矩陣位移法例題復(fù)習(xí)題

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)第十二章矩陣位移法【例12-1】EI=常數(shù)，分離用位移法矩陣位移法計(jì)算。圖12-1解：（1）位移法解基本未知量和基本結(jié)構(gòu)的決定用位移法解的基本結(jié)構(gòu)如圖c所示。這里我們將結(jié)點(diǎn)1處的轉(zhuǎn)角也作為基本未知數(shù)，這樣本題僅一種基本單元，即兩端固定梁。位移法基本方程的建立將上式寫成矩陣形式系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng) 計(jì)算（須繪出單位彎矩圖和荷載彎矩圖）由圖d，結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件，得，，由圖e，結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件，得，，由圖f，結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件，得，，由圖g，結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件，得，，將系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng)代入位移法基本方程，得解方程，得由疊加法繪彎矩圖，如圖h所示。（2）矩陣位移法解對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)（圖a）本題只考慮彎曲變形的影響，故延續(xù)梁每個(gè)結(jié)點(diǎn)惟獨(dú)一個(gè)角位移未知數(shù)。若用后處理法原始結(jié)構(gòu)剛度陣為階；用先處理法結(jié)構(gòu)剛度陣為階（已知角位移）。下面采用先處理法來說明矩陣位移法計(jì)算過程。單元標(biāo)準(zhǔn)形式為（圖b）求局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚽笳w坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?，因延續(xù)梁的局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)是一致的，所以有，得（注：本題用先處理法換碼），，按“對(duì)號(hào)入座”規(guī)矩集成總剛，得形成荷載列陣計(jì)算單元固端列陣，，（2）將單元固端列陣反號(hào)，并按“對(duì)號(hào)入座”規(guī)矩送入荷載列陣（本題結(jié)點(diǎn)荷載為零）==將結(jié)構(gòu)剛度矩陣及荷載列陣代入矩陣位移法方程，得解方程，得計(jì)算桿端彎矩===得各單元桿端彎矩后，再疊加上一相應(yīng)簡(jiǎn)支彎矩圖即得各單元彎矩圖。將各單元彎矩圖組合在一起，得囫圇結(jié)構(gòu)的彎矩圖（圖h）。小結(jié)：通過本題的計(jì)算可看到：（1）基本未知量和基本結(jié)構(gòu)。位移法與矩陣位移法二者都是以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，以單根桿件（單元）為計(jì)算對(duì)象。位移法為方便計(jì)算，有三類桿件；而矩陣位移法惟獨(dú)一類桿件，即兩端固定等截面梁。（2）剛度矩陣與荷載列陣的形成。位移法是用單位彎矩圖和荷載彎矩圖并由結(jié)點(diǎn)的平衡條件計(jì)算系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng)的，而后形成剛度矩陣與荷載列陣的；而矩陣位移法是以單元桿端剛度元素、單元桿端荷載元素，按“對(duì)號(hào)入座”規(guī)矩形成剛度矩陣與荷載列陣的。矩陣位移法基本方程的建立，歸結(jié)為兩個(gè)問題：一是按照結(jié)構(gòu)的幾何和彈性性質(zhì)建立整體剛度矩陣，二是按照受載情況形成整體荷載列陣。（3）有（1）、（2）可知，二者的關(guān)系是：“原理同源，作法有別”。因此矩陣位移法不是一個(gè)新主意，它是新的計(jì)算工具（電子計(jì)算機(jī)）與傳統(tǒng)力學(xué)原理（位移法）相結(jié)合的產(chǎn)物?！纠?2-2】試求圖a所示結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣中的子塊，已知單元①的整體坐標(biāo)的單元?jiǎng)偠染仃嚾鐖Dc所示。圖12-2解：本題每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)基本位知量（豎向線位移和角位移），如圖b所示。單元?jiǎng)偠染仃嚍殡A（圖c）。由圖d所示子塊形式，的元素應(yīng)為單元①的j端元素（圖c右下角子塊）與單元②i端元素（圖c左上角子塊乘以2）之和，即【例12-3】只計(jì)彎曲變形時(shí)，用先處理法寫出結(jié)構(gòu)剛度矩陣。(設(shè)EI=1)圖12-3解：由圖d及先處理法結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)圖c寫出各單元?jiǎng)偠染仃?，并按“?duì)號(hào)入座”規(guī)矩集成整體剛度矩陣。,,【例12-4】用先處理法寫出圖a所示結(jié)構(gòu)剛度矩陣,E=常數(shù)。不計(jì)軸向變形影響。圖12-4解：本題固然是剛架，但不計(jì)軸向變形影響，即每一個(gè)結(jié)點(diǎn)惟獨(dú)一個(gè)角位移未知量。按照?qǐng)Db所示結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)，則整體剛度矩陣為階。因?yàn)槊總€(gè)單元桿端惟獨(dú)角位移未知量，故單元?jiǎng)偠染仃嚍殡A的延續(xù)梁?jiǎn)蝿傂问健?，=，=，=【例12-5】圖示延續(xù)梁，不計(jì)軸向變形，EI=常數(shù)，已知結(jié)點(diǎn)位移。試求單元②的桿端力列陣。圖12-5解：按照?qǐng)Da的約束條件和圖b的結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)，已知給出的結(jié)點(diǎn)位移是：有，，。單元②的桿端力列陣為【例12-6】用矩陣位移法求圖a所示桁架各桿內(nèi)力。單元①、②的截面面積為A，單元③的截面面積為2A，各桿E相同。圖12-6解：桁架每個(gè)結(jié)點(diǎn)兩個(gè)線位移未知量（圖b）。局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍殡A，即=，=整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍橛蓤Db可知，單元①，，。單元②，，。單元③，，。=，==。整體剛度矩陣及荷載列陣=，=矩陣位移法方程=解方程，得計(jì)算各桿軸力===（拉）===（拉）===（壓）【例12-7】已知圖示桁架的自由結(jié)點(diǎn)位移列陣，求桿12在局部坐標(biāo)系中的桿端力。設(shè)，桿12的橫截面積。圖12-7解：，，。=【12-8】用位移法和矩陣位移法計(jì)算圖a所示結(jié)構(gòu)。各桿材料及截面均相同，，，。要求：（1）不考慮軸向變形影響的位移法解。（2）考慮軸向變形影響的位移法解。（3）用矩陣位移法(采用先處理法)解。圖12-8解：（1）不考慮軸向變形影響的位移法求解不考慮軸向變形影響下，僅有結(jié)點(diǎn)1處的角位移未知量。位移法的基本方程為系數(shù)和自由項(xiàng)由圖b、c得，將系數(shù)和自由項(xiàng)由代入位移法的基本方程，并解得弧度。由疊加法作彎矩圖，即。囫圇結(jié)構(gòu)的彎矩圖如圖d所示。（2）考慮軸向變形影響的位移法求解基本結(jié)構(gòu)如圖e所示。位移法的基本方程為系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算由圖f：，由圖g：，由圖h：由圖c：，，將系數(shù)和自由項(xiàng)由代入位移法的基本方程，并解得，，弧度考慮軸向變形影響的結(jié)構(gòu)彎矩圖如圖i所示（剪力圖和軸力圖未畫出）。（3）用矩陣位移法(采用先處理法)解用矩陣位移法求解時(shí)，單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖j所示。采用先處理法時(shí)其整體剛度矩陣為階。兩單元對(duì)應(yīng)的整體編碼如下圖所示。按“對(duì)號(hào)入座”規(guī)矩集成結(jié)構(gòu)剛度矩陣=注：（1）單元①局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，所以有。（2）單元②局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的夾角，須舉行坐標(biāo)變換，即。運(yùn)算的結(jié)果是將中相關(guān)元素作行列交換。另外當(dāng)局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的夾角時(shí)，我們也可直接在整體坐標(biāo)系下舉行對(duì)換，如圖k所示。按先后再轉(zhuǎn)角的次序，則可直接在局部坐標(biāo)的單元上標(biāo)注相應(yīng)的整體編碼，本題就是采用這一主意。注重到坐標(biāo)舉行了軸交換，變號(hào)，故副系數(shù)須反號(hào)。見本題中單元②中送入結(jié)構(gòu)剛度矩陣的元宵和。荷載列陣的集成。主意一是按及舉行。另一作法是，由,于是有=將結(jié)構(gòu)剛度矩陣和荷載列陣基本方程，得與前位移法解得的相同結(jié)果，即=同樣得結(jié)構(gòu)彎矩圖如圖i所示（剪力圖和軸力圖未畫出）。解：剛架每個(gè)結(jié)點(diǎn)有三個(gè)基本未知量（），同時(shí)也有三個(gè)方向結(jié)點(diǎn)荷載項(xiàng)。圖12-9（1）結(jié)點(diǎn)2的直接結(jié)點(diǎn)荷載：（2）結(jié)點(diǎn)2的等效結(jié)點(diǎn)荷載涉及到單元①、②及③的2端的固端力（見圖c、d、e）。按式（）應(yīng)首先應(yīng)計(jì)算局部坐標(biāo)系下的固端反力，而后舉行坐標(biāo)變換得整體坐標(biāo)系下單元固端反力，再“按對(duì)號(hào)如座”規(guī)矩反其符號(hào)集成。這里我們直接按照?qǐng)Dc、d、e求出整體坐標(biāo)系下的單元固端反力由圖b及d、e、c得=，=，=陣為?！纠?2-10】圖12-10解：?jiǎn)卧倥c整體坐標(biāo)一致。而單元②、③按圖b所示整體坐標(biāo)系下來舉行換碼（注重到坐標(biāo)舉行了軸交換，變號(hào)，故副系數(shù)須反號(hào)），而后按下圖“對(duì)號(hào)入座”規(guī)矩集成總剛。=【例12-11】圖12-11解：由圖b的位移編號(hào)可知，橫梁各結(jié)點(diǎn)僅有一個(gè)向的水平位移，其變形如圖c的所示（這就是“手算”），按“對(duì)號(hào)入座”規(guī)矩集成總剛（這就是“機(jī)算”）用經(jīng)典位移法解時(shí)，其系數(shù)?！纠?2-12】按先處理法計(jì)算圖a所示結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。各桿長(zhǎng)度為，EA、EI均為相同。圖12-12解：?jiǎn)卧?、結(jié)點(diǎn)及位移編號(hào)入圖b所示。作為理解畫出了結(jié)點(diǎn)位移的變形圖，如圖c、d及e所示（這就是“手算”）。按下圖“對(duì)號(hào)入座”規(guī)矩集成總剛（這就是“機(jī)算”）。=【例12-13】圖示剛架只考慮彎曲變形，按先處理法求在荷載和支座位移共同作用下的結(jié)點(diǎn)荷載列陣。已知各桿。圖12-13解：圖b為結(jié)點(diǎn)、單元編號(hào)，單元①固端反力如圖c所示，是由支座位移產(chǎn)生的。=，=，=+=【例12-14】為圖12-14解：本題有兩各特點(diǎn)：不計(jì)軸向變形影響，單元?jiǎng)偠葹殡A，如圖b所示，不需坐標(biāo)變換。結(jié)點(diǎn)6的支座移動(dòng)惟獨(dú)對(duì)單元③有影響，將它作為③桿端位移值，則有所以【例12-15】對(duì)圖示剛架的結(jié)點(diǎn)和單元舉行編號(hào),并以子塊形式寫出結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣。圖12-15解：所謂子塊是按單元的始末端點(diǎn)(結(jié)點(diǎn)號(hào))舉行分塊的。在形式上類似于延續(xù)梁的的單元?jiǎng)偠染仃囆问?，但?duì)于剛架來說，則每一子塊又是階的。分塊單元?jiǎng)偠染仃囆问綖椋簩?duì)本例有5個(gè)結(jié)點(diǎn)，故分塊總剛應(yīng)是的，如圖b所示（即將一個(gè)結(jié)點(diǎn)視為“一個(gè)位移子塊”）。實(shí)際上本題以結(jié)點(diǎn)位移未知量考慮按后處理法，則原始剛度矩陣為階；先處理法整體剛度矩陣為階的。本題小結(jié)：（1）同交于一個(gè)結(jié)點(diǎn)的各桿件稱為該結(jié)點(diǎn)的相關(guān)單元（例如結(jié)點(diǎn)1的相關(guān)單元為①、②，結(jié)點(diǎn)3的相關(guān)單元為③、④）；而兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間有桿件直接聯(lián)結(jié)者稱為相關(guān)結(jié)點(diǎn)（例如1、2；3、4和3、5）。（2）總剛的主子塊（對(duì)角線上的子塊）是由結(jié)點(diǎn)的各相關(guān)單元的主子塊疊加求得，即，如、所示。（3）總剛的副子塊（非主角線上的子塊），當(dāng)、為相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)即為聯(lián)結(jié)它們的單元的相應(yīng)副子塊，即，如、等；當(dāng)、為非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)即為零子塊，如、等?！纠?2-16】l。