2022-2023學(xué)年湖南省湘潭重點學(xué)校高二（下）期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖南省湘潭重點學(xué)校高二(下)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合A={x∣∣<1},則CR力=()

A.(一％2]B.[0,2]

C.(2,+8)D.(-∞,0)U(2,+8)

2.箸=()

?57.R57「77.八77

'?2^2lB-2+2tc?2-2lD-2+?2l.

2

3.己知函數(shù)/(x)=α+是奇函數(shù),則

3x-l/(2)=()

59

BCD2

--

48

4.開普勒第一定律也稱橢圓定律、軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)

繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星H看作一個質(zhì)點，“繞太陽的運動軌跡近

似成曲線史+已=I(Tn>n>0),行星”在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離,

mn

距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點距離.若行星H的近日點距離和遠(yuǎn)日點距離之和是18(距離單

位：億千米)，近日點距離和遠(yuǎn)日點距離之積是16,則m+n=()

A.39B.52C.86D.97

5.已知函數(shù)f(x)=αχ2+∣在(1,+OO)上不單調(diào)，則實數(shù)ɑ的取值范圍是()

A.(-∞,1)B.(0,1)C.(l,+∞)D.(θ,?)

6.如圖，在四棱臺ABCD-aB1GD1中，正方形4BC。和AlBlCIDI的中心分別為。1和。2，

Olo2?L平面ABCD,OIO2=3,AB=5,AlBl=4,則直線。1。2與直線441所成角的正切值

為()

A.CB.CC.蟲D.2

3666

7.己知函數(shù)/(x)=2sin2ωx+yΓ~3sin2ωx(^ω>0)在［0,，］上恰有2個零點，則3的取值范圍

是（）

A.6的B.停,2)c?片,第D?［2號

8.已知α-2?Γ~2—2,b=/，C—伍2,則()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知直線，：（τn+2）x+y-m-3=0,P（X,y）是圓C：/++2%-3=O上的一點,

則（）

A.直線2過定點（1,1）B.圓C的半徑是，I

C.點P可能在圓χ2+y2=1上D.點P到直線用勺最大距離是+2

10.從10名男生和8名女生中選出3人去參加創(chuàng)新大賽，則至少有1名女生的選法有（）

A.*-哈種B.弓%種

C.ClCl0+ClCl0+夠種D.Cf0Cj+盤。第種

11.已知雙曲線C：■一A=l（α>0,b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2,過點F?作直線/垂

直于雙曲線C的一條漸近線，直線I交雙曲線C于點M,若IMFll=3∣MF2∣,則雙曲線C的漸近

線方程可能為（）

C?y=±三XD.y=+x

12.如圖1,薩卡?帕喬利肖像》是意大利畫師的作品.圖1中左上方懸著的是一個水晶多面

體，其表面由18個全等的正方形和8個全等的正三角形構(gòu)成，該水晶多面體的所有頂點都在

同一個正方體的表面上，如圖2.若MN=C，則()

A.AB=3√^^

B.該水晶多面體外接球的表面積為(IO+4-2)71

C.直線HG與平面HPQ所成角的正弦值為?

D.點G到平面HPQ的距離為?

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量Zi=(2,3),b=(-1,2).若G+∕c1)?lW則k=

15.在一個3X3宮格中，有如圖所示的初始數(shù)陣，若從中隨機選擇2個宮格，將其相應(yīng)的數(shù)

字變成相反數(shù)，得到新的數(shù)陣，則新的數(shù)陣中所有數(shù)字之和為25的概率為.

123

456

789

16.法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章撰國的海岸線有多長？J)標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到

分?jǐn)?shù)維的飛躍.他將具有分?jǐn)?shù)維的圖形稱為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數(shù)學(xué)分支

一一分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術(shù)家的角色，事實表明它是描述和探索自然界

大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,線段AB的

長度為3,在線段AB上取兩個點C,D,使得aC=DB=g4B,以CD為一邊在線段AB的上方

作一個正三角形，然后去掉線段CD,得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC,EO做相同的操

作，得到圖3中的圖形.依此類推,

一一_7\___Λ___

ACDBACDB

圖1圖2附部

則第n(n≥2,nCN*)個圖形中新出現(xiàn)的等邊三角形的邊長為；第n個圖形(圖1為第一

個圖形)中的所有線段長的和為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在AZBC中，a,b,C分別是內(nèi)角4,B,C的對邊,sin2?+SinAsinC+sin2C+cos2B=1.

(1)求角B的大??；

(2)若α=5,b=7,求SinC.

18.(本小題12.0分)

設(shè)數(shù)列｛αrι｝的前n項和為Srι,a1=2,且Srι+ι=3Sn+2.

(1)求｛arι｝的通項公式；

(2)若"l=71%l,求數(shù)列｛%｝的前n項和

19.(本小題12.0分)

如圖，將三棱錐4-BCD的側(cè)棱48放到平面a內(nèi)，AC1CB,AB1BD,AC=CB,AB=BD,

平面ABC_L平面4BD.

(1)證明：平面ACDJ■平面BCD.

(2)若AB=2,平面48。與平面a夾角的正切值為：，求平面ACO與平面a夾角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行2.5至5小時的中等強度運動.已知4社區(qū)有20%的居民每周運

動總時間超過5小時，B社區(qū)有30%的居民每周運動總時間超過5小時，C社區(qū)有50%的居民每

周運動總時間超過5小時，且4B,C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為3：3：4.

(1)從這三個社區(qū)中隨機各選取1名居民，求至少有1名居民每周運動總時間超過5小時的概率;

(2)從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；

(3)假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量X(單位：小時)，且X?N(4,d),現(xiàn)

從這三個社區(qū)中隨機選取1名居民，求該居民每周運動總時間為3至5小時的概率.

21.(本小題12.0分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)上一點M(I,m)(m>0)與焦點的距離為2.

(1)求P和7∏;

(2)若在拋物線C上存在點4,B,使得MAJLMB,設(shè)AB的中點為D,且。到拋物線C的準(zhǔn)線的

距離為最求點D的坐標(biāo).

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=3ex—aln(x+1).

(1)若/(%)是增函數(shù)，求Q的取值范圍；

(2)若/(%)-SinX≥3在［0,+8)上恒成立，求α的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為4={x∣∣<1}={x∣x>2或X<0},

則CRA=[0,2].

故選:B.

結(jié)合分式不等式的求法先求出集合4然后結(jié)合集合補集運算即可求解.

本題主要考查了分式不等式的求解及集合補集運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】4

【解析】解："=(6T)(1T?)=6=6T=/"

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可得結(jié)果.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：???∕(x)=α+5τ是奇函數(shù)，且其定義域為(一8,0)U(O,+8),

.?√(l)+∕(-l)=α+1+α+J~?2α+l-3=0,

；?Q=1,

X

???/X(vχ)、=?3?+?1,

5

Z

u=12=-

v2)84

故選：A.

依題意，由/(1)+/(-1)=0可求得。，從而可求得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：設(shè)橢圓的方程：圣+，=1,(α>b>O),設(shè)C為半焦距，由題意m=α2,n=/,

由橢圓的性質(zhì)可得-：=l?可得=8i,b2=a2_c2=16,

((Q十CJ(Q—CJ—IO

所有m+n=81+16=97.

故選：D.

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得α,b的值，進(jìn)而求出m+n的大小.

本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：∕,(x)=2ax-^2,

依題意，2ax-備=O在(1,+8)上有解，

即α=或在(1,+8)上有解，

又y=*在(1,+8)上單調(diào)遞減，且Xτ+8時，y→0,

則ɑ6(0,1).

故選:B.

對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，依題意，((X)=O在(1,+8)上有解，由此可得解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：連接ArO2,作&E1A01，垂足為E,

乙44E即直線OlO2與直線44ι所成的角,

..AE苧√~2

tanZyMIEc=--=-^-=—?

?A↑E36

故選：B.

作出直線Oi。2與直線力4所成角，解直角三角形求得其正切值.

本題考查了異面直線所成的角的求解，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：f(x)=2sin2ωx+y∕-3sin2ωx=1-cos2ωx+V_3sin2ωx=1+2sin(2ωx—ξ)=O,

1

可得sin(2(υ%--)=2-

因為X∈[O,5],所以23%一不∈[―不,37T—4],

又因為函數(shù)/(X)在[0件上恰有2個零點，可得?≤ωπ-=<?≡,

解得g≤3<2.

故選：B.

由半角公式及輔助角公式可得函數(shù)的解析式，再由X的范圍，可得23X-W的范圍，再由題意可得

O

3兀一%的范圍，進(jìn)而求出3的范圍.

O

本題考查半角公式及輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

2

【解析】解：已知α=2√^I—2,b=/，C="2,

因為e2>2.72=7.29>7,

所以]>1，

則b>1,

又21Σ-2<2×∣-2=1,

則α<1,

所以b>a,

不妨設(shè)f(x)=√^∕-2-等，函數(shù)定義域為(0,+8),

可得((x)=J--L=3C-2

JF(町2∕-y3xβx

當(dāng)OVXet時，∕,(%)<0,/(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>g時，∕,(x)>O,/(x)單調(diào)遞增，

因為2?∕^Σ>e，

所以8>e2,

此時/(8)>/(e2)=e-2-∣>0,

則2?Γ2-2-Jn2>0,

整理得2，五一2>"2，

所以Q>C,

綜上，b>a>c.

故選：B.

根據(jù)e?>2.72=7.29>7,2y∕~2-2<2×∣-2=1,得到b>a,構(gòu)造函數(shù)f(x)=C-2-殍,

對函數(shù)/(尤)進(jìn)行求導(dǎo)，得到函數(shù)/(尤)的單調(diào)性，由2C>e,得到8>e2,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到

/(8)>/(e2)>0,此時2。一2-m2>0，再求解即可.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及對數(shù)值的大小比較，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運算能

力.

9.【答案】ACD

【解析】解：直線，：(m+2)X+y-m-3=0,即m(x-1)+2x+y-3=0,可得直線過D(L1),

所以A正確；

/+V+2χ-3=0可得：(x+l)2+y2=4,圓的半徑為：2,所以B不正確；

圓C：χ2+y2+2χ-3=0與χ2+y2=1,當(dāng)X=I時，y=0,可知P(LO)在兩個圓上，所以C

正確；

?CD?=√(1+I)2+(1-O)2=√-5,點P到直線，的最大距離是，亍+2,所以。正確.

故選:ACD.

利用直線系，求解定點坐標(biāo)判斷4求解圓的半徑判斷B；通過兩個圓的位置關(guān)系判斷C；求解點

到直線的距離判斷C?

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

10.【答案】AC

【解析】解:利用間接法：

先從18名學(xué)生中選取3人，再排除都是男生的情況，

所以至少有1名女生的選法有仃8-Cio=696種，故A正確：

因為盤Cf7=1088>696,故B錯誤；

根據(jù)分類加法計數(shù)原理：

至少有1名女生的選法有三種情況：1名女生；2名女生；3名女生.

所以至少有1名女生的選法有程CfO+第%+夠種，故C正確；

因為磴=56≠0,所以弓*)+C^C10+廢>Cf0?+?Cf,故D錯誤；

故選：AC.

利用間接法可得至少有1名女生的選法有此80=696種，進(jìn)而判斷A、B；分1名女生；2名女

生；3名女生三種情況，可得至少有1名女生的選法有喘比)+或(?+第種，進(jìn)而判斷C、D.

本題考查了兩個計數(shù)原理以及簡單的組合問題，屬于中檔題.

11.【答案】AB

【解析】解：由題意直線ON而漸近線，設(shè)F2N工ON交

于N,則可得∣OF2∣=C,?ON?=a,?F2N?=b,

過M作MQIX軸交于Q,則△MQRsAONE，所以需=

MF2

OF7,

即蛇!=w1,整理可得∣MF2∣=：IyMI，

acQ

由雙曲線的定義可得IMFIl=2a+?MF2?,

又因為IMFIl=3∣MF2∣,所以9∣MF2∣2=(2α+∣MF2∣)2,解得∣MF2∣=α,

2

可得IyMl=M可得(c-xjw)2+y需=。2①，

而M在雙曲線上，所以y需=62&一1),②

①②聯(lián)立可得XM=竽，

將M點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得：第一品=1,即等一念=1,由c2=cl2+b2,

整理可得4)4一3(今2+1=0,解得《)2=等三所以《=話±1,

√3±ι

所以雙曲線的漸近線的方程為y=±X.

2

故選：AB.

過M作MQIX軸交于Q,由題意可得AMQF2"A0NF2,可得∣MF2∣=；IyMl,因為|Ma|=3?MF2?,

再由雙曲線的定義可得∣MF2∣的值，可得M的縱坐標(biāo)的絕對值的大小，再由M在雙曲線上，可得M的

橫坐標(biāo)的值，代入雙曲線的方程，可得α,b的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線的方程.

本題考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用及直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：由水晶多面體的結(jié)構(gòu)特征可得NF=MN=C，

進(jìn)而可得AB=，五+2,故A錯誤；

在水晶多面體在大正方體的對面的兩個正方形構(gòu)成的長方體的外接球,

即為該水晶多面體外接球,

設(shè)外接球的半徑為R,由題意可得(2R)2=(√2+2)2+(AΛ2)2+(<2)2,

.?.4/?2=+10,故該水晶多面體外接球的表面積為4TΓR2=QO+4，7)兀，故B正確;

GK//HQ,K到平面HPQ的距離即為點G到平面HPQ的距離，

設(shè)點G到平面HPQ的距離為d,

由與-PQK=^κ-HPQ>λ5xIxX√^2Xsin45°×1=?×?×√-2X>Γ^2Xsin60°Xd,

解得d=?,.??點G到平面HPQ的距離為?，故力正確；

√-5L

直線HG與平面HPQ所成角的正弦值為Wj=工=6,故C正確.

HG~yΓ2~3

故選：BCD.

根據(jù)空間幾何體的特征，根據(jù)每個選項的條件進(jìn)行計算可判斷其正確性.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

13.【答案】~1

【解析】解：?.?(布+k])J.1，

——>—>2

???a?b+kb=O，

*?,ɑ=(2,3),b—(—1,2)，

?-2+6+5∕c=0,解得％=

故答案為：-

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】I

oo

【解析】解:tan22.5_12tan22.5

l-tan222.5o.2l-tan222.5o

=2?tan450=—×1=—

故答案為：?

tan22.5012tαn22.50

變形可得45。，計算可得.

l-tan222.5o2'l-tan222.5o

本題考查二倍角的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】?

【解析】解：根據(jù)題意，在3X3宮格中，所有數(shù)字之和為1+2+3+…...9=45,

從中任選2個宮格，有量=36種選法，

設(shè)選中“2個宮格”中數(shù)字之和為X,

則有45-X-X=25,則X=I0,

而和為10的“2個宮格”有1一9,2-8,3-7,4-6,共4種情況，

則新的數(shù)陣中所有數(shù)字之和為25的概率P=?=i

故答案為：?

根據(jù)題意，由組合數(shù)分析“從9個宮格中任選2個”的選法，再設(shè)選中“2個宮格”中數(shù)字之和為X,

由此可得關(guān)于X的方程，求出支的值，分析符合題意的“2個宮格”的選法數(shù)目，由古典概型公式

計算可得答案.

本題考查古典概型的計算，涉及組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】切-2號一券一券

【解析】解：當(dāng)n≥2,設(shè)第n個等邊三角形的邊長為a7l,則與+1=：廝，所以｛α7l｝是以:為公比的

等比數(shù)列，

又α2=2AB,AB=3,所以αn=?尸-以⑶=?尸或；

設(shè)第n個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為時,

11?..，

則尻一九=1X§48,打一尻=2x948,bn-bn.1=(n-l)^r1?F,

所以當(dāng)幾≥2,有%一瓦=Ix148÷2×a48÷??,+(n—,

令〃=1×I+2×+???+(n-1)???,則l"=1Xa+2X￡+…+(九一1)￡,

τn-lτ∏=I++，e，+y^ι-^(n-1)?,化簡得4=

又瓦=AB,所以當(dāng)九≥2,bn=瓦+bn-瓦=(1+心；MB=(I-招ZT—1rτ)48,

VZ?o4?J

瓦也滿足上式，所以砥=G一券一提)48,又48=3,所以bn=與一言一拼

故答案為：(∣)n^2;4■一步^一獲3

構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行計算即可.

本題主要考查通過遞推法求數(shù)列通項公式，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)因為siM4+SinAsinC+sin2C+cos2B=1,

所以SiMA+SinAsinC+sin2C=Sin2B,

由正弦定理可知，ɑ2+αc+C2=62,

az+c2-b2_—ac_1

所以CoSB

2ac-2ac-2

因為B為ZkABC的內(nèi)角,

所以B=要

(2)因為α=5,b=7,

則由余弦定理知爐=α2+c2-2accosB,即7?=52+c?—2x5ccos?,

化簡得￠2+5c-24=O,

解得C=3或C=-8(舍去).

由正弦定理知，7=-?,

StnCStnB

則S譏C=M=鋁=雙W?

b714

22

【解析】(1)根據(jù)題意可得a?+ac+c=b,再由余弦定理可得cosB,進(jìn)而求得B；

(2)由余弦定理可得C的值，再由正弦定理即可得解.

本題考查解三角形，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)因為Sn+ι=3Sn+2,

所以當(dāng)n≥2時，Sn=3Sn.1+2,

兩式相減得，αn+ι=3αn(ττ≥2),

又S2=3Sι+2,a1=2,所以α?+a2=3a1+2,

所以o?=6=3αι,滿足上式，

所以數(shù)列｛%l｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，

所以(?=2?3nτ.

n-1

(2)由(1)知，bn=nan=2n×3.

n1

所以7π=2X(1+2X3+3X32+4X33+…+nX3-),

37；=2X(3+2X32+3X33+4X34+…+nX3τι),

234n1nn

兩式相減得，-2Trl=2×(l+3+3+3+3+???+3--n×3)=2×(管-n×3)=

1—?

(l-2π)×3n-l,

所以及=(2n-?3"+l.

【解析】(1)利用αn=Sn-Snτ(n≥2),并結(jié)合等比數(shù)列的定義，可證數(shù)列｛aπ｝是首項為2,公比

為3的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式，得解；

(2)利用錯位相減法，即可得解.

本題考查數(shù)列的通項公式與前Ti項和的求法，熟練掌握等比數(shù)列的定義、通項公式，錯位相減法是

解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：（I）證明：因為平面4BC_L平面4B0,平面4BCC平面力BD=AB,AB1BD,BDU

平面ABD,

所以BD1平面4BC,

又ACU平面4BC,

所以BDVAC,

因為ACleB,BDCBC=B,BDU平面BCD,BCU平面BCD,

所以4C1平面BCD,

又ACU平面ACD,

所以平面ACZ）_L平面BCD.

（2）記點D在平面ɑ內(nèi)的投影為E,連接BE,DE,取4B的中點。，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為力B=2,平面4BC與平面α夾角的正切值為

所以DE=主合，BE=^W,

則4(1,0,0),D(—1,警,警)，t(θ,-?,?),

從而而二(—2,若,亨)，前二(-1,—?,等)，

設(shè)平面4C。的法向量為記=(x0,y0,z0),

(m-AD=-2x0+警氏+?zo=θ

則，

λj∣-.?√^55JC5C，

z

?m?AC=-X0-—y0+~^~o=θ

則可取記=(5,√^5,3√^5).

易知，平面α的一個法向量為元=(0,0,1),

.——m-n3√-5√15

貝mUlCOS<mn>==1==—

t?m??n?√r25+5+455

即平面4CD與平面ɑ夾角的余弦值為［I

【解析】（1）利用面面垂直可得BDI平面4BC,從而得到BDl4C,再利用線線垂直可得AC_L平

面BCD,再利用面面垂直得判定得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出結(jié)果.

本題考查面面垂直的判定定理，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力，推

理論證能力和運算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)從4B,C三個社區(qū)中各選取的1名居民的每周運動總時間超過5小時分別

為事件Z,B,C,

則P(A)=M(B)=得,P(C)=9

設(shè)選取的3名居民中至少有1名居民每周運動總時間超過5小時為事件M,

則事件M的對立事件為選取的3名居民每周運動總時間都沒有超過5小時,

所以P(M)=1-P(M)=1-(1-?)(l-?)(1-∣)=?

故選取的3名居民中至少有1名居民每周運動總時間超過5小時的概率為

(2)設(shè)A,B,C三個社區(qū)的居民人數(shù)分別為3α,3a,4a,

則4社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為3aX20%=0.6a,

B社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為3αX30%=0.9a,

C社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為4αX50%=2a,

0.6α+0.9α÷2α

所以0.35,

P3α+3α+4α

故從這3個社區(qū)中隨機抽取1名居民且每周運動總時間超過5小時的概率P=0.35.

(3)因為X?N(4,d),所以P(X>4)=0.5.

因為P(X>5)=0.35,所以P(4<X<5)=0.5—0.35=0.15,

所以P(3<X<5)=2P(4<X<5)=0.3.

【解析】(1)根據(jù)概率公式，先算出該居民是各社區(qū)且每周運動時間沒有超過5小時的概率，由對

立事件的概率公式求解即可；

(2)由于A,B,C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為3：3：4,設(shè)出三個社區(qū)的居民人數(shù)，計算出各社區(qū)

每周運動總時間超過5小時的人數(shù)，然后由頻率估計概率即可；

(3)由正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合條件求解即可.

本題考查離散型隨機變量的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)設(shè)拋物線C的焦點為F,根據(jù)題意可知IMFl=I+§=2,解得p=2.

故拋物線C：y2=4x.

因為M在拋物線C上，所以巾2=4.又因為m>0,所以Tn=2.

(2)設(shè)4([,yι),β(^,y2),￡?(&，%)，直線MA的斜率為心，直線MB的斜率為心，

易知自，心一定存在，則心="，七=鋁，

由MA1MB,得卜也=-1>即點T=T，化簡得(71+2)(丫2+2)=-16,即力丁2=

-

-2(%+y2)20,

因為。到拋物線C的準(zhǔn)線的距離由=a+1=冬所以Xo=警=熱

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