)元素的集合M有6個(gè)，含有5個(gè)元素的集合M有4個(gè)，含有6個(gè)元素的集合M有1個(gè)．因此，滿足條件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16個(gè)．1．在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)注意端點(diǎn)值的取舍．2．在解決有關(guān)A∩B＝?，A?B等集合問(wèn)題時(shí)，一定先考慮A或B是否為空集，以防漏解．另外要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(0,1]

答案：D以集合為背景的新定義問(wèn)題是近幾年高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，此類題目常常以“問(wèn)題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，常見(jiàn)的命題形式有新定義、新運(yùn)算、新性質(zhì)，這類試題只是以集合為依托，考查考生理解問(wèn)題、解決創(chuàng)新問(wèn)題的能力．1．創(chuàng)新集合新定義創(chuàng)新集合新定義問(wèn)題是通過(guò)重新定義相應(yīng)的集合，對(duì)集合的知識(shí)加以深入地創(chuàng)新，結(jié)合原有集合的相關(guān)知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)，來(lái)解決新定義的集合創(chuàng)新問(wèn)題．A．1

B．3C．7 D．31[答案]

B[題后悟道]

該題是集合新定義的問(wèn)題，定義了集合中元素的性質(zhì)，此類題目只需準(zhǔn)確提取信息并加工利用，便可順利解決．2．創(chuàng)新集合新運(yùn)算創(chuàng)新集合新運(yùn)算問(wèn)題是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求給出新的集合運(yùn)算規(guī)則，并按照此集合運(yùn)算規(guī)則和要求結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．[典例2]設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝ (

)A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}[解析]由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由題意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．[答案]

B[題后悟道]解決創(chuàng)新集合新運(yùn)算問(wèn)題常分為三步：(1)對(duì)新定義進(jìn)行信息提取，確定化歸的方向；(2)對(duì)新定義所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法；(3)對(duì)定義中提出的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有效地輸出．其中對(duì)定義信息的提取和轉(zhuǎn)化與化歸是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn)．3．創(chuàng)新集合新性質(zhì)創(chuàng)新集合新性質(zhì)問(wèn)題是利用創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題，通過(guò)創(chuàng)新性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決有關(guān)的集合性質(zhì)的問(wèn)題．A．1 B．－1C．0 D．i[解析]∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互異性可知當(dāng)a＝1時(shí)，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“對(duì)任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1.[答案]

B[題后悟道]此題是屬于創(chuàng)新集合新性質(zhì)的題目，通過(guò)非空集合S中的元素屬性的分析，結(jié)合題目中引入的相應(yīng)的創(chuàng)新性質(zhì)，確定集合的元素．教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）答案：－1解題訓(xùn)練要高效見(jiàn)“課時(shí)跟蹤檢測(cè)（一）”2．設(shè)集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，則滿足

S?A且S∩B≠?的集合S的個(gè)數(shù)是 (

)A．57 B．56C．49 D．8解析：由S?A且S∩B≠?可知：元素4,5,6中至少有一個(gè)是S中的元素．S中的其余元素是從1,2,3中選1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)或不選．故S的個(gè)數(shù)為(C＋C＋C)×23＝56.答案：

B3．某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組．已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26、15、13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有________人．解析：由題意知，同時(shí)參加三個(gè)小組的人數(shù)為0，設(shè)同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的人數(shù)為x，Venn圖如圖所示，∴(20－x)＋6＋5＋4＋(9－x)＋x＝36，解得x＝8.答案：84．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a≤0