新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊線面垂直證線線平行和垂直2種題型 同步講義

29、線面垂直證線線平行和垂直2種題型

【題型目錄】

題型一：線面垂直的證線線平行

題型二：線面垂直的證線線垂直

【典型例題】

題型一：線面垂直的證線線平行

【例1】在正方體ABC。-AqGA中，直線/（與直線8B∣不重合）_L平面ABCZ）,則有（）

用與/異面與與/相交

A.BBtIlB.BBi∕/1C.8D.B

【答案】B

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：因為/1平面A8C。，且8與J.平面A8C。，直線/與直線B片不重合，

所以四〃/.

【例2】在空間中，下列說法正確的是（）

A.垂直于同一直線的兩條直線平行B.垂直于同一直線的兩條直線垂直

C.平行于同一平面的兩條直線平行D.垂直于同一平面的兩條直線平行

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中線、面的位置關(guān)系理解判斷A、B、C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷D.

【詳解】垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，A、B不正確；

平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，C不正確；

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：D正確；

【例3】圓柱OP如圖所示，AC為下底面圓的直徑，OE為上底面圓的直徑，底面A8C,

證明：BP〃面AEC

E

【答案】證明見解析

【分析】連接3。，0E,0P,可證明四邊形PE05為平行四邊形，得至"PB//OE,再通過線

面平行的判定定理即可證明

【詳解】證明：連接B。，0E,0P,可得QPJL平面A8C,

：3。1平面ABC,.*.OPHBD,

■：OP=BD,.?.四邊形OPE)B為平行四邊形，.,.DPIIOB,；.PE"0B艮PE=0B,

，四邊形PEOB為平行四邊形，，PBHOE,

,.?OEU平面AEC,8P?t平面AEC,：.BPH平面AEC

【例4】如圖，已知多面體ABCDE,_L平面ABCQCL平面ABC,且A￡=DC=2,證明:

Ae//平面BED

【答案】證明見解析.

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)證得AE//QC，進而得AC〃即，再利用線面平行的判定推理

作答.

【詳解】因為AEj■平面ABCz）CJ?平面ABC,則AE//OC,又AE=DC`即四邊形ACoE

為平行四邊形，

因此AC//即，而ACZ平面BED,EDu平面四力），

所以AC7/平面BEr>.

【題型專練】

1.若。、6是空間中兩條不同的直線，則?！ㄘ暗某浞謼l件是（）

A.直線。、人都垂直于直線/B.直線〃、b都垂直于平面α

C.直線。、匕都與直線/成30。角D.直線。、人都與平面α成60。角

【答案】B

【分析】根據(jù)線線平行、線線角等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.

【詳解】A選項，。力都與/垂直，可能αlb,A選項錯誤.

B選項，都垂直于平面α,則a〃b,B選項正確.

C選項，a,b都與，成30。角，可能相交，C選項錯誤.

D選項，a,b都與平面α成60。角，可能〃為異面，D選項錯誤.

2.（多選題）已知ɑ,夕是兩個不同的平面，m,n,/是三條不同的直線，則下列命題中正

確的是（）

A.若C_L∕?,mua,nuβ,則機_L〃B.若m_La,n±a,則帆〃〃

C.若αβ=l,m//a,m//β,則〃?〃/D.若αβ=l,mUα,∏ιA-l,則/n-L∕?

【答案】BC

【分析】利用面面垂宜的性質(zhì)判斷選項A；利用線面垂直的性質(zhì)判斷選項B；利用線面平行

的性質(zhì)判斷選項C；利用線面垂直判定定理判斷選項D.

【詳解】選項A：若。，￡,∕nuα,nuβ,

則加〃〃或如〃相交或如〃互為異面直線.判斷錯誤；

選項B：若"J_￡Z,〃J_a,則判斷正確；

選項C：設(shè)平面ɑδ-a,znu5,又m"a、則加〃“

設(shè)平面尸y=b,muy,又相〃尸，則加〃

則又bu/3,α<z∕7,則α〃/，

又“uα,aβ=l,則.〃/,則M?〃/.判斷正確：

選項D：若ɑβ=l,mua,mil,則”?、戶的位置關(guān)系為相交，

當(dāng)且僅當(dāng)。，尸時〃?」尸.判斷錯誤.

3.在梯形ABCo中，ABCD,AB=2,CD=4,AD=BC=3,30與AE交于點G.如圖

所示沿梯形的兩條高AE,BF所在直線翻折，使得NZ）EF=NC尸E=90。.

⑴求證：AD^BC；

（2）求三棱錐C-BDG的體積.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理得到。EJ■平面ABFE,同理CFJ?平面AB戶E,即可

得到OE//CF,從而得到四邊形。CEe為平行四邊形，再證458為平行四邊形，即可得證;

222

(2)依題意可得力G=IAE,再根據(jù)匕-WG=KiQ=§匕is=IK-XE計算可得；

(1)

證明：DELEF,OELAE且EFAE=E,EF,AEu平面ABFE,

.?.QEJL平面A3EE,同理CF-L平面ABFE,DE//CF；

kDE=CF,二四邊形DCFE為平行四邊形，則有。C〃￡F且Z)C=EF；

又?AB//EF且AB=EF,：.ABHCDAB=CD

.?.四邊形ABC。為平行四邊形.

.?.AD//BC.

(2)

2

解：在梯形ABa)中，.ABHDE,Fl.AB=2DE,:.AG=2GE,則有AG=§AE,

又SAg=gx2xl=l，BF4BC--CF2=2√2

__2_2_21_4√2

??VC-BoG=VG-BCD=§VK-BCD=§^H-DCE=HADCE'BF=—~—"

4.已知空間幾何體ABa)E中，ABC,Ea)是全等的正三角形，平面ABCl平面BCD,平

面ECD，平面BCD.

(1)若BD=6BC=2丘,求證：BCLED；

(2)證明：AEHBD.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)由勾股定理逆定理得線線垂直，由面面垂直得線面垂直，再得線線垂直；

(2)分別取BC,OC中點M,N,由面面垂直得線面垂直，再得線線平行，證得平行四邊

形AMNE為平行四邊形后可得證結(jié)論.

(1)

因為ABC、ECD是全等的正=角形，所以CO=BC,

又因為BO=√∑BC=2√∑,所以=8。2+￡)。2,1?BC±DC,

因為平面ECDJ.平面BCD,旦平面EeD「平面Bco=CD,BCU平面BCD,

所以BC工平面ECZ),又因為JDEU平面EeD,

所以BCLED;

(2)

分別取BC,OC中點M,N,連接A",EN,MN,

因為ABC是等邊;角形，所以AMLBC,AM=BBC,

2

因為平面ABC_L平面88,AMU平面A8C,所以AM2平面88，

同理ENJ_平面8。￡>,且EN=3CD=立BC,

22

所以AM//EN,且AM=￡N,

所以四邊形AwE是平行四邊形，

所以AE〃MV,乂MNIlBD,

所以A￡V/B￡>.

題型二：線面垂直的證線線垂直

【例1】如圖，在三棱柱ABC-ABc中，AClBC,AC=CCt.

AC,

(1)記平面A/C與平面44G的交線為/,求證：/〃平面BCG4；

(2)求證：AC1AB1.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【分析】(1)由棱柱的性質(zhì)得BC〃6G，從而BC〃平面A4G，推導(dǎo)出BC〃/,山此能證明

〃/平面8CC4；

(2)連接AR,利用菱形的對角線相互垂直和已知條件得到線線垂直，再利用線面垂直的判

定定理得到AC?平面ABC，進而利用線面垂直的性質(zhì)證明AC±BC1.

【詳解】(1)由棱柱的性質(zhì)得BC//B1C1,

因為BCU平面ABC,與GU平面ABC,

所以BC//平面ABC，

因為BCU平面ABC,平面ABC與平面ABe的交線為/,

所以BC///,

因為∕0平面3CGq,BCU平面BCG耳，

.../〃平面3CG%

(2)連接AG,

由棱柱的性質(zhì)和AC=CC，得四邊形ACGA為菱形，

所以AG^ac,

因為AC_LBC且BC〃BC,

所以ACLAG，

又因為BClU平面AB￡,AGU平面AB1C1,

且8?AC,=C1,所以ACL平面

又因為A8∣u平面A&G，

所以AC

【例2】如圖，四棱錐S-ABCD中，AB//DC,CD=SD,SM=CM,平面SC。，平面SBC.

(1)求證：DMLBCi

(2)設(shè)86,4民43=9,3。=8=6,58=12,點α在棱48上，DN=2√13,求多面體OSAN

的體積.

【答案】（1）見詳解

（2）2l√3

【分析】（1）利用線線垂直的判定定理證明即可（2）過S作SMLCD的延長線交于點尸，

連接AF,在過。作DE2A3交48于點E,結(jié)合（I）的結(jié)論，找出四面體的高和相應(yīng)底面

圖形的面積，代入公式計算即可

【詳解】（1）因為CD=SASM=CM

所以SCD為等腰三角形，M為SC的中點

所以Z）M_LSC,

山平面Scn，平面SBC,且平面SCO1平面SBC=SC

又DWU平面SeD

所以DM2平面SBC

所以r>M_L8C.

（2）因為AB〃OC,BC

所以BCLCZ）

由DW_L3C,CDCDM=D

所以BC上平面SCD

所以5C_LSC.

因為8C=6,SB=12

所以SC=4SB2-BC2=√I22-62=6√3

過S作SMLCD的延長線交于點尸，連接AF,

在過。作Z）E14?交AB于點E，如圖所示，

所以BCLS/7∏.BCnCD=C

所以S尸，平面ABCF,SFlAF

所以即為四面體DSAN的高

又由A3〃OCBC_LA3,BC=CD=6

所以四邊形8。E為正方形，四邊形ABCF為矩形,

所以C∕7=AB=9.AE=3,DE=6

所以在直角VADE中,AD=y∣AE2+DE2=√32+62=3√5

AE31

所以cosZDAB=cosZDAE==—J==-=

AD3√5√i5

在aSDC中，CD=SD=6,SC=6√3,

所以SM=CM=LSC=3有

2

在aADN中，由ON=2√il

AD2+AN2-DN21

所以cosNDAE=cos4DAN=------------------------=-=

2AD.AN√5

將。N=2?√m,Ao=3百代入計算得：AN=7

所以SAZW=gxANXz）E=gx7x6=21

在直角AS/7。中，DF=CF—CD=AB-CD=9—6=3

SF=yjSD2-DF2=√62-32=3√3

所以％w=%孫M=gxS,曲xSF=gx21χ36=216

即多面體DSAN的體積為21√5.

【例3】在三棱錐P-ABC中，A3C為等邊三角形，以，平面ABC,將三角形∕?C繞外

逆時針旋轉(zhuǎn)至必。位置（如圖），且二面角。-融-8的大小為90。.

（1）證明：A,B,C,。四點共面，且4）_LP3；

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）利用反證法，假設(shè)ABCD四點不共面，進而證明假設(shè)不成立；再通過證明45，

平面3β,可通過線面垂直證明得到線線垂直.

【詳解】（1）證明：PA_L平面ABC,且Ar）U平面A3C,ACU平面ABC,

.?.PAVAC,PAA,AD,AC,A。U平面AcD,

又ACFo=A,.?.∕?，平面AC。，假設(shè)ABCZ）四點不共面，

上4_L平面ABC,∕?_L平面AcD,，平面ABC〃平面ACD,

與平面ABCC平面ACD=AC矛盾，故ABCD四點共面；

又因為AB"LPA,AO?LPA,所以NBAD為二面角。一抬一8的平面角，.?.ZβAD=90,即

ADJ.AB,又抬_14￡）,且丑4門43=4PA,ABU平面PAg..?.4￡），平面孫8,

又PBU平面BAB，..ADA.PB

【例4】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCf）為菱形，ZABC=60。，又PA，底面ABCD,E

為BC的中點.

（1）求證：ADVPE-,

（2）設(shè)尸是PZ）的中點，求證：CF平面P4E.

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析

【分析】⑴由題意可得AELBC,根據(jù)BC〃AC,推斷出AELA。，5LPAYAD,進而根據(jù)

線面垂直的判定定理證出AOL平面PAE,最后利用線面垂直的性質(zhì)可得ADLPE-,

（2）取AD的中點G,易得fG〃以，CG//AE,即可證明平面CFG〃平面以￡,進而可得

CF〃平面PAE.

【詳解】（1）因為底面ABCZ）為菱形，NABC=60。，且E為BC的中點，所以AEJ_8C.

XBC//AD,所以AE_LAD.

又R4_L底面ABC。,4。（=底面488,所以B4_LA￡>.

因為AEU平面「AE,PAu平面PAE,PAcAE=A,所以AD_L平面附￡,

QPEU平面Q4E，所以4D"LPE.

（2）取AO的中點G,連接尸G,CG,

G,尸是中點，.?.FG"E4,CG//AE,

FG//PA,FGa平面R4￡,PAU平面R4E，?FG./5FMPAE,

CG//AE,CGa平面月4E,AEU平面Q4E,，CG，平面R4E,

又FGU平面C∕7G,CGU平面CFG,FGCCG=G,

平面CFG，平面RAE,

QC尸U平面CFG,.?.CF。平面PAE.

o

【例5】如圖，三棱柱ABC-A14C∣中，ZC4B=90,AB=AC=AiB=AyC=242,M=2,

點M,尸分別為BC,4用的中點，點E為AM的中點.

⑴證明：ΛA,1BC；

（2）證明：EF//平面BCC蜴;

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一定理及線面垂直的判定定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)

定理即可求解；

（2）利用三角形的中位線定理及平行四邊形的判定和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求

解：

【詳解】（1）AB=AC,點M為8C的中點.?.AVLBC

同理AMLBC,AMCAM=M,AM,AlMu平面AAM,

.?.BCl.平面AAM,

.AA1U平面AAM

.?.AA1IBC

（2）取BM中點為G,連接EG、B1G,

則EG〃A8,4B〃4用，所以EG〃4內(nèi)

又EG=gA8=gΛ1B∣=F旦，

所以四邊形EG男尸為平行四邊形，所以EF"B∣G

而耳G在平面BCGg內(nèi)，E/在平面BCG4外，

故E∕:7∕平面BeGB-

【例6】如圖，在長方形ABC。中，AB=2√2，AD=歷,M為OC的中點.將ZMZ加沿AM

折起得到四棱錐。-ABCM,且=#.

D

DMC

⑴證明：ADYBM-,

(2)若E是線段上的動點，三棱錐E-A。M的體積與四棱錐。-ABCM的體積之比為1：

【答案】(1)證明見解析；(2)3：4

【分析】(1)由線面福直的判定定理證明AD，平面8。M后可得線線垂直；

(2)先證明8"上平面4W,得平面4W_L平面ABCM,取AM中點M連接。M證明

DE

ONl平面ABCM,可計算出四棱錐D-ABCM的體積，設(shè)==義，則E到平面AOAZ的距

BD

圈為入BM=2入,計算出三棱錐E-ADM的體積，再由已知比值求得2.

【詳解】(1)AB=2√2.AZ)=√2.BD=√6,滿足A。?+BD?=AS?，?'?ADIBD,

VADLDM,BDcDM=D,BD,。Mi平面BOM,；.AD1.平面BDM,

,/BMU平面BDM,：.ADkBM.

(2)BM=AM=7(√2)2+(√2)2=2，BM2+AM2AB2>BMVAM，

由(1)得AO_LBW,

,/AMAD=A,AM,A。U平面ADM,二BWJ,平面4W,

,.?BMU平面ABCM,平面ADM±平面ABCM,

取AM中點N,連接DM

VAD=DM.：.DNlAM,平面ADM、平面ABcM=AMDN工平面AfiCM,

??^D-ABCM=?SABCWDN=?×-×(Λ∕^+2>∕Σ)X?J?.Xl=1,

DE

設(shè)==4,則E到平面ADW的距離為aEW=22,

BD

:?vE-ADM=∣5ΔAOΛ/?22=gxgχ2xlχ22=,,

2213

VVE_^:VD_4/?GW=1:2,>--=-，解得

DF3

J當(dāng)今==時，三棱錐石-4)河的體積與四棱錐0-ABCM的體積之比為1：2.

BD4

D

【例7】如圖，四棱錐尸―ABCO中，底面ABez）為矩形，A8=8,ΛD=4√3,側(cè)面B4。為

等邊三角形，并且與底面所成二面角為60。.

⑴求四棱錐尸-ABCD的體積；

（2）證明：PAlBD.

【答案】（1）96；（2）證明見解析.

【分析】（1）過點P作底面的垂線，根據(jù)二面角求得尸O,再結(jié)合棱錐的體積公式即可求得

結(jié)果；

（2）利用三角形相似證明3D垂直于AP在底面的投影，再利用線面垂直，即可證明線線垂

直.

【詳解】（1）取AD的中點為E,連接PE,過P點作底面的垂直，垂足為。，連接OE,如

因為三角形小。為邊長的等邊三角形，故可得ADLPE,且PE=6；

又P0_L面ABcQU面ABCz）,故LPO,又PEcPO=P,

故AOL面POE,又EoU面POE,故AQ_LE0：

又面PADnABCD=AD,PEU面PAD,EOU面ABCD,

則/PE。即為PEO與底面所成二面角的平面角，即NPEo=60。，

故PO=PEXSin60。=3√J,

則四棱錐KrBCD=gX8X4√JX3/=96.

（2）連接A。，延長A。交期9于點尸，如下所示:

因為AE=2石，AB=8，ΛO=√Λ42-PO2=√48-27=√2?-

BD=>]AB2+AD2=√64+48=√∏2，

o

則絲=姐=且故△AEO?BAD,ZEAO=ZABD,ZOAB+ZFBA=9Q,ZAFB=90°,

ABBD4

即Ao_L8￡>,又POJ∕tfijA3Cr>,3OU面48C。，故3DJ_PO；

4。CPo=O,AO,POUffifPAO,故5￡>1_面24。，又PAU面PAO，故3￡)_LP4.

【題型專練】

1.如圖，在四棱俳P-ABco中，R4，底面ASCr>,底面ABCD為正方形，AB=JR4=2.

⑴求證：AB1PD；

（2）求三棱錐C-PBD的體積.

【答案】（D證明見解析

⑵g

【分析】（1）證明A32平面PAO后可得證線線垂直；

（2）由棱錐體積公式計算.

【詳解】（1）V∕?±J?≡ABCD,43匚平面480）,；.以_143,

又；底面ABC。為正方形，,AO1Λβ,

又BAcAD=A,PA,AoU平面以。，，AB2平面PAO，

又Pf）U平面PAD,ΛABI.PD；

（2），平面ABCz）,.?.R4是三棱錐P-BCD的高，

Vcpbd=VpBCD=-×?-×BC×CD?×PA=-.

C,-ΓDDt-til-Lf??2)?

2.如圖，在四棱錐P-ABC。中，.RM)為正三角形，NBA。=NCDA=60。，且

2

CD^-AD^2AB,M為PC的中點，

(1)平面PABC平面PC。=/,求證：∕LAE>.

(2)求證：BM〃平面ΛW.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)由線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證明；

(2)由線面平行的判定定理證明，

【詳解】(1)證明：延長AB,CD交于E,連尸E.

已知Pe面R4B，Pe面PC。，又ABCCr>=E,.?.Ee面R4B且EW面Pa)

二面A4BC面Pa>=PE,直線PE即為直線/

要證/_LAO,即證尸

取點0,由已知,.小￡>與VAr)E均為正三角形，

.-.POLAD,E01AD,POcEO=O,

PoU面PE0,EOU面PEO,

.?.AD±≡PEO,QPEU面PE0,.-.ADYPE,:.l±AD.

(2)證明：延長BC交A。于F,連尸F(xiàn),

設(shè)AD=3,由已知8E=2,CE=I,ZBEC=60°,

由余弦定理知BC=6，.?BC1DE,..NEBC=NFBA=30。,且NE48=120。,

.?.ZAFB=30o,BF=B.?BF=BC

PM=MC..?.8W〃尸產(chǎn)且BM=；尸產(chǎn)

PFU面PA￡),BMC面PAz),BM//面以”

3.如圖，四面體488中，ADVCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為力C的中點，且平

面ZMCJ?平面ABC,若AB=2,ZC4β=60o.

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明aAB/左ZXCBO,得到AB=CB,結(jié)合等腰三角形三線合一

得到垂直關(guān)系，結(jié)合線面垂直的判定定理，得到AC_L平面BED，最后即可證明ACIBD；

【詳解】（1）因為AD=CO,E為AC的中點，所以ACLDE：

在Z?ABD和ACBD中，因為AO=CD,AADB=NCDB,DB=DB,

所以注ACBO,所以ΛB=CB,又因為E為AC的中點，所以ACj_3E；

又因為。后,8￡：匚平面8￡￡）,DEcBE=E,所以ACJ■平面BE￡）,

因為8￡>u平面BEr），所以，AClBD.

4.如圖，AB是圓O的直徑,點P在圓。所在平面上的射影恰是圓O上的點C,且AC=23C,

點D是R4的中點，PO與8。交于點E,點尸為PC的中點，且PC=AS=2.

(1)求證：BCVPA-,

(2)求三棱錐P-BEF的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)—

45

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明出BC_L平面PAC,即可得到BC_L%；(2)利

用幾何關(guān)系判斷出力一詆=:匕”。，再求出力一砂即可.

(1)

因為點P在圓。所在平面上的射影恰是圓。上的點C,

所以PCjL平面ABC.

又因為BCU平面A8C,所以PCLBC.

因為AB是圓O的直徑，所以3CLAC.

又PCAC=C,PCu平面PAC,AeU平面PAC,

所以BC_L平面R4C.

又PAU平面PAC,所以3CLP4.

(2)

在aPAB中，點C是R4的中點，點。是A8的中點，PO與BD交于點、E,

PE2

所以E為鉆的重心，則為=丁

PF1

因為點F為PC的中點，所以,=］，

V21?

所以旨L=

,dPOCJL3

所以心的=VB-PEF=與m=J∏∏v-Iy

"I以U7??>b∣jvP-BEF~?γP-BOC-

vP-BOCvB-POCo?P(7Cj3

在∕?ΔABC中，ZACB=90。,AB=2,AC=23。,

24

由勾股定理AC?+BO?=AB?可得：ΛC2+4AC2=22>^:AC=不，BC飛

1412

VXS^ABC=—AC×BC=—,貝IJSΛBAC=—SAABC=—

1124

所以LM?=gS△皿?PC=mXgx2=κ

14

1v

所以-八匕r>—DBEEFF=3~r-Pt>UBLOC4=5--

5.如圖，桌面上擺放了兩個相同的正四面體小的和QA8C.

（2）若A8=4,求四面體APQB的體積.

【答案】（I）證明見解析

⑵亞

9

【分析】（1）連接CZ）與AB相交于點。，證得。為AB的中點，連接PO,QO,利用線面垂

直的判定定理證得AB，平面POQ”即可得到PQ?LAB；

（2）過點P,Q分別作尸片，C3,QQ∣_LCO,得到匕口分別為4ΛBZ）和，ABC的中心，分別

求得心,P。,OA的長度，結(jié)合4。，平面尸。Q,及匕W=2匕J?！?即可求解.

【詳解】（1）證明：因為AABO與ABC共面，所以連接CD與AB相交于點。，

因為以的和QA3C是相同的正四面體，所以四邊形AC8。為菱形，則。為AB的中點，

連接PO,QO,因為P4=P8,QA=QB,所以PO,A8,QOLAB.

又因為PoQO=O,PO,QOu面尸OQ,所以ABj_平面PoQ,所以PQLAB；

（2）在四邊形。尸QC中，過點P,Q分別作尸片_L8,QQ，CD,垂足分別為qQ∣,

如圖所示，可得4,。分別為等邊△AB3和等邊CABC的中心，

因為Aβ=4,在等邊AABD中，可得OD=26,則。I=竽，0勺=半，

在直角PA中，可得代=J"-D甲=乎,

同理可得OQl=冬叵，所以PQ=4Q∣=0Q∣+。勺=華，

由（1）知，AB，平面PoQ,可得AoJ?平面PQ2,

所以匕尸。=2%ZW=2?!XSPOOXoAXZL迪.

-

Λ~r?^ifArc√y3?c√y32339

6.如圖，三棱柱A8C-A4G的側(cè)棱與底面垂直，AC=2,BC=2√3,AB^4,AAt=2,

（2）求三棱錐￡-8瓦的體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵空

3

【分析】（1）山己知得CGJLAC,AC，BC,從而ACJ_平面BCC4,而又BCU平面BCCtBt,

故ACL3C；

（2）由（1）知，AC_L平面BCG與，然后利用等體積法求三棱錐G-CD片的體積.

（1）

：CC∣_L平面ABC,ACU平面ABC,二CG_L4C

又AC=2,BC=2√3,AB=4,；?AC2+BC2=AB2,二AC±BC

又CGBC=C,CCU平面BCC百，BCU平面BCCS

ACJ_平面BCG瓦

又BCU平面BCG8∣,.?.AC,B∣C.

（2）

山（1）知Ael■平面BCG4，.?.點A到平面CG用的距離為AC

ΛΓ

又。是AB的中點，二點D到平面CC1B1的距離為券=1

,

??SΔC^=→2√3×2=2^

???K.-CDB=VDCCB=Lχ26Xl=空

CjCΛZD∣力3'3

7.如圖,在四棱錐P-ABC。中，平面BAD_L底面ABC。，CD//AB,PA=PD=AD=DC=I,

AB=A,ADAB=60°.

⑴證明：BDLPA-,

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)利用余弦定理和勾股定理，證明LAD,根據(jù)平面皿>，平面ABCZ),平面

PADo平面ABCD=AD,即可證明BD_L平面PAD,進而可證明BQJ_%

(1)

證明：在四邊形ABCD中，因為。〃48,AD=2,AB=4，ADAB=GOo,

由余弦定理得，BD2=AD2+AB2-2-AD-AB-cos60o,解得臺。'⑵

所以AZ)2+BZ)2=AB?,即8D"LAD,

因為平面24￡>，平面ABCr),平面R4f>c平面A8CD=AD,89U平面

所以BOJ_平面P4O，

又因為以U平面尸AO,

所以%>_LB4.

8.在三棱錐P-ABC中，AC=BC,PA=PB,D、E分別是棱BC、PB的中點.

⑴證明：AB1PC；

(2)線段AC上是否存在點F,使得A￡//平面PDF?若存在，指出點F的位置；若不存在,

請說明理由.

【答案】(1)證明見解析；

(2)存在，當(dāng)AC上的點/滿足C二F=2.

【分析】（I）取A3的中點H，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理作答.

（2）AC上的點尸滿足g=2,連CE,借助三角形重心定理，利用線面平行的判定推理作

AF

答.

【詳解】（1）取AB的中點“，連接P”，CW,如圖，因AC=BC,∕?=P5,則CHj

而CHU平面P"C,PHU平面PHC,CHCPH=H,于是得AB工平面,又PCU平

面PHC,

所以ABPC

（2）當(dāng)AC上的點/滿足工=2時，AE〃平面PZW

連接CE交尸。于G,連接FG,D、E分別是BC、PB的中點，

則6是4PBC的重心，仃∕τ^=