2022-2023學(xué)年山西省忻州市名校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年山西省忻州市名校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知復(fù)數(shù)Z=晝，則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

1—1

A.2B.-2C.2iD.-21

2.已知向量五=（3,∕c）,b=（2,-1）,αlh,則實數(shù)k的值為（）

A.-TB.?.6D.2

3.在AZBC中，a=4,b=6,S"ABC=6y∏.,則角C的度數(shù)為（）

A.135oB.45oC.45°或135°D,120°

4.如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高相等,

下面部分的體積為〈cm3,則這個漏斗的容積為（）

O

A.?B.?C.?D.I

??Z6

5.在AHBC中，若b=3,C=等，B=45。，則此三角形解的情況為（）

A.無解B.兩解C.一解D.解的個數(shù)不能確定

6.如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的

兩個測點C與0,測得4BCO=15。，NBDC=30。，CD=30m,并在

點C測得塔頂4的仰角為60。，則塔高AB等于（）

A.5√-6m

B.15√-3m

C.5ΛΓ~2TΠ

D.15√-6τn

7.博數(shù)書》是我國現(xiàn)存最早的系統(tǒng)性數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周,

令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高九，計算其

體積V的近似公式V用該術(shù)可求得圓周率元的近似值.現(xiàn)用該術(shù)求得7r的近似值，并計

算得一個底面直徑和母線長相等的圓錐的表面積的近似值為27,則該圓錐體積的近似值為

（）

C.3<3

8.已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4,在三角形ABC中心為圓心r（O<r≤1）為

半徑的圓上有一個動點則I加+而+3祝I最大值為（）

A.13B.√^^89C.5√T1D.√^n+6

二、多選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知ZI與Z2是共輾復(fù)數(shù)（虛部均不為0）,下列結(jié)論中一定正確的有（）

2

A.zl<?Z2?B.z/2=%Z2∣C.z1+z2∈∕?D.∣∣eR

10.若點。，E,F分別為△4BC的邊BC,CA,48的中點，且就=落CA=b>則下列結(jié)論

正確的是（）

A.=-^a-bB.BE=α+?e

C.CF=-；五+gbD.EF=^a

11.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為α,b,c,α=8,b<4,c=7,且滿足（2α-b）cosC=

ccosB,則下列結(jié)論正確的是（）

A.C=60oB.?4BC的面積為6C

C.b=2D.△4BC為銳角三角形

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

12.己知向量∣Z∣=3,?b?=2<12α+eI=2√13>則區(qū)方的夾角為.

13.若正四棱臺的上底邊長為2,下底邊長為8,高為4,則它的側(cè)面積為.

14.三角形ABC中，。是BC邊上一點，?BAD=?DAC=60o,BC=7,且三角形4B。與三

角形ZDC面積之比為￡則4D=.

15.如圖，一塊邊長為4cτn的正方形紙片上有四塊陰影部分，將?：--A

這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形和一J

個正方形做成一個正四棱錐，則該正四棱錐的體積為______cm3.'，2-4

∕?，/

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.(本小題10.0分)

已知非零向量瓦和互不共線.

(1)若荏=可+筱，BC=2e7+8eJ,CD=3(e7-?).求證：A,B,。三點共線；

(2)若向量A國+孩與向量區(qū)+k與平行，求實數(shù)k的值.

17.(本小題12.0分)

如圖，正方體4BCD-4B'C'D'的棱長為α,連接AC',A'D,A'B,BD,BC,X1D,得到一個

三棱錐.求：

(I)三棱錐4'一BCD的表面積；

(∏)三棱錐4'一BC'D的體積.

18.(本小題12.0分)

己知△4BC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,bsin^γ-=asinB.

(1)求角4

(2)若b=6,BC邊上的高為亨，求c.

19.(本小題12。分)

已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為96兀.

(1)求該圓錐的側(cè)面積；

(2)求圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積.

20.(本小題12.0分)

已知半圓圓心為0,直徑ZB=4,C為半圓弧上靠近點4的三等分點，若P為半徑OC上的動點,

以。點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示.

(1)直接寫出點A、B、C的坐標；

(2)若同=,方一;艱，求方與旗夾角ɑ的大??；

(3)若y=西.同，當(dāng)y得最小值時，求點P的坐標及y的最小值.

21.(本小題12.0分)

銳角△4BC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為α,b,c,滿足：asinB=bcos(^A-ξ),c=1.

⑴求4;

(2)求4ABC面積取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算以及復(fù)數(shù)的定義的應(yīng)用，考查了化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

先利用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)z,然后由虛部的定義求解即可.

【解答】

解：復(fù)數(shù)Z=詈=α-5i)(i+i)=3-21,

L-I(i-O(i+i)

故復(fù)數(shù)Z的虛部為-2.

故選：B.

2.【答案】C

【解析】解：向量3=(3,k),b=(2,-1).alb>

??6—k=0,

解得A=6,

故選：C.

根據(jù)向量的坐標運算和向量的垂直的條件即可求出.

本題考查了平面向量的坐標表示與數(shù)量積的運算問題，是基礎(chǔ)題目.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查的知識點是三角形的面積公式，其中根據(jù)已知求出S譏C的值，是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題.

由已知中在AABC中，若α=4、b=6,其面積等于6√^^Σ,代入S—BC=gα，。。s譏C可得S譏C的

值，進而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，可得C的大小.

【解答】

解：V?Δ?BCφ,若Q=4,h=6,

.???4BC的面積等于SAABC=^a-b-SinC=∣×4×6×sinC=6√-2.

；?解得SinC=殍,VC∈(0o,180o),：.C=45°或C=135°.

故選C

4.【答案】A

【解析】解：長方體與四棱錐同底等高，故長方體的體積是四棱錐體積的3倍，

故這個漏斗的容積為±+i×3=l,

OO?

故選：A.

長方體與四棱錐同底等高，故長方體的體積是四棱錐體積的3倍，即可得到答案.

本題考查了組合體體積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：?.?∕ι=CSinB=女UX容=I<3=b=AC，又3>與工，

二三角形只有一解.

故選：C.

由CSinB<c<b,即可得出解的情況.

本題考查了正弦定理解三角形，考查了推理能力與計算能力，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

A

【解析】解：因為由題意，NBCO=15°,乙BDC=30o,CD=30m,?BCA=

60°,/

所以在ABCD中，?CBD=180°-15°-30o=135o,.??k

由正弦定理得-‰=—%,

sιn30SUII352k

解得BC=I5「(他)，D

所以在RtZkABC中，AB=BCtanΛACB=ISyn×G=15√6(m).

故選：D.

由題意利用三角形內(nèi)角和定理可求NCBD=135。，利用正弦定理可求BC的值，進而在RtC中,

即可求解AB的值.

本題考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查圓錐體積的計算，考查運算求解能力，是中檔題.

先由體積V的近似公式V≈?L2ft,可求出兀的近似值為3,再根據(jù)所求圓錐的表面積列出等式關(guān)系,

?o

求出底面圓的半徑，由圓錐的底面直徑和母線長相等求出圓錐的高，進而求出體積.

【解答】

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,貝H=2τrr,可得r=；,

2π

.?.V=∣πr2Λ=∣π（?2∕ι≈?i2Λ>整理得Trk3.

33v2πy36

???該圓錐的底面直徑和母線長相等，且圓錐的表面積的近似值為27,

設(shè)該圓錐的底面半徑為R，母線長為，，高為八，

則S表=TrR2+2.RTrR）-l≈3R2+^?6R-2R=27,解得R=√^.

又2R=I,.?.h=√I2—R2=y∕~3R=3-

.?.該圓錐體積的近似值為V=∣τrft2∕ι≈∣×3×3×3=9.

故選：D.

8.【答案】A

【解析】解：建立如圖所示坐標系，

?

X

則點4(-2,2C),B(-2,-2√3),C(4,0),

設(shè)點M(rcos仇rsi"J),且0≤9<2兀，

2222

則IMA+MB+3MC?=λ/(8—5rcosθ)÷25rsin0=√64+25r—80rcosθ

故當(dāng)r=l,O=TT時，I而？+麗+3祝I有最大值為13,

故選：A.

建立直角坐標系，可以表示出4B,C的坐標，再設(shè)點M(rcos6,rsi7i6),即可用廠與8表示出|加+

≡+3MC∣,即可求出答案.

本題考查了向量模長的最值問題，建立合適的坐標系，利用參數(shù)法求解是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：???Zi與Z2是共輾復(fù)數(shù)(虛部均不為0)，

?,?設(shè)Zl=Q+bi,z2=CL-bi(a,b∈/?),

對于4???zg=(Q+bi)2=小_爐+2Q63復(fù)數(shù)不能比較大小，故A錯誤；

22

對于氏Z1Z2=?z1z2?=a+bf故8正確；

對于C,z1+Z2=abi+a—bi=2aERf故C正確；

222

對于C,1=學(xué)=(￡?=1二當(dāng)+鼻1不一定是實數(shù),故。錯誤.

2λl

Z2a-bι(α+hι)(α-hi)a+b^a+b

故選：BC.

由Zl與Z2是共軌復(fù)數(shù)設(shè)Zi=α+bi,z2=a-bi(a,bER),利用復(fù)數(shù)的運算法則及其相關(guān)概念逐

一判斷各選項即可.

本題考查復(fù)數(shù)的運算法則、共挽復(fù)數(shù)的定義、模的計算公式，還考查了推理能力和計算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：11,SC=α>CA-K-

AD——AC+CD———CA+—CB=—b——Q>故選項A正確，

JE=BC+CE=BC+^CA=a+^h,故選項B正確，

AB-AC+CB——e-ɑ-CF=CA+AF=CA+∣AS=δ+∣(-K-α)=—^α+∣h,故選項C

正確,

fT≈∣CF=-∣α.故選項Q錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)已知條件，運用向量的線性運算公式，即可求解.

本題考查了平面向量的線性運算，考計算量，難度系數(shù)低，屬于基礎(chǔ)題.

Il.【答案】AB

【解析】解：V(2a—b)cosC=ccosB,?(2sinA-sinB)cosC=SinCcosB,

:?2sinAcosC=SinBcosC+cosBsinC,^2sinAcosC=Sin(B+C),

???2sinAcosC=SinA.

??,在AABC中，sinA≠O,?cosC=?,?C=60o,A正確，

由余弦定理C?=α2+e2—IabcosCy得49=64+e2—2×8bcos60°,

即接一8b+15=0,解得b=3或b=5,又bV4,??.b=3,C錯誤，

???ΔABC的面積S=?absinC=gx8x3x?=6√^^3-B正確，

又???cos4='+c2-tt2=匕竺Z竺＜0,.?.i4為鈍角，AABC為鈍角三角形，力錯誤.

2bc2×3×7

故選：AB.

先利用正弦定理化簡，整理后可求出角C判斷4,利用余弦定理判斷CO,利用三角形的面積公式判

斷B.

此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，屬于中檔題.

12.【答案】I

【解析】解：設(shè)五，3的夾角為仇

V∣2α+h∣=2Λ∏3).?.4α2+4α?fa+=52-

即4x9+4x3x2xcosθ+4=52,解得CoSO=?,

Vθ∈[0,7Γ],

.??θ=≡

故答案為：

設(shè)落B的夾角為0e[0,捫，將|2五+B∣=2E兩邊平方后，代入數(shù)據(jù)進行運算即可得解.

本題考查平面向量的數(shù)量積運算、模長問題，解決模長問題常見的方法是平方處理，考查學(xué)生的

邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】IOO

【解析】解：???上底的邊心距為1,

下底的邊心距為4,

高是4,

二斜ι?為，42+32=√25=5，

故側(cè)面積等于4X竽X5=100.

故答案為：100.

利用高、斜高、兩個對應(yīng)的邊心距構(gòu)成一個直角梯形，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出斜高，

代入側(cè)面積公式運算.

本題考查正棱臺的側(cè)面積求法，是基礎(chǔ)題.解題時要認真審題，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求

出斜高是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】?

O

【解析】解：ZkABC中，?BAD=Z-DAC=60°,如圖所示;

?SAABD_乞8/06.60。_竺_

“SΔACD-?AC?ADsin6Qo~AC~31

由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cosl20o,

.?.^-AC2+AC2+^AC-AC=49.

解得AC=3,

???AB=5；

o

.?.SΔABC=^AB-AC-sinl20=gx5x3x噂=

AZtQL2224

-

CIAnAΓ??才CO1/LΛΓ?515λ∕3

:?S*BD=彳/B,AD?sιτι60=?×5×AD×—∑-=τ-?×-τ—?

LLLJ十54

解得/W=?.

O

故答案為：y.

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求得要的值，

再利用余弦定理求得AC、AB的值，

最后利用三角形的面積公式求得4。的值.

本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

15.【答案W

【解析】解：如圖，設(shè)正方形紙片為AlBlClD1，其內(nèi)的小正方形為力BCD,做成的正四棱錐為P-

ABCD,

取DIG，AD的中點分別為H,G,連接DiG,DH,

由題意80=2,A1D1=4,由對稱性可知DH=1,D1H=2,

22

???DDI=√^^5..?.D1G=√DDl-DG=J5-(?)=?-

即在正四棱錐P-ABCD中，PG=若，

又。G=；AB=?，.?.PO=√PG2-OG2=fJ-(?=2-

??.正四棱錐P-4BCD的體積為U=ISABCDXPO=WX(，可×2=

故答案為空.

設(shè)正方形紙片為必&(71。1,其內(nèi)的小正方形為4BCD,MXD1C1,40的中點分別為H,G,連接。道，

DH,由對稱性知IDH=1,從而求出。H=I,從而求出DGI的長，從而得到正四棱錐的斜高，從

而可求出其高，進而得到該正四棱錐的體積.

本題考查正四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查

運算求解能力，是中檔題.

16.【答案】(1)證明：?.?BD=BC+CD=5e^+5e;=5AB,

又荏為非零向量，

.?.彳耳與前共線，

即4B,D三點共線；

(2)解：?.?∕c%+與與％+k與平行，且兩向量都為非零向量，

.?.存在實數(shù)4使得ke；+e;=λ(e;+k司成立，

即(k-4)百=(3―1)石，

Ci和02不共線,

(k-λ=O

"Ufc-I=O'

：?k=±1.

【解析】(1)由向量的運算，證明荏與前共線即可；

(2)由題意可得：存在實數(shù)；I使得k可+石=4回+k的成立，即(k-QK=(以一1)名，即

(Λ∕7-Γ=°0-然后求解即可?

本題考查了向量的運算，重點考查了共線向量，屬基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(I)；ABCD-AB'C'D'是正方體，

.?.A'B=A'C=A'D=BC=BD=CD=√^^ɑ.

二三棱錐4—BC'D的表面積為4XTXy∕^-2aXX√-2α=2√-3α2

(H)三棱錐4-ABD,C'-BCD,D-A'D'C',8—4'B'C'是完全一樣的.

itQ3

故％-8C，D=Y正方體一^A'-ABD—?-

【解析】(I)可得48=A'C=A'D=BC=BD=C'D=Ca,然后算出答案即可；

(Il)利用以，-BC，D=%F方然一4%,TBD算出答案即可.

本題主要考查錐體體積的計算，錐體表面積的計算等知識，屬于中等題.

18.【答案】解：（1）由己知條件得bsin歿=bsin衛(wèi)U=QS）B,

由正弦定理得S譏BCoSS=SmASmB,

因為SmB≠0,

所以COSS=sinA=2sin?cos^,

因為cos?≠0,

所以SinS=∣,

又0Vi4Vττ,OVSV5，

所以?=%可得

LOJ

（2）由三角形面積公式得SMBC=；X*α=亨α,

C1..π3V~3

SbABC=5X6zXCXSln§=~~2~C9

所以學(xué)α=*c,可得α=2c,

42

由余弦定理得ɑ?=36+c2-6c,將α=2c代入可得C?+2c-12=0,

解得C=√13—1,或—V13—1（舍去），

故C=

【解析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變形即可求解；

（2）利用三角形面積公式和余弦定理求解即可.

本題主要考查了正弦定理,三角恒等變形,三角形面積公式和余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,

考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）設(shè)圓錐的高為九，由于圓錐的底面半徑為6,其體積為96τr,

.?.K=?×7τ×62h=96π,解得h=8,

則圓錐的母線長為，=√h2+r2=10.

二圓錐的側(cè)面積為S=πrl=60/r；

（2）如圖所示,

當(dāng)球為圓錐的內(nèi)切球時，球的半徑最大，

由圖象知，??p解得R=3,

???圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為V='2=36π

【解析】(1)設(shè)圓錐的高為九，根據(jù)題設(shè)條件求得h,進而得到母線長，再利用圓錐的側(cè)面積求解;

(2)由球為圓錐的內(nèi)切球時，球的半徑最大求解.

本題考查圓錐體積，側(cè)面積的求法，以及球的體積計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由已知圖形可知,A(-2,0),β(2,0),C(-1,ΛΓ3):

(2)由(1)知，CA=(-l,-√3).CB=(3,-√3).

則成方=(+，-9).

VACB-3ι

ΛCOSCC=-=z-==r=-==--==—

?P