2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第十章 第5節(jié)　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 作業(yè)

第5節(jié)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

課時作業(yè)靈活分層，高效提能________________________

［選題明細(xì)表］

知識點(diǎn)、方法題號

分布列性質(zhì)、數(shù)字特征及性質(zhì)1,2,4

離散型隨機(jī)變量的期望與方差3,5,6,7,10,11

綜合應(yīng)用8,9,12,13,14

ΓA級基礎(chǔ)鞏固練

1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X012

1

P0.5l-2q

則p(?/滅∈Z)等于(A)

A.0.9B.0.8C.0.7D.0.6

解析：由分布列的性質(zhì)得0.5+l-2q+∣q=l,

解得q=0.3,

所以P(√^∈Z)=P(X=O)+P(X=I)=O.5+1-2X0.3=0.9.

2.(2022?陜西寶雞二模)已知隨機(jī)變量X,Y滿足Y=2X+3,Y的期望

E(Y)=(X的分布列為：

X-101

1

Pab

2

則a,b的值分別為(C)

A.ag,b三B.a=[,b=

ll31

Cr.a=-,bu=-Dn.a=-,ub=-

3688

解析：因?yàn)镋(Y)=2E(X)+3=∣,所以E(X)=T

(11

-l×-+0?α+l?h=--

則有《23

3+α+b=1,

解得a),b=-.

36

3.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時.,就

說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是(B)

1332

RC

--1-

224D.3

解析:X的可能值是0,1,2,同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣向上的面的

情形有:正正,正反,反正,反反,其中有3種說明試驗(yàn)成功.因此一次

試驗(yàn)成功的概率P=f,P(X=0)=(l-∣)?,

4416

P(X=I)=2XW,

448

P(X=2)=(-)2A

416

所以E(X)=1×∣÷2×?=1.

8162

4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=三(k=l,2,5),a∈R,E(X),D(X)

分別為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差,則下列結(jié)論正確的是(C)

A.P(0<X<3.5)=∣B.E(3X+2)=7

C.D(X)=2D.D(3X+1)=6

解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=-?(k=l,2,5),由分布列的

k+1

性質(zhì)可知，

P(X=I)+P(X=2)+P(X=5)=-+-+-=l,解得a=l.P(0<X<3.5)=P(X=I)+

236

P(X=2)=:+j=?∣,故A不正確；因?yàn)镋(X)=IX：+2X；+5X所以

236236

E(3X+2)=3E(X)+2=3X2+2=8,故B不正確;D(X)」義(l-2)2+i×(2-2)2+

23

7×(5-2)2=2,故C正確；因?yàn)镈(X)=2,所以D(3X+1)=9D(X)=18,故D不

6

正確.

5.(多選題)設(shè)O<a<l,則隨機(jī)變量X的分布列是

X0a1

111

P

333

則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時，(AD)

AE(X)增大

B.D(X)減小

C.D(X)先增大后減小

D.D(X)先減小后增大

解析：由分布列得E(X)=O義沁?；+1乂/a+g所以當(dāng)a在析1)內(nèi)增

?????

2

大時，E(X)增大，故選項(xiàng)A正確.D(X)=[θ-?a+飄η×∣+[α-(∣α+

|)]2×∣+[l-(^+?)]2×∣=∣(a2-a+l)=∣[(α-∣)2+!|，當(dāng)O<a<??,D(X)

減小；當(dāng)"a〈l時,D(X)增大,所以D(X)先減小后增大,故選項(xiàng)D正確.

6.一臺機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元,生產(chǎn)

出一件乙等品可獲利30元,生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機(jī)器

生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1,則這臺機(jī)器

每生產(chǎn)一件產(chǎn)品,平均預(yù)期可獲利元.

解析：由題意可得,設(shè)這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X,則X可能取

的數(shù)值為50,30,-20,所以X的概率分布為P(X=50)=0.6,P(X=30)=

O.3,P(X=-20)=0.1,所以這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利

50X0.6+30X0.3-20×0.1=37(元).

答案：37

7.某日A,B兩個沿海城市受臺風(fēng)襲擊(相互獨(dú)立)的概率相同，已知A

市或B市至少有一個城市受臺風(fēng)襲擊的概率為0.36,若用X表示這一

天受臺風(fēng)襲擊的城市個數(shù),則E(X)=.

解析:設(shè)A,B兩市受臺風(fēng)襲擊的概率均為P,則A市和B市均不受臺風(fēng)

襲擊的概率為(l-p)2=l-0.36,解得p=0.2或p=L8(舍去),則P(X=O)=

1-0.36=0.64,P(X=I)=2×0.8×0.2=0.32,P(X=2)=0.2X0.2=0.04,所

以E(X)=OX0.64+1X0.32+2X0.04=0.4.

答案：0.4

8.已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，

X012

Pb^aba

則a+b的取值范圍是,D(X)取最大值時a的值為

解析:依題意(b-a)+b+a=l,解得b??

又［fθθ≤≤α*≤l≤,l所以ZaW1

所以gWa+bWL

E(X)=b+2a=∣+2a,D(X)=E(X2)-(E(X))2=∣+4a-(∣+2a)2=-4(a-?)2+∣,所

以當(dāng)a=；時,D(X)取得最大值"

42

答案?

24

9.(2023?北京模擬)某商家為了促銷,規(guī)定每個消費(fèi)者均可免費(fèi)參加

一次抽獎活動,活動規(guī)則如下:在一不透明紙箱中有8張相同的卡片，

其中4張卡片上印有“幸”字,另外4張卡片上印有“運(yùn)”字.消費(fèi)者

從該紙箱中不放回地隨機(jī)抽取4張卡片,若抽到的4張卡片上都印有

同一個字,則獲得一張10元代金券;若抽到的4張卡片中恰有3張卡

片上印有同一個字,則獲得一張5元代金券;若抽到的4張卡片是其他

情況,則不獲得任何獎勵.

⑴求某個消費(fèi)者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上都印有“幸”

字的概率；

(2)記隨機(jī)變量X為某個消費(fèi)者在一次抽獎活動中獲得代金券的金額

數(shù),求X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)該商家規(guī)定,消費(fèi)者若想再次參加該項(xiàng)抽獎活動，則每抽獎一次需

支付3元.若你是消費(fèi)者,是否愿意再次參加該項(xiàng)抽獎活動?請說明

理由.

解：⑴記“某個消費(fèi)者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上都印有'

幸'字”為事件A,

則P(A)????,所以某個消費(fèi)者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上

都印有“幸”字的概率為高.

(2)依題意隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,5,10,則P(X=O)=萼

?o??

以禺+C犯116以C?+C?C：_1

P(X=5)=,P(X=IO)=.

Cg35Cg35

所以X的分布列為

X0510

18161

P

353535

所以E(X)=IO><三+5X竺+OX竺=竺.

3535357

⑶記隨機(jī)變量Y為消費(fèi)者在一次抽獎活動中的收益,則Y=X-3,所以

E(Y)=E(X-3)=E(X)-3=^-3=-f<0,所以我不愿意再次參加該項(xiàng)抽獎

77

活動.

綜合運(yùn)用練

10.(2022?河南鄭州二模)甲、乙、丙三人參加某比賽三個賽區(qū)的志

愿服務(wù)活動,若每人只能選擇一個賽區(qū)，且選擇其中任何一個賽區(qū)是

等可能的.記X為三人選中的賽區(qū)個數(shù),Y為三人沒有選中的賽區(qū)個數(shù),

則(D)

A.E(X)=E(Y)jD(X)=D(Y)

B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)

C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)

D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)

解析：由題意得X的可能取值為1,2,3,

則P(X=l)=f∣=∣,P(x=2)=誓=；,

3093°3

P(X=3)=?=j,所以E(X)=I義；+2義∣+3P蕓D(x)=(l-?2×∣+

3399399v979

(2-?2×∣+(3-?2×f=^>Y=3-X,所以E(Y)=3-E(X)=3-篝

93998199

D(Y)=D(X)卷,

81

所以E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).

11.(多選題)已知A=B={1,2,3),分別從集合A,B中隨機(jī)取一個數(shù)a,b,

得到平面上一個點(diǎn)P(a,b),事件“點(diǎn)P(a,b)恰好落在直線x+y=n上”

對應(yīng)的隨機(jī)變量為X,P(X=n)=P,,,X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X),

D(X),pl∣J(BCD)

A.P1=2P2B.P(3≤X≤5)=^

9

C.E(X)=4CD(X)W

解析：因?yàn)锳=B={1,2,3},點(diǎn)P(a,b)恰好落在直線x+y=n上,所以X的

值可以為2,3,4,5,6,而從A,B中分別任取1個數(shù),共有9種情況，

所以P(X=2)AP(X=3)=",P(X=4)3,P(X=5)=-,P(X=6)=ξ

999399

對于A,P4=3P2,故A不正確；

對于B,P(3≤X≤5)=-+i+-?故B正確；

9399

對于C,E(X)=2×-+3×-+4×-+5×-+6×L至=4,故C正確；

993999

對于D,D(X)=(2-4)2×~+(3-4)2×-+(4-4)2×-+(5-4)2×-+(6-4)2X

993993

故D正確.

12.某實(shí)驗(yàn)測試的規(guī)則如下:每名學(xué)生最多可做3次實(shí)驗(yàn),一旦實(shí)驗(yàn)成

功,則停止實(shí)驗(yàn),否則做完3次為止.設(shè)某學(xué)生每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為

P(O<p<l),實(shí)驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.39,則P的

取值范圍是.

解析：由題意得X的所有可能取值為1,2,3,

P(X=l)=p,P(X=2)=(l-p)p,P(X=3)=l-p-(l-p)p=(I-P)；

所以E(X)=I?p+2X(l-p)p+3×(l-p)2=p2-3p+3,

令E（X）=P2-3p+3>l.39,解得p<0.7或p>2.3,又因?yàn)?<p<l,所以

0<p<0.7.

答案：（0,0.7）

13.（2022?山西運(yùn)城高三二模）家用自來水水龍頭由于使用頻繁,很

容易損壞.受水龍頭在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每件

水龍頭的利潤與該水龍頭首次出現(xiàn)損壞的時間有關(guān).某閥門廠生產(chǎn)尺

寸都為4分（指的是英制尺寸）的甲（不銹鋼閥芯）、乙（黃銅閥芯）兩種

家用水龍頭,保修期均為1年（4個季度）.現(xiàn)從該廠已售出的這兩種水

龍頭中各隨機(jī)抽取200件,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示，

種類甲乙

首次出

現(xiàn)損壞

0<x≤4x>40<x≤22<x≤4x>4

時間x/

季度

水龍

頭數(shù)20180816176

量/件

每件的

3.65.8246

利潤/元

將頻率視為概率,解答下列問題：

（1）從該廠生產(chǎn)的甲、乙兩種水龍頭中各隨機(jī)抽取一件,求恰有一件首

次出現(xiàn)損壞發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；

(2)由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種水龍頭.若從水龍頭的利潤的均

值考慮,你認(rèn)為應(yīng)選擇生產(chǎn)哪種水龍頭比較合理？

解：(1)設(shè)“甲種水龍頭首次出現(xiàn)損壞發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A,則

PC(/AA\)=—20=—1;

20010

設(shè)“乙種水龍頭首次出現(xiàn)損壞發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件B,則P(B)=

8+16_3

20025,

設(shè)“恰有一件首次出現(xiàn)損壞發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件C,則P(C)=

P(Z)P(B)+P(A)P(m)??X—+—X

10251025250

(2)記生產(chǎn)1件甲種水龍頭的利潤為兄元,生產(chǎn)1件乙種水龍頭的利潤

為X2元,則先的分布列為

Xl3.65.8

19

P

1010

P1∣JE(X,)=3,6X?8×?,58.

X2的分布列為

X?246

1222

P

252525

則E(X)=2×—+4×—+6X—=5.68.

2252525

因?yàn)镋(XJ<E(X2),

所以選擇生產(chǎn)乙種水龍頭比較合理.

ΓC級應(yīng)用創(chuàng)新練

14.(2022?廣東深圳二模)2022年北京冬奧會后,由一名高山滑雪運(yùn)

動員甲組成的專業(yè)隊,與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進(jìn)

行友誼賽.約定賽制如下:業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進(jìn)行比賽,若

甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝；若比賽

三場還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束.已知各場比賽相互獨(dú)立,

每場比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏的概率為］；甲與丙比賽,丙

贏的概率為P,其中g(shù)p。

⑴若第一場比賽,業(yè)余隊可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與

甲進(jìn)行比賽.請分別計算兩種安排下業(yè)余