02平面向量（培優(yōu)提升題）-江蘇省 高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)專題練習(xí)（蘇教版）

試卷第=page66頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)02平面向量（培優(yōu)提升題）-江蘇省高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)專題練習(xí)（蘇教版）一、單選題1．（2023下·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）已知中，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，則向量為（

）A． B．C． D．2．（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2023下·江蘇常州·高一常州高級(jí)中學(xué)?？计谀┰谥?，，點(diǎn)M滿足，若，則BC的值為（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023下·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期末）已知向量與的夾角為，，，則（

）.A． B． C．或 D．以上都不對(duì)5．（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點(diǎn)，點(diǎn)靠近點(diǎn)，點(diǎn)靠近點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，則（

）

A． B．C． D．6．（2023下·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．二、多選題7．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，記，則（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量為8．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）如圖，在梯形中，，，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A． B．若為線段的中點(diǎn)，則C． D．的最小值為69．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）設(shè)點(diǎn)是的外心，且（，），則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若是正三角形，則D．若，，，則四邊形的面積是1710．（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，設(shè)點(diǎn)，，，是線段BC的五等分點(diǎn)，則（

）

A．B．C．D．的最小值為11．（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．當(dāng)時(shí)，與的夾角為銳角D．若，則與的夾角的余弦值為12．（2023下·江蘇南通·高一期末）下列命題為真命題的有（

）A．已知非零向量，，，若，，則B．若四邊形ABCD中有，則四邊形ABCD為平行四邊形C．已知，，，可以作為平面向量的一組基底D．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為三、填空題13．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┫蛄?，且，則．14．（2023下·江蘇常州·高一常州高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)點(diǎn)Q在半徑為1的圓P上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P在半徑為2的圓O上運(yùn)動(dòng)．O為定點(diǎn)，P，Q兩點(diǎn)的初始位置如圖所示，其中，當(dāng)點(diǎn)P轉(zhuǎn)過(guò)角度時(shí)，點(diǎn)Q轉(zhuǎn)過(guò)角度，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的取值范圍為．

15．（2023下·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知的垂心為點(diǎn)，面積為15，且，則；若，則.16．（2023下·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為．17．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）已知矩形，，，沿對(duì)角線將折起，若二面角的大小為，則，兩點(diǎn)之間的距離為.18．（2023下·江蘇連云港·高一?？计谀┤鐖D，在任意四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，，邊與所成角為，則線段的長(zhǎng)度是

四、解答題19．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┮阎?，是邊（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)為與的交點(diǎn)，請(qǐng)用表示；(2)若點(diǎn)使得，求的取值范圍．20．（2023下·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．已知平面向量，都是單位向量，．(1)求與的夾角；(2)若，求在上的投影向量的坐標(biāo)．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．21．（2023下·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，.(1)若，試判斷，能否構(gòu)成平面的一組基底？并請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若，且，求與的夾角大小.22．（2023下·江蘇常州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，，，.

(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．23．（2023下·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，，，，．

(1)用表示；(2)求的值．24．（2023下·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知向量，的夾角為，且，．(1)求．(2)（其中），當(dāng)取最小值時(shí)，求與的夾角的大?。?5．（2023下·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)校考期末）如圖，在梯形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，，，，.

(1)求的值；(2)求與夾角的余弦值.答案第=page1616頁(yè)，共=sectionpages1616頁(yè)答案第=page1717頁(yè)，共=sectionpages1717頁(yè)參考答案：1．D【分析】利用的圖形關(guān)系并依據(jù)平面向量基本定理即可利用向量表示向量.【詳解】中，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，則

故選：D2．A【分析】由得，根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】由得，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A3．C【分析】取中點(diǎn)O，由已知可確定，利用向量的運(yùn)算和長(zhǎng)度關(guān)系將轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造方程求得.【詳解】

取中點(diǎn)O，連接，，即，M為BC邊上靠近C的四等分點(diǎn)，，，，，又，，.故選：C.4．B【分析】由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再由數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，所以，所以.故選：B5．B【分析】利用表示，結(jié)合平面向量基本定理確定其表達(dá)式.【詳解】設(shè)，，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，故選：B.6．D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．

已知，，，得，，，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，又，且、不共線，可得，且，解得．，．故選：D．7．BCD【分析】連接交于，利用向量加法判斷A；利用數(shù)量積定義及運(yùn)算律計(jì)算判斷B；利用數(shù)量積定義計(jì)算判斷C；求出投影向量判斷D作答.【詳解】正六邊形的邊長(zhǎng)為1，對(duì)于A，連接交于，則為正三角形，且為的中點(diǎn)，，

而，則，，所以，A不正確；對(duì)于B，，，，B正確；對(duì)于C，，則有，因此，C正確；對(duì)于D，，，，向量在方向上的投影向量為，D正確.故選：BCD8．AC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，過(guò)作的垂直，再根據(jù)條件即可求出，從而判斷出選項(xiàng)A的正誤；對(duì)于選項(xiàng)BCD，通過(guò)建立平面直角從標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，逐一對(duì)BCD分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，過(guò)作的垂直，交于，所以，又，，，，，所以，故選項(xiàng)A正確；建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，選項(xiàng)B，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，，，所以，由，得到，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；設(shè)，則，，選項(xiàng)C，由，得到，解得，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，，，所以，令，對(duì)稱軸為，又，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：AC.9．ACD【分析】分別根據(jù)平面向量三點(diǎn)共線定理及三角形外心的性質(zhì)判斷即可求解.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)是的外心，所以，所以為中點(diǎn)，所以是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，，三點(diǎn)共線，易知是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且為的中點(diǎn)，則，，故B錯(cuò)；對(duì)選項(xiàng)C：因?yàn)槭钦切危瑒t也是的重心，故，則，故C對(duì)；對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)?，故在外，又，所以，又，，則，故D對(duì).故選：ACD.10．BCD【分析】對(duì)于A：根據(jù)平面向量基本定理直接用表示；對(duì)于B：用表示后計(jì)算驗(yàn)證即可；對(duì)于C：設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)向量加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為即可；對(duì)于D：設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值解決.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：同上可得因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，，所以，所以，，所以，故B正確；對(duì)于C：設(shè)的中點(diǎn)為，則所以，故C正確；

對(duì)于D：設(shè)的中點(diǎn)為，為線段上一點(diǎn)，設(shè)，則，

則，，所以，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則四邊形為邊長(zhǎng)為1的正方形，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.11．ABD【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示判斷A，利用特例說(shuō)明C，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算B、D.【詳解】因?yàn)?，，?duì)于A：若，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以與共線同向，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若時(shí)，則，，，所以，即與的夾角的余弦值為，故D正確；故選：ABD12．ABD【分析】由平面向量基本定理結(jié)合投影向量的運(yùn)算逐一判斷即可．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，對(duì)于非零向量，，，由，，且為非零向量，可知，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，四邊形ABCD中有，由平行四邊形判定定理可得，四邊形ABCD為平行四邊形，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，，則，即，則，不能作為平面向量的一組基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，向量，，則，，故向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：ABD.13．/0.8【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解夾角的余弦作答.【詳解】由，得，即，而，則，即，以的方向分別為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，于是，有，所以.故答案為：14．【分析】建立直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由于,所以，故，故的取值范圍為，故答案為：

15．3025【分析】利用向量的運(yùn)算表示出，利用數(shù)量積運(yùn)算可得答案；先利用面積及第一空結(jié)果求出，對(duì)平方可求模長(zhǎng).【詳解】如圖，

是的邊上的高，則；設(shè)，因?yàn)?，面積為15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因?yàn)?，所以；故答案為?0

25.16．【分析】設(shè)，，，依題意可得，，又，可得、、三點(diǎn)共線，求出到直線的距離，即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄浚瑵M足，與的夾角為，設(shè)，，，則，所以，，，、、三點(diǎn)共線，又到直線的距離，，即的取值范圍為.故答案為：17．【分析】過(guò)分別作由題意可求得由二面角的大小為，得到再利用可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)分別作

則二面角的大小為,,,則,即兩點(diǎn)間的距離為.故答案為：.18．【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義便可得到：，從而①②便可得出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，分別是四邊形的邊，的中點(diǎn)，，，①②得，，又，，邊與所成角為，，，線段的長(zhǎng)度為．故答案為：19．(1)；(2).【分析】（1）由已知得，再由A、O、P三點(diǎn)共線，令，由得，然后由C、O、Q三點(diǎn)共線，求出作答.（2）由（1）中信息，設(shè)，則，再由垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運(yùn)算律，求出，借助函數(shù)的單調(diào)求解作答.【詳解】（1）因?yàn)?，則，又A、O、P三點(diǎn)共線，有，，又，即有，而C、O、Q三點(diǎn)共線，于是，解得，所以.（2）由（1）知，，而，設(shè)，則，由，得，即，整理得，即，于是，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，所以的取值范圍.20．(1)(2)或【分析】（1）選①：根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算展開求得，然后可得夾角；選②：將條件平方展開可得，然后可得夾角；選③：根據(jù)垂直的向量表示展開可得，然后可得夾角；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論和單位向量定義列方程求得，然后由可得.【詳解】（1）選①：由知，又，所以，得，

則，又，則．選②：由知，又，所以有，得，

則，又，則.選③：由知，又，所以有，得，

則，又，則．（2）設(shè)，由（1）可知，解得或，所以或，即或．21．(1)證明見解析(2).【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算及基底的概念即可判斷；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解x，然后再利用數(shù)量積的夾角坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以向量，不共線，所以，能構(gòu)成平面的一組基底；（2）因?yàn)椋?，所以，又，且，所以，所以，此時(shí)，，則，又因?yàn)?，所以，即向量與的夾角為.22．(1)(2)4【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算，即可由模長(zhǎng)公式求解長(zhǎng)度，（2）由數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】（1），，,，，，.；（2），23．(1)(2)13【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算求解即可；（2）分別由，向量表示，由向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以；?），即的值為13．24．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.（2）根據(jù)向量的