2020年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）試題部分

2020年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）試題部分一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。1.當(dāng)x→0＋時，下列無窮小量最高階是（）。A.

B.

C.

D.

2.若，則f（x）第二類間斷點的個數(shù)為（）。A.1B.2C.3D.43.

＝（）。A.π2/4B.π2/8C.π/4D.π/84.f（x）＝x2ln（1－x），當(dāng)n≥3時，f（n）（0）＝（）。A.－n！/（n－2）B.n！/（n－2）C.－（n－2）！/nD.（n－2）！/n5.關(guān)于函數(shù)給出下列結(jié)論

①?f/?x|（0，0）＝1

②?2f/?x?y|（0，0）＝1

③

④

正確的個數(shù)為（）。A.4B.3C.2D.16.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[－2，2]上可導(dǎo)，且f′（x）＞f（x）＞0，則（）。A.f（－2）/f（－1）＞1B.f（0）/f（－1）＞eC.f（1）/f（－1）＜e2D.f（2）/f（－1）＜e27.設(shè)4階矩陣A＝（aij）不可逆，元素a12對應(yīng)的代數(shù)余子式A12≠0，a1，a2，a3，a4為矩陣A的列向量組，A＊為A的伴隨矩陣，則A＊x＝0的通解為（）。A.

x＝k1a1＋k2a2＋k3a3，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)B.

x＝k1a1＋k2a2＋k3a4，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)C.

x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)D.

x＝k1a2＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)8.設(shè)A為3階矩陣，a1，a2為A的屬于特征值1的線性無關(guān)的特征向量，a3為A的屬于特征值－1的特征向量，則滿足的可逆矩陣P為（）。A.（a1＋a3，a2，－a3）B.（a1＋a2，a2，－a3）C.（a1＋a3，－a3，a2）D.（a1＋a2，－a3，a2）二、選擇題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案填在答題紙指定位置上。9.已知，則d2y/dx2|t＝1＝____。10.

＝____。11.設(shè)z＝arctan[xy＋sin（x＋y）]，則dz|（0，π）＝____。12.斜邊為2a的等腰直角三角形平板鉛直地沉沒在水中，且斜邊與水面相齊，設(shè)重力加速度為g，水密度為ρ，則該平板一側(cè)所受的水壓力為____。13.設(shè)y＝f（x）滿足y″＋2y′＋y＝0，且y（0）＝0，y′（0）＝1，則＝____。14.行列式＝____。二、簡答題：15~23小題，共94分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將答案填在答題紙指定位置上。15.（本題滿分10分）

求曲線y＝x1＋x/（1＋x）x（x＞0）的斜漸近線方程。16.（本題滿分10分）

已知函數(shù)f（x）連續(xù)且，，求g′（x）并證明g′（x）在x＝0處連續(xù)。17.（本題滿分10分）

求f（x，y）＝x3＋8y3－xy的極值。18.（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞）且滿足，求f（x），并求曲線y＝f（x），y＝1/2，及y軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。19.（本題滿分10分）

設(shè)平面區(qū)域D由直線x＝1，x＝2，y＝x與x軸所圍，計算。20.（本題滿分11分）

已知，證明：

（Ⅰ）存在ξ∈（1，2），使得；

（Ⅱ）存在η∈（1，2），使得。21.（本題滿分11分）

已知f（x）可導(dǎo)，且f′（x）＞0（x≥0）。曲線y＝f（x）的圖象過原點O，曲線上任意一點M的切線與x軸交于T，MP⊥x軸，曲線y＝f（x），MP，x軸圍成面積與△MTP面積比為3:2，求曲線方程。22.（本題滿分11分）

設(shè)二次型f（x1，x2，x3）＝x12＋x22＋x32＋2ax1x2＋2ax1x3＋2ax2x3經(jīng)可逆線性變換化為二次型g（y1，y2，y3）＝y(tǒng)12＋y22＋4y32＋2y1y2。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求可逆矩陣P。23.（本題滿分11分）

設(shè)A為2階矩陣，P＝（α，Aα），其中α是非零向量，且不是A的特征向量。

（Ⅰ）證明P為可逆矩陣；

（Ⅱ）若A2α＋Aα－6α＝0，求P－1AP并判斷A是否相似于對角陣。

2020年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）參考答案部分1.【答案】D【解析】因為故x→0＋時，是x的3階無窮??；因為故x→0＋時，是x的5/2階無窮小；因為故x→0＋時，是x的3階無窮??；因為又故x→0＋時，是x的4階無窮??；綜上，x→0＋時，無窮小量中最高階的是。故應(yīng)選D項。2.【答案】C【解析】由f（x）表達式知，間斷點有x＝0，±1，2因為存在，故x＝0為可去間斷點；因，故x＝1為第2類間斷點；因，故x＝－1為第2類間斷點因，故x＝2為第2類間斷點；綜上，共有3個第二類間斷點。故應(yīng)選C項。3.【答案】A【解析】故應(yīng)選A項。4.【答案】A【解析】由知故又由泰勒展開的唯一性知，f（n）（0）/n?。剑?/（n－2），得f（n）（0）＝－n！/（n－2）。故應(yīng)選A項。5.【答案】B【解析】①因，故①正確。②因，先求fx′（0，y），而當(dāng)y≠0時，不存在；當(dāng)y＝0時，；綜上可知，fx′（0，y）不存在。故?2f/?x?y|（0，0）不存在，因此②錯誤。③當(dāng)xy≠0時，，當(dāng)（x，y）沿著y軸趨近于（0，0）點時，；當(dāng)（x，y）沿著x軸趨近于（0，0）點時，；綜上可知，，故③正確。④當(dāng)y＝0時，；當(dāng)y≠0時，，故，則，故④正確。綜上，正確個數(shù)為3。故應(yīng)選B。6.【答案】B【解析】因f′（x）＞f（x）＞0，f′（x）－f（x）＞0，從而e－x[f′（x）－f（x）]＞0，即[e－xf（x）]′＞0。從而e－xf（x）在[－2，2]上單調(diào)遞增，故e－0f（0）＞e1f（－1），得f（0）＞ef（－1）。又f（x）＞0，故f（0）/f（－1）＞e，故應(yīng)選B項。由e－1f（1）＞e1f（－1），得f（1）/f（－1）＞e2，選項C錯誤；由e－2f（2）＞e1f（－1），得f（2）/f（－1）＞e2，選項D錯誤；對于選項A，因f′（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增，從而f（－1）＞f（－2），得f（－2）/f（－1）＜1，選項A錯誤。7.【答案】C【解析】由A不可逆知，r（A）＜4，又元素a12對應(yīng)的代數(shù)余子式A12≠0，故r（A）≥3，從而r（A）＝3。由可知r（A＊）＝1。故A＊x＝0得基礎(chǔ)解系含有3個解向量。因a1，a2，a3，a4為矩陣A的列向量組，則a1，a3，a4可看作A12對應(yīng)矩陣列向量組的延長組，故a1，a3，a4線性無關(guān)。又A＊A＝A＊（a1，a2，a3，a4）＝｜A｜E＝0，故a1，a3，a4均為A＊x＝0的解。綜上，a1，a3，a4為A＊x＝0的一個基礎(chǔ)解系，故A＊x＝0得通解為x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)。故應(yīng)選C項。8.【答案】D【解析】a1，a2是A屬于特征值1的線性無關(guān)的特征向量，即Aa1＝a1，Aa2＝a2，故A（a1＋a2）＝a1＋a2，即a1＋a2也是A屬于特征值1的特征向量。設(shè)k1（a1＋a2）＋k2a2＝0，即k1a1＋（k1＋k2）a2＝0，由于a1，a2線性無關(guān)，故k1＝k2＝0，即a1＋a2，a2線性無關(guān)。a3是A屬于特征值－1的特征向量，即Aa3＝－a3，因此A（－a3）＝－（－a3），即－a3也是A屬于特征值－1的特征向量?？扇＝（a1＋a2，－a3，a2），則P是可逆矩陣，且滿足。故應(yīng)選D項。9.【答案】【解析】因為故10.【答案】【解析】交換積分次序，得11.【答案】（π－1）dx－dy【解析】因為從而故dz|（0，π）＝（π－1）dx－dy。12.【答案】ρga3/3【解析】如圖建立坐標(biāo)系，在[0，a]上任取小區(qū)間[y，y＋Δy]，則ΔF＝ρgy·2（a－y）·Δy，從而dF＝2ρgy（a－y）dy，故13.【答案】1【解析】解方程y″＋2y′＋y＝0，得y＝y(tǒng)（x）＝C1e－x＋C2xe－x。又y（0）＝0，y′（0）＝1，故C1＝0，C2＝1。從而y（x）＝xe－x，故14.【答案】a2（a2－4）【解析】15.【答案】因為從而曲線的斜漸近線方程為y＝x/e＋1/（2e）。16.【答案】由f（x）連續(xù)且知，。當(dāng)x＝0時，當(dāng)x≠0時，當(dāng)x＝0時，當(dāng)x≠0時，因為所以g′（x）在x＝0處連續(xù)。17.【答案】因為f′x＝3x2－y，f′y＝24y2－x，聯(lián)立方程組解得或；故駐點為（0，0）（1/6，1/12）。在點（0，0）處：A＝fxx″（0，0）＝0，B＝fxy″（0，0）＝－1，C＝fyy″（0，0）＝0，AC－B2＝－1＜0，故（0，0）不是極值點。在（1/6，1/12）處：A＝fxx″（1/6，1/12）＝1＞0，B＝fxy″（1/6，1/12）＝－1，C＝fyy″（1/6，1/12）＝4，AC－B2＝4－1＞0，故（1/6，1/12）是極小值點，極小值為f（1/6，1/12）＝（1/6）3＋（1/12）3－（1/6）·（1/12）＝－1/216。18.【答案】因為（1）所以（2）（1）×2－（2）×x2，得，x∈（0，＋∞）；故旋轉(zhuǎn)體的體積為19.【答案】因為所以從而20.【答案】（Ⅰ）令，有F（x）在[1，2]上連續(xù)，且F（1）＝f（1）－e＝－e＜0，，由零點定理，存在ξ∈（1，2），使得F（ξ）＝0，即。（Ⅱ）因為f（x）及l(fā)nx在[1，2]上連續(xù)，在（1，2）內(nèi)可導(dǎo)，且，所以由柯西中值定理，存在η∈（1，2），使得，即。21.【答案】設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），則曲線y＝f（x）經(jīng)過點M（x，y）處的切線方程為Y－y＝y(tǒng)′（X－x），從而點T的坐標(biāo)為（x－y/y′，0），故S△MTP＝MPPT/2＝y(tǒng)·（y/y′）/2＝y(tǒng)2/2y′由題意知，，即，兩邊對x求導(dǎo)，得，整理得2yy′2＝3y2y″（1）。由已知，得y（0）＝0，y′（x）＞0，故x＞0時，y（x）＞0，則（1）式可化為y′2＝3yy″/2（2），此方程為可降階的微分方程，令P＝y(tǒng)′，則（2）式可化為P2＝（3y/2）·PdP/dy，又P＝y(tǒng)′＞0，故由P＝（3y/2）·（dP/dy），解方程，得lnP＝2lny/3＋C1，則P＝C2y2/3，其中。即有y′＝C2y2/3，分離變量，得dy/y2/3＝C2dx，兩邊積分，得3y1/3＝C2x＋C3（x＞0）。因y（0）＝0，又y＝f（x）在x＝0處連續(xù)，故，得C3＝0，故3y1/3＝C2x，即y＝（C2/3）2x3。令C＝（C2/3）2＞0，得y＝Cx3（x＞0），C為大于0的任意常數(shù)。22.【答案】（Ⅰ）設(shè)二次型矩陣為A，則，f經(jīng)過可逆線性變換X＝PY化成g（y1，y2，y3）＝y(tǒng)12＋y22＋4y32＋2y1y2，即記，則PTAP＝B，故A與B合同，從而r（A）＝r（B）。易知r（B）＝2，故A＝（2a＋1）（1－a）2＝0，解得a＝－1/2或1，又a＝1時，r（A）＝1排除，故a＝－1/2。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x1，x2，x3）＝x12＋x22＋x32―x1x2―x1x3―x2x3＝（x1―x2/2―x3/2）2＋3x22/4＋3x32/4－3x2x3/2＝（x1―x2/2―x3/2）2＋3（x2－x3）2/4令，即，則f＝z12＋z22。記，則。又g（y1，y2，y3）＝y(tǒng)12＋y22＋4y32＋2y1y2＝（y1＋y2）2＋4y32，令即則f＝z12＋z22。記，則。因