基本不等式教案

課題:§3.4基本不等式第1課時授課類型：新授課【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能：學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3．情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【教學(xué)重點】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學(xué)難點】基本不等式等號成立條件【教學(xué)過程】1.課題導(dǎo)入基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系2.講授新課1．探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。2．得到結(jié)論：一般的，如果3．思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為當(dāng)所以，，即4．1）從幾何圖形的面積關(guān)系認識基本不等式特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b，可得，通常我們把上式寫作：2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：要證(1)只要證a+b(2)要證（2），只要證a+b-0（3）要證（3），只要證（-）（4）顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，（4）中的等號成立。3）理解基本不等式的幾何意義探究：課本第98頁的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即a＝b時，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.2.在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).例1已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.3.隨堂練習(xí)1．課本第100頁的練習(xí)2、3、44.課時小結(jié)本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函